高中数学 必修1 2.2　函数的简单性质（2）.

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1 高中数学 必修1 2.2　函数的简单性质（2）

2 情境问题： 复述函数单调性的定义．

3 情境问题： 上节课，我们利用下图(课本37页图2-2-1)认知了函数的单调性，该天气温的变化范围是什么呢？ /℃ 10 6 2 2 24
　　上节课，我们利用下图(课本37页图2-2-1)认知了函数的单调性，该天气温的变化范围是什么呢？ /℃ 10 6 2 2 24 O 10 20 t/h 　最高气温为9℃，在14时取得；最低气温为－2℃，在4时取得； 该天气温的变化范围为[－2，9]．

4 数学建构： 一般地，设y＝f(x)的定义域为A．若存在定值x0∈A，使得对任意
x∈A， f(x)≤f(x0)恒成立，则称f(x0)为y ＝ f(x)的最大值，记为ymax＝ f(x0)． 此时，在图象上，(x0，f(x0))是函数图象的最高点． 　　若存在定值x0∈A，使得对任意x∈A，f(x)≥f(x0)恒成立，则称f(x0) 为y ＝ f(x)的最小值，记为ymin＝ f(x0)． 　　此时，在图象上，(x0，f(x0))是函数图象的最低点．

5 数学应用： 例1．求下列函数的最小值． (1) f(x) ＝－x2＋2x，xR； (2) g(x) ＝ ，x[1，3]．
二次函数的最值； 求f(x)＝－x2＋2x在[0，10]上的最大值和最小值． 不间断函数y＝f(x)在闭区间上必有最大值与最小值．

6 数学应用： 如图，已知函数y＝f(x)的定义域为[－4，7]，根据图象，说出它的最大值与最小值． y 5 4 3 －1 x 3 5 7 O
－2

7 数学应用： 　　例2．已知函数y＝f(x)的定义域是[a，b]，a＜c＜b．当x∈[a，c]时，f(x)是单调增函数；当x∈[c，b] 时，f(x)是单调减函数．试证明： f(x)在x＝c时取得最大值． y a c O b x

8 数学应用： 　　例2．已知函数y＝f(x)的定义域是[a，b]，a＜c＜b．当x∈[a，c]时，f(x)是单调增函数；当x∈[c，b] 时，f(x)是单调减函数．试证明： f(x)在x＝c时取得最大值． y a c O b x

9 数学应用： 　变式：已知函数y＝f(x)的定义域是[a，b]，a＜c＜b．当x∈[a，c]时，f(x)是单调减函数；当x∈[c，b] 时，f(x)是单调增函数．试证明：f(x)在x＝c时取得最小值． y c a b O x

10 数学应用： 1．函数y＝ (x∈[0，3])的值域为__________． 2．函数y＝ (x∈[2，6])的值域为__________．

11 数学应用： 例3．求函数f (x)＝x2－2ax在[0，4]上的最小值． 解：f (x)＝x2－2ax＝(x－a)2－a2．
(1)当a≤0时，f (x)在区间[0，4]上单调递增， f (x)min＝ f (0)＝0． (2)当0＜a＜4时，当且仅当x ＝a时，f (x)取得最小值， f (x)min＝ f (a)＝－a2． (3)当a≥4时，f (x)在区间[0，4]上单调递减， f (x)min＝ f (4)＝ 16－8a ． 记f (x)在区间[0，4]上的最小值为g (a) ，则 0， a≤0， g (a)＝ －a2， 0＜a＜4， 16－8a ，a≥4 ．

12 小结： 单调性 最值 值域

13 作业： 课本40页第3题，44页第3题． 　　补充：已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－3，2]上有最大值4，求实数a的值．