Virial Expansion to the Third Order for a Unitary Fermi Gas

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1 Virial Expansion to the Third Order for a Unitary Fermi Gas
冷原子物理博士生论坛 幺正费米气体的三阶维里展开 Virial Expansion to the Third Order for a Unitary Fermi Gas 高 超 高等研究院，清华大学 %X3.0: Sun, Copy from 答辩X2.6.pptx. %X3.1: Wed, restart. %b21_ColdPhD_CG_v0.1.pptx: based on b21_LPhys15_CG_v0.0.pptx. Start revising according to Yvan’s suggestion. %0.1: further revision: 3BP %0.2: conti: focus on 3BP in page 13. %0.3: , rehearsal. %0.4: , conti. %afternoon, conti(exactly express Et). %0.5: night, revise the 3bBCM part. %0.6: late night, state the details about spectrum and b21. 谢谢组委会给我这次机会，我是高超，来自清华大学高等研究院，严格说来我没有资格论坛，因为上个月刚刚毕业，但好歹提交时还没毕业，。。。。 回到正题，今天我将介绍我最近的一个工作[1]，关于两分量幺正费米气体的高温维里展开，主要讨论的是三阶维里系数。 这个工作主要是跟法国巴黎高师的Yvan Castin，Shimpei Endo合作的。 合作者: Shimpei ENDO (ENS) Yvan CASTIN (ENS) 02/08/2015 @长春 1

2 Outline 𝑎 𝑠 →±∞ Introduction I. Problem II. Methods III. Results
3rd virial coefficient across an Efimov threshold, divergent behavior? Spectrum of 2+1 system II. Methods hyperspherical formalism harmonic regulator 3-body boundary condition model 𝑎 𝑠 →±∞ spin down spin up III. Results no divergence for 3rd virial coefficient! Important role of 3-body parameter(3BP) without Efimov effect 这是报告的一个提纲概要（outline） 在简单的介绍之后，我将先描述我们所关心的问题，重点是：对于幺正费米气体，三阶维里系数在跨过Efimov阈值时是否发散？ 这样一个问题涉及到2+1粒子的能谱问题。 为此我将介绍我们采用的方法，包括实空间超球坐标体系，球谐势阱正规化，三体边界条件模型。 通过一系列的分析，最后给出我们得到的结果，说明三阶维里系数不发散，并给出物理解释，我们将看到三体参数发挥的重要作用。 最后是总结。 Summary

3 𝑍 𝑛 : 𝑛-body partition function
Introduction Virial(cluster) expansion 𝑃= 𝑇 𝜆 3 𝑛≥1 𝑏 𝑛 𝑧 𝑛 𝑧= 𝑒 𝛽𝜇 : fugacity(易逸度) high temperature: 𝜇∝−𝑇 ln 𝑇 ⇔𝑧→0 few-many Ω=−𝑇 ln 1+ 𝑛≥1 𝑍 𝑛 𝑧 𝑛 𝑏 2 = 𝑍 2 𝑍 1 − 𝑍 1 2 𝑏 3 = 𝑍 3 𝑍 1 − 𝑍 2 + 𝑍 A bridge! %这一工作揭示了三体关联的重要作用。 首先简单介绍维里展开(或者也成为团簇展开)。在高温下或者低密度情形下，对于热力学势可以按照一些简并参数的进行小量展开。譬如对于一个均匀体系，可以对压强按照易逸度进行展开。易逸度是化学势和温度之比的指数形式，在高温下化学势趋向于负无穷，具体是T乘上logT的指数形式，因此易逸度趋向于零，（表明在高温下体系倾向于？），可以按照它进行展开。 我们可以看到维里展开的提供了少体物理与多体物理的一种理解方式。 热力学势关于易逸度和n体配分函数具有这样的统计关系，将其逐项展开，可以得到n阶维里系数与n体配分函数的关系式，也就是$n$阶维里系数取决于$n$体问题，因此维里展开架起了少体物理到多体物理的桥梁。 对于无相互作用体系我们可以解析地得到表达式。（可以参考一般教材比如huangkexun的） 𝑍 𝑛 : 𝑛-body partition function non-interacting Bosons: 𝑏 𝑛 (0) = 𝑛 −5/2 Fermions: 𝑏 𝑛 (0) = 𝑛 −5/2 −1 𝑛+1 Kerson Huang, Statistical Mechanics (1987)

