一元二次方程式 (應用問題) 顧震宇 台灣數位學習科技股份有限公司.

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1 一元二次方程式 (應用問題) 顧震宇 台灣數位學習科技股份有限公司

2 例題 1. (數的問題) 已知兩正數的和為 28，平方和為 490，求這兩正數。
一元二次方程式 – 應用問題 已知兩正數的和為 28，平方和為 490，求這兩正數。 設兩正數分別為 x 及 28-x x2 + (28-x)2 = 490 x x + x2 = 490 2x2-56x = 0 x2-28x = 0 (x-7)(x-21) = 0 x =7 或 若 x＝7，則另一數為 28-7 = 若 x＝21，則另一數為 = 7 正1+正2＝28 正12＋正22＝490 1. 分析題意 2. 假設未知數 3. 列式 4. 求解 5. 驗算 6. 寫答 例題1. 已知兩個正數的和為 28，平方和為 490，求這兩個正數。 兩個正數的和為 28 ，可以先簡單的用式子表示：第一個正數加第二個正數等於 28，方便我們思考；平方和 490，可以寫成 第一個正數的平方加第二個正數的平方等於 390，這樣看到兩個未知數，兩個等式，因為我們這邊要用一元二次方程式， 我們只能有一個未知數，所以我們可以假設其中一個正數為 x ，那麼利用第一句話就可以知道第二個正數為 28 減 x， 第一句話拿來假設用掉了，那麼第二句話拿來列式，所以我們先把假設寫出後，列式就為 x 平方加(28-x) 平方等於 490, 接下來就 [解答] 兩正數為 7 及 21 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

3 例題 2. (連續偶數) 有三個連續正偶數，它們的平方和為 596，求這三個數為何 ? 假設三個正偶數分別為 x-2，x 及 x +2
一元二次方程式 – 應用問題 有三個連續正偶數，它們的平方和為 596，求這三個數為何 ? 假設三個正偶數分別為 x-2，x 及 x +2 偶12 + 偶22＋ 偶32＝ 596 ( 負不合 ) 所以三個正偶數分別為 12，14 及 16 第 2 個例子比較複雜，我們來看題目，甲、乙兩人比賽跑步， 已知乙的速度是甲的1.2倍，這句話可以提供我們一個等式：乙的速度等於甲速度乘以 1.2 第二句話，若甲先跑 50 公尺，乙再追趕甲，乙出發後 30 秒追上甲， 我們可以用 圖解 來看，題目說甲先跑 50 公尺，我們就想像甲站在乙的前方 50 公尺兩人一起開始跑 跑了 30 秒後在這個地方乙追上甲，所以圖形可畫成這樣，那從這個圖中怎麼把等式列出來呢？ 可以注意到圖中，乙跑的距離等於甲跑的距離加上一開始領先的 50 公尺，而我們又已知 距離＝速度乘以時間 所以等式可列為 乙速乘30 = 50 + 甲速乘30，如此我們再將題目所說的甲速的位置換為 x ，乙速的位置換為 y 即可得到所求得方程組。 這個單元，老師只以這兩個列式問題說明了列式的精神，其餘題型的列式問題，老師將在下一個單元講應用問題時 一併講解，接下來的例題，我們將進入解說解聯立方程式的方法及技巧。 連續偶數差 2 連續奇數差 2 連續整數差 1 [解答] 三個正偶數分別為 12、14 及 16 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

4 例題 3. (誤算問題) 一元二次方程式 – 應用問題 小王在計算某正數的 2 倍加 1 時，不小心算成該數加 1 再平方， 所求得的答案比正確答案多 169，求原來的正確答案為多少 ? 正確：2 × 正數＋1 錯誤： (正數 + 1)2 假設正數為 x ( 負不合 ) 所以原正確答案為 2 x = 27 利用代入消去法解聯立方程式 x=14y+4 及 3x=44y+4 代入消去法的步驟我們複習一下，第一步，選擇要消去的變數，然後第二步，將 x 用 y 的算式代入，題目中的第一個式子 已經將 x 寫成的 y 的式子，就可以將第二個式子中 x 的位置換成 14y+4 ，如此就會得到 3(14y+4)=44y+4， 這時就變成了一元一次方程式，然後就可用解一元一次方程式的方式去括號，移項後會得到 2y=8 可得 y=4， 最後，再將 y=4帶回第一式就可得到 x=56+4=60。 [解答] 27 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

