大綱: 比例線段定義 平行線截比例線段性質 顧震宇 台灣數位學習科技股份有限公司

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1 大綱: 比例線段定義 平行線截比例線段性質 顧震宇 台灣數位學習科技股份有限公司
A D E B C 大綱: 比例線段定義 平行線截比例線段性質 顧震宇 台灣數位學習科技股份有限公司 本單元預備知識： 比與比例式的性質 (七年級下學期)

2 比例線段 (定義) 牆 光源 x x l 定義： 若四條線段的長度滿足比例式 ， 稱這四條線段長度成比例，或稱為比例線段。 比例線段
連比與連比例式 基本上 都是直接延伸自前面 學過的比和比例式 我們來看他們之間的一一對應關係 首先，我們來看連比，它就是幾個數的連續比 例如 a：b：c 稱為 a、b、c 三個數的連比 這個定義和比的差別就是 多個數和 只有 兩個數的比 同樣的，連比例式和比例式的差異也是一樣 在比例式裏面，是用來描述兩個數的比例相等 而連比例式呢，則是多的數的比例相等 例如，x：y：z ＝ a：b：c 就是指 等號 兩邊的比例相等 而多個數的比例相等 的意思 就是任兩個之間的比例都會相等 也就是 x：y ＝ a：b , y : z = b : c ,以及 x : z = a : c 因此， 如果這三個條件同時成立，就可以得到 x：y：z ＝ a：b：c 隨堂練習 第一題，連比例式就是任兩個之間的比例相等 所以我們可以先看 3 : 2 = x : 4，根據比例式的定義 等號 兩邊的比值相同，得到 3 / 2 = x / 4，就可以求出 x 接著再看 2 : 1 和 4 : y，得到 2 / 1 = 4 / y，就可以求出 y 第二題，若 xyz > 0 且 3x = 4y = 6z，求 x : y : z = 依據連比例式的定義，我們如果可以找到 x, y, z 之間兩兩的比例關係 就可以得到 x : y : z 了 從 3x = 4y，我們可以得到 x : y = 4 : 3 從 4y = 6z，就可以得到 y : z = 6 : 4 從 3x – 6z，就可以得到 x : z = 6 : 3 從這三個條件，我們希望讓中間的項一樣 根據比的擴分約分性質 這邊除以 2 就得到 3 : 2 同樣的 x : z 的部分可以除以 3 再乘以 2 就得到 4 : 2 我們將左邊的式子簡單整理一下，y : z 就等於 3 : 2，x : z 就等於 4 : 2 所以 a =4, b = 3, c = 2 因為同時滿足這三個條件，所以 x : y : z 就等於 20 : 15 : 12 同學一定會很好奇，看起來好像只要 x : y 和 y : z 兩個條件應該就可以得到 x : y : z 的值 這個觀察是正確的，我們在下一節就會介紹這個性質 定義： 若四條線段的長度滿足比例式 ， 稱這四條線段長度成比例，或稱為比例線段。 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

3 兩個三角形面積關係 A 兩個三角形底相等時，面積比＝高的比 D B C A D 兩個三角形高相等時，面積比＝底的比 B C E [證明]
比例線段 A 兩個三角形底相等時，面積比＝高的比 D [證明] 若 ，則 B C A D 兩個三角形高相等時，面積比＝底的比 [證明] 連比與連比例式 基本上 都是直接延伸自前面 學過的比和比例式 我們來看他們之間的一一對應關係 首先，我們來看連比，它就是幾個數的連續比 例如 a：b：c 稱為 a、b、c 三個數的連比 這個定義和比的差別就是 多個數和 只有 兩個數的比 同樣的，連比例式和比例式的差異也是一樣 在比例式裏面，是用來描述兩個數的比例相等 而連比例式呢，則是多的數的比例相等 例如，x：y：z ＝ a：b：c 就是指 等號 兩邊的比例相等 而多個數的比例相等 的意思 就是任兩個之間的比例都會相等 也就是 x：y ＝ a：b , y : z = b : c ,以及 x : z = a : c 因此， 如果這三個條件同時成立，就可以得到 x：y：z ＝ a：b：c 隨堂練習 第一題，連比例式就是任兩個之間的比例相等 所以我們可以先看 3 : 2 = x : 4，根據比例式的定義 等號 兩邊的比值相同，得到 3 / 2 = x / 4，就可以求出 x 接著再看 2 : 1 和 4 : y，得到 2 / 1 = 4 / y，就可以求出 y 第二題，若 xyz > 0 且 3x = 4y = 6z，求 x : y : z = 依據連比例式的定義，我們如果可以找到 x, y, z 之間兩兩的比例關係 就可以得到 x : y : z 了 從 3x = 4y，我們可以得到 x : y = 4 : 3 從 4y = 6z，就可以得到 y : z = 6 : 4 從 3x – 6z，就可以得到 x : z = 6 : 3 從這三個條件，我們希望讓中間的項一樣 根據比的擴分約分性質 這邊除以 2 就得到 3 : 2 同樣的 x : z 的部分可以除以 3 再乘以 2 就得到 4 : 2 我們將左邊的式子簡單整理一下，y : z 就等於 3 : 2，x : z 就等於 4 : 2 所以 a =4, b = 3, c = 2 因為同時滿足這三個條件，所以 x : y : z 就等於 20 : 15 : 12 同學一定會很好奇，看起來好像只要 x : y 和 y : z 兩個條件應該就可以得到 x : y : z 的值 這個觀察是正確的，我們在下一節就會介紹這個性質 B C E 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

