不定式 (Indeterminate Forms)

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1 不定式 (Indeterminate Forms)
1. 不定式 0/0(The Indeterminate Forms of Type 0/0) 2. 不定式 (The Indeterminate Forms of Type ) 3. 不定式 和 (The Indeterminate Forms and ) 4. 不定式 , 和 (The Indeterminate Forms , and )

2 1. 不定式0/0(The Indeterminate Forms of Type 0/0 )
在實際的應用方面，我們經常會碰到一些極限難以求出的情形，例如： 等等。

3 以 來說， 的分子分母在 時，皆趨近於0，將 的分子和分同除以x，則得 由觀察知

4 分別為函數 和 在 x=0 的微分，由極限定理知

5 將 用 替代， 用 代，x −0用 替代。若 存在，且 , 則我們得到 weak form of L’Hopital’s Rule，即

6 在我們證明羅必達定理(L’Hopital’s Rule)之前我們需要以下的高奇均值定理
定理1: 高奇值定理(Cauchy’s Mean Value Theorem) f,g在(a,b)為可微分，且在[a,b]為連續。若 在(a,b)恆不為 0，則ﾖc (a,b),滿足

7 證明:令 由於 ,且g在[a,b]連續,故 g(b)≠g(a),即s(x)為well defined. s(a)=s(b)=0,且s(x)在(a,b)為可微分,故利用微分均值定理可知 使得

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9 定理2(L’Hopital’Rule for forms of type 0/0)
若 或表示±∞皆可,則 其中u可表 ,−∞或∞

10 證明:若f(u)或g(u)≠0,甚至f(u)或g(u)無定義,我們皆令f(u)=g(u)=0,則
當x→u時,(此時u表 ),高奇均值定理將適用,義即存在c介於x和u之間,使得

11 由於x→u時,c亦趨近於u,故得 若u表∞,則令 , 所以 利用以上所證明u表 的情況可得

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13 若u表-∞，令 ，得 理由同上。 例1：求 解：兩者皆為0/0的不定式，利用羅必達定理得

14 例2：求 解：上式為0/0的不定式，利用羅必達定理得

15 例3: 求 。 解: 利用定理2,分子和分母同時對x微分,並取x趨近於零的極限值。

16 例4: 求 。 解: 利用定理2,分子和分母同時對x微分,並取x趨近於零的極限值。

17 例5: 求 。 解:連續兩次利用羅必達定理得

18 例6：求 解：上式為0/0的不定式，連續利用羅必達 定理得

19 例7：求 解：上式為0/0的不定式，連續利用羅必達 定理得

20 例8：求 解：由於 ，故定理2適用：

21 例9：求 解： 利用定理2得

22 例10：求 解：令 由於 且F(x)， 在(0,∞)為可微分，在[0,∞]為連續，故可適用定理2。

23 例11：求 解：雖然 , 但由於 並不存在，故定理2並不適用，須利用別的方法求其極限值。

24 由於 所以

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26 2. 不定式 (The Indeterminate Forms of Type )
定理3 (L’Hopital’s Rule for forms of type∞/∞) 若 其中 或 表 皆可,則 u 可表 或 。

27 證明：設x和 為f和g在定義域中適用高奇均值定理的兩點，即f、g在x和 所形成的閉區間為連續，f、g在x和 所形成的開區間為可微分，且 在此開區間恆不為0，則存在c介於x和 之間，使得

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29 同定理2的情況，我們先考慮u表 的情況。取x和 很靠近u,使得g(x)>0,則 (1) 若 (若u表a) (若u表 ) 滿足

30 取 為滿足前述 ， 條件的一個點，則 ,(1)式 兩邊各撿減α得

31 (三角不等式) 將 點固定不動，則x→u時,g(x)→∞,即 ,且因此 故

32 若 ,則 ,在x 很靠近u 時, 取x和 滿足 , , 但固定 點,向u的方向移動x點,使得

33 由(1)式知 (因為c介於x和 之間,所以 ) 即 在x很靠近u時可任意大,故得證

34 若u表∞或−∞,可令 , 則

35 同理,

36 至於 或 的情況。只要考慮 或 ,再利用定理3,即可得證

37 例12: 求 。 解:此為∞/∞的不定式。

38 例13: 求 ,其中p>0。 解: 由於 , ,故定理3適用。 若 ,則再利用定理3,直到存在 ,滿足 為止, 意即

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40 例14: 求 。 解: 此為∞/∞的不定式,利用定理3,將分子分母同時對x微分,再取x從左邊趨近於 的極限值。

41 例15: 求 。 解:此為∞/∞的不定式,利用定理3,將分子分母同時對x微分,再令x趨近於∞。

42 例16: 求 (a>0)。 解: 由於 , ,故可利用定理3

43 例17: 求 。 解: 由於 , 故可利用定理3

44 例18: 求 。 解: 由於 , 故可利用定理3

45 例19: 求 。 解: 由於 , 故可利用定理3

46 例20: 求 。 解: 此為∞/∞的不定式。

47 例21: 求 。 解: 此為∞/∞的不定式。

48 3. 不定式 和 (The Indeterminate Forms and )
例22: 求 。 解: , , 故此題為 的不定式。利用如下的方法,我們可將之 轉為∞/∞的形式,再利用定理3求解。

49 例23: 求 。 解: 此為 的不定式。

50 例24: 求 。 解: , 故此題為 的不定式。如同上題一般,將之轉化為0/0的形式,再利用定理2求解。

51 例25: 求 。 解: , 故此題為 ∞−∞的不定式。利用通分的方式,使之成為0/0的不定式,再利用定理2求解。

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53 例26: 求 。 解: 此題為 ∞−∞的不定式。如同上例一般,利用通分的方式,使之成為0/0的不定式,再利用定理2求解。

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55 例27: 求 。 解: , 故此題為 ∞−∞的不定式。利用通分的方式,使之成為0/0的不定式,再利用定理2求解。

56 例28: 求 。 解: , 故此題為 ∞−∞的不定式。

57 例29: 求 。 解: 此題為 ∞−∞的不定式。利用通分的方式,使之成為0/0的不定式,再利用定理2求解

58 例30: 求 。 解: 此題為 ∞−∞的不定式。

59 例31: 求 。 解: 此題為 的不定式。

60 例32: 求 。 解: 此題為 的不定式。

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62 4. 不定式 , 和 (The Indeterminate Forms , and )
例33: 求 。 解: , ,此為 的不定式。

63 例34: 求 。 解: 令 , 兩邊同取ln,可得 將 ,擴充至函數 ,則 又 即 。

64 例35: 求 。 解: , ,此為 的不定式。 為 的不定式

65 故

66 例36: 求 。 解: , ,此為 的不定式。

67 例37: 求 。 解: , ,此為 的不定式。

68 例38: 求 。 解: 此為 的不定式。 我們只需求 ,並將結果帶入上 式,即可得到最後結果。

69 故

70 例39: 求 。 解:此為 的不定式。 我們只需求 ,並將結果帶入上 式,即可得到最後結果

71 故

72 例40: 求 。 解:此為 的不定式。

73 又 故

74 本單元結束