4 Introduction Virial(cluster) expansion interacting
𝑃= 𝑇 𝜆 3 𝑛≥1 𝑏 𝑛 𝑧 𝑛 𝑧= 𝑒 𝛽𝜇 : fugacity(易逸度) high temperature: 𝜇∝−𝑇 ln 𝑇 ⇔𝑧→0 interacting E. Bethe, G. Uhlenbeck, Physica III, 8, 729 (1936) Physica IV, 10, 915 (1937) 2nd coefficient well studied T.D. Lee, C.N. Yang, Phys. Rev. 116, 25 (1959) B. Jancovici, Phys. Rev. 178, 295 (1969) 3rd coefficient 而对于有相互作用的量子体系，研究很早就开始了。 一阶系数是平凡的是一个常数。 而两体系数最早在1936,1937由Bethe和Ulenbeck进行了详细的讨论。 而对于三阶系数，最早研究的都是有限相互作用的体系，因此可以用两体硬核模型，得到是关于a/lambda的展开形式，参考XXXX的工作。 随着冷原子物理的发展，我们可以通过一些手段比如feshbach共振的方法调节相互作用，甚至达到幺正极限。 对于费米子体系，有一些突破性的进展。 non-resonant interaction usual model: 2-body hard-core 𝑏 3 = 𝑏 3 (𝑎/ 𝜆 𝑇 ) 𝑎: scattering length 𝜆 𝑇 : thermal length Resonant interaction? Recent experimental breakthrough!

5 Introduction Q: 𝑚 1 ≠ 𝑚 2 ? Equation of state (EoS) 𝑎 𝑠 →±∞
𝑃( 𝜇 1 , 𝜇 2 ,𝑇)= 𝑃 (0) 𝜇 1 ,𝑇 ℎ 𝜇 1 / 𝜇 2 , 𝑧 1 −1 𝑧 𝑖 = 𝑒 𝛽 𝜇 𝑖 𝑎 𝑠 →±∞ Virial expansion ℎ(1,𝑧 1 −1 ) 𝑃= 𝑇 𝜆 3 𝑛 1 , 𝑛 2 𝑏 𝑛 1 , 𝑛 2 𝑧 1 𝑛 1 𝑧 2 𝑛 2 特别的，对于在幺正极限下的两分量费米子体系，已经有很多研究了，这里展示的是法国巴黎高师(ENS)的C. Salomon组在2010年的一个实验，他们测量了系统的状态方程。其中横轴是易逸度$z$的倒数（易逸度是$e^{\beta*\mu}$是标志量子简并的参数，温度越高，值越大）；纵轴$h$是压强以单分量无相互作用（费米子）气体的压强做标度后的函数。黑点是实验测量结果，其他的蓝色，黑色，紫色的点是之前的理论和数值结果。 红色的线是高温维里展开的结果。现在是两分量，所以维里展开有两个指标。这个实验测量的是同一元素量，两分量质量相同，化学势相同。我们看到在这个实验中的高温段到三阶四阶的时候已经符合的很好。 那么接下来很自然的一个问题是如果质量不相同会怎么样？ Equation of state the ENS experiment! Virial expansion Blue triangles: (2006) Evgeni Burovski, Nikolay Prokof’ev, Boris Svistunov, and Matthias Troyer, Phys. Rev. Lett. 96, (2006), Critical Temperature and Thermodynamics of Attractive Fermions at Unitarity Green stars: (2006) Aurel Bulgac, Joaquín E. Drut, and Piotr Magierski, Phys. Rev. Lett. 96, (2006), Spin 12 Fermions in the Unitary Regime_ A Superfluid of a New Type. Purple diamonds: (2007) R. Haussmann, W. Rantner, S. Cerrito, and W. Zwerger, Phys. Rev. A 75, (2007), Thermodynamics of the BCS-BEC crossover. Liu, Hu, Drummond, PRL 102, (2009) Q: 𝑚 1 ≠ 𝑚 2 ? 𝑧 1 −1 𝑚 1 = 𝑚 2 , 𝜇 1 = 𝜇 2 Nascimbene et al (ENS), Nature 463, 1057 (2010)