4 三角形內平行線截比例線段 (1) A D E B C 中，若 ，則 [證明] 因為 ，所以 故
中，若 ，則 [證明] D E 因為 ，所以 故 B C 例題練習 如圖， ，求 連比的性質一 若 x：y = a：b 且 y：z = b：c，則 x：y：z = a：b：c 其實這個性質還蠻容易理解的，因為這裡有共同的 b 和 y 從定義我們知道，這三個條件同時成立，我們就可以說 x : y : z = a : b : c 而這個性質告訴我們，其實只要兩個條件就夠了 主要的原因是因為，我們可以從這兩個條件得到第三個比例式 我們來看它的證明 從 x : y = a : b 我們可以得到 x / a = y / b 從第二比例式，可以得到 y / b = z / c 因為 y / b 的部分一樣，所以就可以得到 x / a = z /c 因此就可以得到 x : z = a :c 用同樣的技巧，事實上，任何兩個條件成立，都可以得到 x:y:z 的關係喔 例如 x, y 和 x, z 或是 yz 和 xz 的條件都可以 A 三角形底相等， 面積比＝高的比。 三角形高相等， 面積比＝底的比。 3 3.6 D E 2 B C 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

5 三角形內平行線截比例線段 (2) A D E B C 中，若 ，則 [證明] 令 ， 中，若 ， 則 例題練習 如圖， ，求 A 6 6.6
中，若 ，則 [證明] 令 ， D E B C 例題練習 如圖， ，求 連比的性質一 若 x：y = a：b 且 y：z = b：c，則 x：y：z = a：b：c 其實這個性質還蠻容易理解的，因為這裡有共同的 b 和 y 從定義我們知道，這三個條件同時成立，我們就可以說 x : y : z = a : b : c 而這個性質告訴我們，其實只要兩個條件就夠了 主要的原因是因為，我們可以從這兩個條件得到第三個比例式 我們來看它的證明 從 x : y = a : b 我們可以得到 x / a = y / b 從第二比例式，可以得到 y / b = z / c 因為 y / b 的部分一樣，所以就可以得到 x / a = z /c 因此就可以得到 x : z = a :c 用同樣的技巧，事實上，任何兩個條件成立，都可以得到 x:y:z 的關係喔 例如 x, y 和 x, z 或是 yz 和 xz 的條件都可以 中，若 ， A 則 6.6 9 6 D E B C 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

6 三角形內平行線截比例線段 (3) A D E B F C 中，若 ，則 [證明] 做 ，則 因為 ，所以 令 ， 則 例題練習
中，若 ，則 [證明] 做 ，則 因為 ，所以 D E 令 ， 則 B F C 例題練習 連比的性質一 若 x：y = a：b 且 y：z = b：c，則 x：y：z = a：b：c 其實這個性質還蠻容易理解的，因為這裡有共同的 b 和 y 從定義我們知道，這三個條件同時成立，我們就可以說 x : y : z = a : b : c 而這個性質告訴我們，其實只要兩個條件就夠了 主要的原因是因為，我們可以從這兩個條件得到第三個比例式 我們來看它的證明 從 x : y = a : b 我們可以得到 x / a = y / b 從第二比例式，可以得到 y / b = z / c 因為 y / b 的部分一樣，所以就可以得到 x / a = z /c 因此就可以得到 x : z = a :c 用同樣的技巧，事實上，任何兩個條件成立，都可以得到 x:y:z 的關係喔 例如 x, y 和 x, z 或是 yz 和 xz 的條件都可以 如圖，人身高 1.7 公尺，人與光源的距離為 2 公尺，人與牆的距離為 2 公尺， 求人在牆上的影長為多少公尺 ? 1.7 2 2 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

