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第二章 应变分析 1. 应变张量的引入 1.1 位移矢量与位移梯度矢量 物体的变形使用位移来表示 P点的位移设为u 由线段PQ的形变引出
第二章 应变分析 1. 应变张量的引入 1.1 位移矢量与位移梯度矢量 物体的变形使用位移来表示 P点的位移设为u 由线段PQ的形变引出 位移的梯度矢量 du 连续物体的变形
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1.2 位移梯度的张量表达 下标形式? chy
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1.3 位移梯度张量的分解 张量的分解, 对称张量与反对称张量,证明 chy
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应变张量 转动张量
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2. 应变张量与转动张量 2.1应变张量的分量的物理意义 先考虑任意体积的应变在一个坐标平面上的投影(3D->2D)
在一个平面上考虑其面积变形状态
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定义:正应变为长度的变化率(线应变) 小应变假设(变形小,扭曲小): dx 变形后的长度ab： 定义正应变： 得到: 同理:
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定义:剪应变为角度变化之和的平均 定义剪应变： 定义工程剪应变:
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应变张量的单位?
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2.2. 转动张量的分量的物理意义
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若令 则可以定义反对称旋转张量的对偶矢量为: 称为旋转矢量
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因此旋转张量 又可以表示为： 由旋转造成的位移场： 位移场的旋度可以表示为：
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综上,位移的变化可以表示为：
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3. 应变张量的一些特征 3.1 坐标轴旋转时应变张量的变换
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3.2. 主应变及应变张量不变量 设主应变大小为 , 方向余弦为（a1,a2,a3)
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3.3. 应变张量第一不变量与体积膨胀率
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3.4. 三维应变圆 三个正应变与三个最大剪应变
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3.5. 应变张量的分解 应变张量中的正应变分量与剪应变分量
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4. 平面应变 4.1 平面应变的定义 要产生平面应变需要的应力条件 三种方法求平面应变的主应变大小和方向: 特征值, 摩尔圆, 坐标变换
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4.2. 平面应变的坐标轴变换 如果原坐标轴的方向为主应变的方向，公式得到简化
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4.3. 平面应变的测量, 应变花方法 应变花方法：根据主应变坐标变换的公式，使用两个给定的 角和该角度上测量得到的线应变求主应变大小和方向
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电阻应变片:
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5. 一些典型的应变 5.1 单轴应变
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5.2.平面应变中的纯剪切(Pure Shear)与简 单剪切(Simple Shear)
纯剪切: 两边角度变化相等，旋转张量为零
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简单剪切：只有一边上存在角度变化。 简单剪切可以表示为一个旋转变形和一个纯剪切之和 （画图：先旋转，再纯剪）
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6. 变形协调方程 (连续性方程) 物体的变形要保持物体的连续性 画图 或者说 需要使求出的 为单值函数
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先证明必要性(给出方程形式): 由定义: 对 求微分： 同理： 连续函数的求导与顺序无关，所以得到 ：
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共81个方程，其中只有6个是独立方程：
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再证明充分性(给出方程证明): 设平面上P点坐标: 对应位移: 则P1点位移可以通过P点位移和P到P1点位移梯度矢量的积分表示: 点位移: 在第 i 方向: 位移的单值性要求该积分与积分路径无关
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对x1方向: 使用应变张量和旋转张量的分量表示: 积分与路径无关的充要条件
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积分与路径无关的充要条件 (证明) 格林公式: 单连通域与多连通域
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将A1，A2，A3的表达式代入得到三个方程： 同理对三个方向，共得到9个方程
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还需要旋转矢量的每个分量均为单值函数 也即 再利用一次积分与路径无关的条件
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得到： 充分性得 以证明
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. 7. 有限变形的一点简介 拉格朗日描述(坐标)与欧拉描述(坐标) 拉式描述(以初始坐标为准): 欧式描述(以当前坐标为准):
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拉格朗日坐标与欧拉坐标系中对时间求微分:
. 拉格朗日坐标与欧拉坐标系中对时间求微分: 拉式: 欧式:
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拉格朗日坐标下有限应变的定义 在拉式坐标中:
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展开形式:
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类似的, 欧拉坐标下有限应变的定义 在欧式坐标中:
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8. 课程作业 问题1: 已知平面应变为 使用特征值，摩尔圆，以及坐标变换三种 方式求其主应变的大小和方向
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问题2: 求给定区域的平面主应变的大小和方向
已知 相对于参考点（在左下），测点的坐标（单位为km）分别为： G11 : ( , ); G13 : ( , ); G20 : ( , );
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测线长度的年度变化(单位为m) ,如下表： 基线名称 2003年边长 2004年边长 G20-G13 9571.129 9571.143
G13-G11 步骤: 求三角形的中心坐标 求三条边的方向角度(比如相对于方向东的角度) 求三条边上的线应变 根据应变花的方法,求出主应变和主方向 将求得的主方向的角度转化成以北方向为0度来表示
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