5 例題 4. (面積問題) 一元二次方程式 – 應用問題 在教室地面舖正方形紅磚，需舖 200 塊，如果舖正方形水泥磚， 只需 128 塊，已知水泥磚每邊比紅磚長 1 公寸，求每塊紅磚的面積 是多少平方公寸 ? 設紅磚邊長為 x，則 水泥磚邊長為 x + 1 200 塊紅磚＝教室地面＝128 塊水泥磚 水泥磚邊長＝紅磚邊長 + 1 例題 4 ，利用加減消去法解方程組 6x-7y=18 及 3x+y=27，加減消去法的的第一步先選擇要消去的變數，這題老師選擇 x ，各位同學可以自己試試消去 y ，要消去 x，那麼就要先將 x 的係數變成一樣，所以第二式利用等量乘法左右都乘以 2，就可得到 6x+2y=54，然後第三式和第一式相減，就可以把 6x 都消掉，左邊剩下 2y 減負 7 y 得 9y，等號右邊為 54 減 18 得 36，所以 y=4，然後再將 y=4 代入第二式 得到 3y+4=27 ，可得 y=三分之 23。 或 4 (不合) [解答] 16 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

6 例題 5. (等比例縮放) 一元二次方程式 – 應用問題 已知有一長方形的長、寬各為 5 公分和 4 公分，現在若想將此長方形依等比例放大成一個面積為 1600 平方公分的長方形，求此新的 長方形的長與寬各為多少公尺 ? 5 設等比例放大 k 倍， 則長等於 5k 公分，寬等於 4k 公分 4 長 例題 4 ，利用加減消去法解方程組 6x-7y=18 及 3x+y=27，加減消去法的的第一步先選擇要消去的變數，這題老師選擇 x ，各位同學可以自己試試消去 y ，要消去 x，那麼就要先將 x 的係數變成一樣，所以第二式利用等量乘法左右都乘以 2，就可得到 6x+2y=54，然後第三式和第一式相減，就可以把 6x 都消掉，左邊剩下 2y 減負 7 y 得 9y，等號右邊為 54 減 18 得 36，所以 y=4，然後再將 y=4 代入第二式 得到 3y+4=27 ，可得 y=三分之 23。 寬 [解答] 長＝ 、 寬＝ 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

7 例題 6. (道路問題) 一元二次方程式 – 應用問題 正方形花園，每邊長 70 公尺，於園內開闢兩條交叉道路，如圖， 其餘空地作為花圃。已知花圃面積為 3600 公尺， (1) 求圖中 x 之值。 (2) 求路寬為多少公尺 ? x x x (1) x 70 例題 4 ，利用加減消去法解方程組 6x-7y=18 及 3x+y=27，加減消去法的的第一步先選擇要消去的變數，這題老師選擇 x ，各位同學可以自己試試消去 y ，要消去 x，那麼就要先將 x 的係數變成一樣，所以第二式利用等量乘法左右都乘以 2，就可得到 6x+2y=54，然後第三式和第一式相減，就可以把 6x 都消掉，左邊剩下 2y 減負 7 y 得 9y，等號右邊為 54 減 18 得 36，所以 y=4，然後再將 y=4 代入第二式 得到 3y+4=27 ，可得 y=三分之 23。 (2) x x x x [解答] (1) x＝5 (2) 公尺。 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

8 例題 7. (道路問題) 一元二次方程式 – 應用問題 長方形草地，長是 40 公尺，寬是 25 公尺，在其內部開闢三條等寬 的道路，如圖，使所剩草地的面積是 600 平方公尺，求路寬。 設路寬為 x 公尺 25 或 40 (不合) 例題 4 ，利用加減消去法解方程組 6x-7y=18 及 3x+y=27，加減消去法的的第一步先選擇要消去的變數，這題老師選擇 x ，各位同學可以自己試試消去 y ，要消去 x，那麼就要先將 x 的係數變成一樣，所以第二式利用等量乘法左右都乘以 2，就可得到 6x+2y=54，然後第三式和第一式相減，就可以把 6x 都消掉，左邊剩下 2y 減負 7 y 得 9y，等號右邊為 54 減 18 得 36，所以 y=4，然後再將 y=4 代入第二式 得到 3y+4=27 ，可得 y=三分之 23。 40 [解答] 5 公尺 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

