蔡品雯 目的、原理、討論、應用 葉友芳 公式推導 歐易鑫 儀器、步驟、數據處理

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布朗運動 蔡品雯 目的、原理、討論、應用 葉友芳 公式推導 歐易鑫 儀器、步驟、數據處理

2 一、目的 以顯微鏡觀察水中粒子的布朗運動，求取亞佛加厥常數。 了解隨機程序(Random Process)之性質及統計特質。

3 二、原理 發現：1872年，植物學家布朗(Robert Brown)，以顯微鏡觀察水中的花粉，發現花粉微粒不停的作不規則的運動。
定義：粒子在流體中，因不停碰撞而作連續不規則的折線式運動，稱為布朗運動。

4 原因：四面八方的流體分子不斷碰撞粒子所引起。
路徑：大小不同的力造成撞擊不平衡，而　　　作轉折運動，且無法預測運動模式。 　直線部分為各方撞擊相互抵消或未受撞擊。

5 朗之萬方程(Langevin’s equation)描述布朗運動：
假設液體中懸浮粒子質量=m，密度=ρ 懸浮粒子的受力： ─重力mg ─周圍分子碰撞的作用力： 1)浮力mg 2)阻力-fv 3)亂力即隨機作用的力 朗之萬方程(Langevin’s equation)描述布朗運動： 同乘x

6 微分 將(a)、(b)代入(2)式得：

7 將(3)式對每個粒子求平均，即把大群粒子的運動方程式相加除去粒子總數，加一橫線表示求得的平均值：
(粒子的平均動能)

8 利用以上各結果代(4)式得： 令 ㄧ階線性微分方程標準形式：

9 非齊次方程通解形式： 上式積分得(6)式通解為：

10 斯托克斯(Stokes)定理： 阻力以–fv表示，懸浮粒子以緩慢的速度v在流體中運動，此時阻力的大小與顆粒的速度成正比，比例常數f為： 取 ，則(7)式指數項： 當 ，指數項忽略不計。當一開始x在原點，則得： =流體的黏滯係數 r=作為球體的粒子半徑

11 在間隔 秒內觀察單一粒子的位移，在時間 量n次，
總位移為 代入(9)式： 布朗運動是隨機無規則，所以 的分布近似正規分佈(高斯函數)，公式為： 正規分佈的累積機率：

12 三、儀器與藥品 聚苯乙烯乳膠粒子懸浮液(粒徑=1.09μm) latex beads polystyrene
顯微鏡、X40接物鏡、X10接目鏡(連接至電視機螢幕，並投射於螢幕上之芳格線與座標，方格線間距為8μm) 有凹槽之載玻片、蓋玻片 水平儀

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14 四、實驗步驟 把顯微鏡架設完成並連接電視，以水平儀確認水平且確認顯微鏡垂直
用試鏡紙將載玻片拭淨，凹槽向上，並滴入懸浮液，蓋上蓋玻片，拭淨多於液體，不能有氣泡(干擾布朗運動) 將載玻片放於slide holder上開電源、調整光線(避免造成熱對流)

15 打開電視，並以X- Y-軸調整玻片位置，再以細調節螺絲調整焦距，使粒子清楚出現於螢幕中。
選定粒子，調整玻片使粒子位於視野中央。每格30秒觀察一次，得到各50組的 ∆Xi ∆Yi,若粒子逸出座標範圍，盡量使之回到視野中央。 每次調整玻璃位子，需重新觀察30秒。 記錄方式：未接觸方格以0.5，接觸則為整 數。

16 將記錄的(X,Y)座標，計算( , ) 把 跟 合併成100個值，由負到正排列 ∆X 出現次數 出線機率% 累積機率% -5.5 1 -5
-4.5 -4 2 3 -3.5 6 -3 4 10 -2.5 8 18 -2 26 -1.5 11 37 -1 12 49 -0.5 13 62 66 0.5 68 72 1.5 75 78 2.5 81 87 3.5 90 93 4.5 95 5 98 5.5 100 將記錄的(X,Y)座標，計算( , ) 把 跟 合併成100個值，由負到正排列

17 算出 的累積機率並做圖，正規分佈累積機率圖跟累積機率圖兩種
由 算出亞佛加厥常數

18 五、討論 (一)公式本身未考慮之因素 形狀的影響 重力的影響 (二)公式中之各項變因 黏滯係數 粒子半徑 r 之判定 溫度 T

19 (三)實驗操作技術的改進 外界的震動 溶劑內部的分布 (四)實驗本身的限制 邊界的效應 解析度

20 六、應用 生物族群的擴散現象 人耳的聽覺 口罩設計

21 七、資料來源 物理雙月刊(廿八卷一期)《漫談布朗運動》龐寧寧