7 平行線截比例線段性質 A D B M E C N F 如圖， ， 、 為兩條截線， 則 [證明] 過 A 做 ，交 於 M，交 於 N，
如圖， ， 、 為兩條截線， 則 A D B M E [證明] 過 A 做 ，交 於 M，交 於 N， 則 ， C N F 在 中，因為 ， 所以 例題練習 中，若 ， 如圖， ，求 連比的性質一 若 x：y = a：b 且 y：z = b：c，則 x：y：z = a：b：c 其實這個性質還蠻容易理解的，因為這裡有共同的 b 和 y 從定義我們知道，這三個條件同時成立，我們就可以說 x : y : z = a : b : c 而這個性質告訴我們，其實只要兩個條件就夠了 主要的原因是因為，我們可以從這兩個條件得到第三個比例式 我們來看它的證明 從 x : y = a : b 我們可以得到 x / a = y / b 從第二比例式，可以得到 y / b = z / c 因為 y / b 的部分一樣，所以就可以得到 x / a = z /c 因此就可以得到 x : z = a :c 用同樣的技巧，事實上，任何兩個條件成立，都可以得到 x:y:z 的關係喔 例如 x, y 和 x, z 或是 yz 和 xz 的條件都可以 則 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

8 比例線段是否產生平行線 ? A 如圖， 中，已知 ， 則 是否與 平行 ? D E F B C A
如圖， 中，已知 ， 則 是否與 平行 ? 過 B 作 交 於 F 點。 因為 所以 又 D E F 中，若 ， B C 則 A 如圖， 中，已知 ， 則 是否與 平行 ? F 連比的性質一 若 x：y = a：b 且 y：z = b：c，則 x：y：z = a：b：c 其實這個性質還蠻容易理解的，因為這裡有共同的 b 和 y 從定義我們知道，這三個條件同時成立，我們就可以說 x : y : z = a : b : c 而這個性質告訴我們，其實只要兩個條件就夠了 主要的原因是因為，我們可以從這兩個條件得到第三個比例式 我們來看它的證明 從 x : y = a : b 我們可以得到 x / a = y / b 從第二比例式，可以得到 y / b = z / c 因為 y / b 的部分一樣，所以就可以得到 x / a = z /c 因此就可以得到 x : z = a :c 用同樣的技巧，事實上，任何兩個條件成立，都可以得到 x:y:z 的關係喔 例如 x, y 和 x, z 或是 yz 和 xz 的條件都可以 以 D 為圓心， 之長為半徑，畫弧交 於 F 點 則 D E B C 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

