究竟有多少個正多面體呢？.

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1 究竟有多少個正多面體呢？

2 歐拉公式 對簡單多面體而言，其頂點數(V)、 面數(F)及棱數(E)滿足以下公式： V + F – E = 2

3 例子：若一凸三十二面體的頂點數是60，求它的棱數。
解： V=60, F=32 代入 V+F-E=2，得： E = V+F-2 = = 90 該多面體的棱數是90。

4 例子：若一凸多面體的面全是三角形，證明 F=2V - 4。
解：由於每塊面有3條邊，而每條邊是兩 塊相鄰面所共有，所以： E = 3F/2 ………….(*) 引用歐拉公式 V+F-E=2，得： 2V+2F-2E=4 把(*)代入，得： 2V+2F–3F=4 2V- F =4  F= 2V – 4。

5 m的意義 m代表一個正多面體每塊面上的邊數 m=4 m=3 正六面體 正四面體

6 n的意義 n代表一個正多面體每個頂點上的邊數 n=3 n=4 正六面體 正八面體

7 想想看：mF = ? m代表一個正多面體每塊面上的邊數 m=3 m=4 F=8 F=6 E=12 E=12 mF=24 =2E mF=24
正六面體 正八面體

8 想想看：nV = ? n代表一個正多面體每個頂點上的邊數 n=4 n=3 V=6 V=8 E=12 E=12 nV=24 =2E nV=24
正六面體 正八面體

9 一個幾何定理 定理：正多面體只有五種

10 證明：正多面體只有五種 假設m代表一正多面體每塊面上的邊數 n代表它的每個頂點上的邊數 考慮以下公式： (1) (2)

11 將(1)、(2)式代入歐拉公式，得： (3)

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13 m-2 n-2 m n 1 1 3 3 3 4 1 2 3 5 1 3 4 3 2 1 5 3 3 1

14 把不同的m, n值代回(1)、(2)、(3)，得：
E F 多面體名稱 3 6 4 正四面體 12 8 正八面體 5 30 20 正二十面體 正六面體 正十二面體

15 結論 正多面體只有以下五種：

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