9 例題 8. (邊框問題) 一元二次方程式 – 應用問題 如圖，小明想將一塊長 44 公分，寬 20 公分的矩形刺繡， 鑲上一條等寬的邊，使鑲邊的面積是刺繡面積的 ，則鑲邊的寬 為多少公分 ? 設鑲邊的寬為 x 公分 20 44 例題 4 ，利用加減消去法解方程組 6x-7y=18 及 3x+y=27，加減消去法的的第一步先選擇要消去的變數，這題老師選擇 x ，各位同學可以自己試試消去 y ，要消去 x，那麼就要先將 x 的係數變成一樣，所以第二式利用等量乘法左右都乘以 2，就可得到 6x+2y=54，然後第三式和第一式相減，就可以把 6x 都消掉，左邊剩下 2y 減負 7 y 得 9y，等號右邊為 54 減 18 得 36，所以 y=4，然後再將 y=4 代入第二式 得到 3y+4=27 ，可得 y=三分之 23。 或 -33 (不合) [解答] 鑲邊的寬為 1 公分 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

10 例題 9. (握手問題) 一群人共若干人，若每人與其餘的每一個人都握手一次， 已知他們總共握了 190 次手，請問共有多少人 ?
一元二次方程式 – 應用問題 一群人共若干人，若每人與其餘的每一個人都握手一次， 已知他們總共握了 190 次手，請問共有多少人 ? 假設共有 x 個人 或 -19 (不合) 例題 4 ，利用加減消去法解方程組 6x-7y=18 及 3x+y=27，加減消去法的的第一步先選擇要消去的變數，這題老師選擇 x ，各位同學可以自己試試消去 y ，要消去 x，那麼就要先將 x 的係數變成一樣，所以第二式利用等量乘法左右都乘以 2，就可得到 6x+2y=54，然後第三式和第一式相減，就可以把 6x 都消掉，左邊剩下 2y 減負 7 y 得 9y，等號右邊為 54 減 18 得 36，所以 y=4，然後再將 y=4 代入第二式 得到 3y+4=27 ，可得 y=三分之 23。 [解答] 20 個人 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

11 例題 10. (截角問題) 正方形紙一張，每邊長為 4，截去四個三角形，使其成為一正八邊形， 求此正八邊形的周長及面積。 x 4-2x x
一元二次方程式 – 應用問題 正方形紙一張，每邊長為 4，截去四個三角形，使其成為一正八邊形， 求此正八邊形的周長及面積。 x 4-2x x 設截去的直角三角形的股為 x， x x 4 x x 例題 4 ，利用加減消去法解方程組 6x-7y=18 及 3x+y=27，加減消去法的的第一步先選擇要消去的變數，這題老師選擇 x ，各位同學可以自己試試消去 y ，要消去 x，那麼就要先將 x 的係數變成一樣，所以第二式利用等量乘法左右都乘以 2，就可得到 6x+2y=54，然後第三式和第一式相減，就可以把 6x 都消掉，左邊剩下 2y 減負 7 y 得 9y，等號右邊為 54 減 18 得 36，所以 y=4，然後再將 y=4 代入第二式 得到 3y+4=27 ，可得 y=三分之 23。 周長＝ x x 面積＝ [解答] 周長＝ ，面積＝ 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

12 一元二次方程式根的公式 一元二次方程式 ， 根的公式： 隨堂練習 利用公式一元二次方程式 的根： 一元二次方程式 – 公式解
一元二次方程式 ， 根的公式： 利用加減消去法解下列聯立方程式 第一題 因為兩個式子都有 3y，而且一正一負 所以將兩個式子相加，就可以消去 3y 左邊得到 3x + 5x = 8x，右邊 = 8 得到 x = 1，將這個值代入第一個式子就可以得到 x 的值 計算細節的部分就請同學自己練習囉 第二題 發現兩個式子都有 2x，我們將 第一個式子 減去 第二個式子 就可以消去 2x y – 3y = -2y，右邊 4 – 8 = -4，就可以得到 y – 2 有時候我們會比較不習慣 負 的計算 我們就可以將下面的式子 減掉 上面的，得到 正的 2y = 4，一樣可以求得 x, y 的值 第三題 因為沒有共同的係數，不可以直接消去 如果我們選擇消去 x，就可以將 上面的是子 x 2，下面 x 3，讓 x 項的係數湊成 6 乘開來以後就會變成下面的式子 利用前面的技巧， 將第二個式子 減去 第一個式子就可以得到 9y – 4y = 5y 會等於 5 得到 y = 1，再將這個值代入任何式子就可以得到 x 第四題 因為分數不好計算，通常我們都會通分後處理 觀察這兩個式子，因為其他的都是分數，消去 4y 應該會比較簡單 上面 2y / 3 要得到 4y 就必須乘上 6 所以將第一個式子乘以 6 以後就變成 x – 4y = 0 接著同學應該就會計算了 隨堂練習 利用公式一元二次方程式 的根： 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司