9 重點整理 平行線截比例線段 三角形比例線段(1) 三角形比例線段(2) 兩個三角形面積關係
若四條線段長度滿足 比例式，則稱 四條線段為比例線段 兩個三角形面積關係 底相等，則 面積比＝高的比 高相等，則 面積比＝底的比 平行線截比例線段 三角形比例線段(1) 三角形比例線段(2) 中， 中， 例 一開始，我們介紹連比例式的定義 我們用 x, y, z = a, b, c 來表示這兩個連比的比例相等 而比例相等的意思就是兩兩之間要成比例 也就是 x : y = a : b, y : z = b : c 而且 x : z = a : c 要同時成立 雖然定義告訴我們 3 個條件要同時成立 但因為只要前面兩個條件成立，就可以得到第三個關係式 這就是我們介紹的性質一 若定義中 3 個條件中兩個成立，一樣可以得到連比例式的關係 例如， x : y, y : z，就可以得到 x : y : z 的關係 要注意，這裏共同的 y 所對應的值 b 要一樣 如果不一樣呢? 例如，5 : 2 和 3 : 4 我們就要透過比的擴分性質 將 5 : 2 乘以 3，3 : 4 乘以 2 讓中間的項得到相同的 6 而這個性質的證明關鍵是利用 x : y = a : b來得到 x / a = y / b 的關係 最後得到 x / c = y / z，也就是第三個條件 x : z = a : c 接著我們則介紹比的擴分與約分 也就是同時乘或除一個不為 0 的數，比例關係不變 例如，因為這裏的 4 x 2 = 8，也就是 m = 2，每一項都 x 2 就可以分別得到 x = 5x2 與 y = 9 x 2 的值了 而性質2 的證明則直接應用比的擴分 a : b = am : bm 和 第一個性質 a : b, b : c 的條件而得到 a : b : c = am : bm : cm 性質 3 則是一個重要的解題技巧 也就是當看到 x : y : z = a : b : c 時，我們通常可以假設 x = am, y = bm, z = cm 代入題目求解 例如，x : y : z = 2 : 1 : 3，就可以將 x, y, z 用 2m, m 和 3m 代入 因為每一項都有 m，最後可以約去而得到答案 因為通常都可以約去，有時候我們可以直接審略 m 直接用 2, 1, 3 代入來更快得到答案 而這個性質的證明，則是利用 x : y : z = a : b : c 來得到 x/a = y / b = z / c 的關係 將這個值設成 m，就可以得到 x=am, y=bm, z=cm 了 A A A D F x 1.7 E B D E 2 2 D E F C B B C C 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

10 重點整理 連比例式的定義 性質(1) 性質(2) 性質(3) (求 a : b : c 連比例) (擴分、約分) (重要的解題技巧)
x：y = a : b y : z = b : c x : z = a : c x：y：z ＝ a：b：c (兩個連比的比例相等) 証 性質(1) (求 a : b : c 連比例) 若 x：y = a : b y : z = b : c 則 x : y : z = a : b : c 例 x : y : z 5 : 2 a : b = am : bm 15 : 6 3 : 4 6 : 8 証 性質(2) (擴分、約分) a : b = am : bm b : c = bm : cm 例 4 : 5 : 9 = 8 : x : y，求 x, y 一開始，我們介紹連比例式的定義 我們用 x, y, z = a, b, c 來表示這兩個連比的比例相等 而比例相等的意思就是兩兩之間要成比例 也就是 x : y = a : b, y : z = b : c 而且 x : z = a : c 要同時成立 雖然定義告訴我們 3 個條件要同時成立 但因為只要前面兩個條件成立，就可以得到第三個關係式 這就是我們介紹的性質一 若定義中 3 個條件中兩個成立，一樣可以得到連比例式的關係 例如， x : y, y : z，就可以得到 x : y : z 的關係 要注意，這裏共同的 y 所對應的值 b 要一樣 如果不一樣呢? 例如，5 : 2 和 3 : 4 我們就要透過比的擴分性質 將 5 : 2 乘以 3，3 : 4 乘以 2 讓中間的項得到相同的 6 而這個性質的證明關鍵是利用 x : y = a : b來得到 x / a = y / b 的關係 最後得到 x / c = y / z，也就是第三個條件 x : z = a : c 接著我們則介紹比的擴分與約分 也就是同時乘或除一個不為 0 的數，比例關係不變 例如，因為這裏的 4 x 2 = 8，也就是 m = 2，每一項都 x 2 就可以分別得到 x = 5x2 與 y = 9 x 2 的值了 而性質2 的證明則直接應用比的擴分 a : b = am : bm 和 第一個性質 a : b, b : c 的條件而得到 a : b : c = am : bm : cm 性質 3 則是一個重要的解題技巧 也就是當看到 x : y : z = a : b : c 時，我們通常可以假設 x = am, y = bm, z = cm 代入題目求解 例如，x : y : z = 2 : 1 : 3，就可以將 x, y, z 用 2m, m 和 3m 代入 因為每一項都有 m，最後可以約去而得到答案 因為通常都可以約去，有時候我們可以直接審略 m 直接用 2, 1, 3 代入來更快得到答案 而這個性質的證明，則是利用 x : y : z = a : b : c 來得到 x/a = y / b = z / c 的關係 將這個值設成 m，就可以得到 x=am, y=bm, z=cm 了 性質(3) (重要的解題技巧) 証 例 2m, m, 3m 蘇德宙 老師 台灣數位學習科技股份有限公司