6 Efimov Physics(bosons)
Scaling spectrum 𝐸 𝑛 = 𝐸 0 𝑒 −2𝜋𝑛/𝑆 (𝑛≥0) 1 3 2 𝑥 1 = 𝑟 23 3 2 𝑦 1 = 𝑟 1,23 hyperradius : 𝑅 2 = 2 3 𝑖<𝑗 𝒓 𝑖 − 𝒓 𝑗 2 = 𝑥 𝑖 2 + 𝑦 𝑖 2 hyperangles: 𝛺= 𝒙 𝑖 , 𝒚 𝑖 , 𝛼 𝑖 = tan −1 𝑦 𝑖 / 𝑥 𝑖 decomposition: Ψ 𝑅,𝛺 = 𝑛 𝑅 −2 𝑓 𝑛 𝑅 Φ 𝑛 (Ω;𝑅) Anugular part: Λ Ω 2 + 𝑅 2 𝑖 𝑉 𝑅 cos⁡ 𝛼 𝑖 Φ 𝑛 𝑅,Ω = 𝜆 𝑛 (𝑅) Φ 𝑛 Radial part: − 𝑑 2 𝑑 𝑅 2 − 𝑑 𝑅𝑑𝑅 + 𝜆 𝑛 +4 𝑅 2 −𝐸 𝑓 𝑛 = 𝑛 ′ 𝑃 𝑛 𝑛 ′ 𝑑 𝑑𝑅 + 𝑄 𝑛 𝑛 ′ 𝑓 𝑛 ′ hyperspherical formalism 𝒙 𝑖 , 𝒚 𝑖 (𝑖=1,2,3): Jacobi coordinates berry phase: 𝑃 𝑛 𝑛 ′ = Φ 𝑛 𝜕 𝑅 Φ 𝑛 ′ Ω ; 𝑄 𝑛 𝑛 ′ = Φ 𝑛 𝜕 𝑅 2 Φ 𝑛 ′ Ω Scaling potential (𝑆= …) − 𝑑 2 𝑑 2 𝑅 − 𝑑 𝑅𝑑𝑅 + 𝑉 eff 3𝑏 𝑅 −𝐸 𝑓 3𝑏 𝑅 =0 − 𝑆 2 𝑅 2 𝑎 𝑠 →±∞ V. Efimov, Phys. Lett. B 33, 563 (1970) 为什么要关心质量不相等的情形呢？一个原因就是我们在理论上可以通过调节质量比来控制产生Efimov态。 这里来回顾一下Efimov相关的物理。大家也许知道，最早俄国物理学家Efimov研究三个全同玻色子的能谱，发现这个体系在两体相互作用发生共振时具有一系列无穷多的三体束缚态，其能量具有标度律。如何理解呢？一种处理方法是在实空间中解三体薛定谔方程，得到一个有效的二维径向方程，其中V_eff是有效的三体相互作用势，它是吸引势，并且正比于1/R^2，这与动能项有相同的标度性。这是因为在低能下描述两体相互作用只需要一个参数即散射长度，而在幺正极限下散射长度发散，再没有任何量纲尺度了，因而有效相互作用只有这种形式。其中S可以通过超球坐标形式来求解。 这里做简单介绍（%如果时间不够就不说了）。基本想法是重构更加合适的坐标，包括超球半径和超球角度。超球半径是。。。 resonance: 𝑃 𝑛 𝑛 ′ , 𝑄 𝑛 𝑛 ′ ~0

7 Efimov Physics(fermions)
Scaling spectrum 𝐸 𝑛 = 𝐸 0 𝑒 −2𝜋𝑛/𝑆 (𝑛≥0) 𝑚 2 Scaling potential 𝑚 1 − 𝑑 2 𝑑 2 𝑅 − 𝑑 𝑅𝑑𝑅 + 𝑉 eff 3𝑏 𝑅 −𝐸 𝑓 3𝑏 𝑅 =0 𝑚 1 − 𝑆 𝑙 2 𝑅 2 ≡ 𝑠 𝑙 2 𝑅 2 ~− 𝑚 1 𝑚 2 𝐶 2 −𝑙(𝑙+1) 𝑅 2 𝑎 𝑠 →±∞ 𝑎 𝑠 →±∞ (Born-Oppenheimer) (𝐶=0.567…) (𝛼= 𝑚 1 / 𝑚 2 ) D. Petrov, Phys. Rev. A 67, (2003) O. Kartavtsev, A. Malykh, Zh. Eksp. Teor. Phys. 86, 713 (2007) 𝑙: odd(∵fermion) 𝑙=1 𝑙=3 𝑙=5 𝛼 𝑐 𝑙 : 𝑠 1 2 >0 𝑠 1 2 <0 在随后的研究中发现很多体系都有Efimov态，这是个普适的现象。比如两分量费米子体系。但是这个体系与玻色子不同（等质量的时候并不存在Efimov态），只有质量比达到一定阈值时才具有。考虑两分量质量相差很大，可以作BOA，会得到，有效的三体相互作用势是这样的，（为什么？！！！）其中$l$是三体总的角动量，$C$是一个常数，%$m_1/m_2$是质量比。可以看到，要使得相互作用为吸引势，质量比必须要达到一定阈值。 更严格的，比如用超球坐标的方法精确的计算给出下面这些阈值。其中由于是要满足费米子对称性，$l$必须是奇数（为什么?）。 比如对于$l=1$, 当小于13.6时，在这个角动量通道上就不存在Efimov态，大于阈值时才存在。 回到所以很自然的问题是：在跨过这个阈值时系统会有什么样的变化？具体说来，状态方程，维里系数？ Efimov physics in Fermi gas: threshold (why?) Now b_3! Why? Q: why $l$ odd? Q: why mass ratio threshold, rather than always exists? Q: 𝑏 2,1 across 𝛼 c ?

8 Problem Third virial coefficient Q: 2-body zero-range model?
𝑃= 𝑇 𝜆 3 𝑏 1,0 𝑧 1 + 𝑏 0,1 𝑧 2 + 𝑏 1,1 𝑧 1 𝑧 2 + 𝑏 2,0 𝑧 𝑏 0,2 𝑧 𝑏 2,1 𝑧 1 2 𝑧 2 + 𝑏 1,2 𝑧 1 𝑧 2 2 +… vertical slop? value? 𝑏 2,1 (𝛼)= 𝑏 1,2 (1/𝛼) 𝑏 2,1 %关于三阶维里系数，首先理论上就是由这些少体的配分函数决定的。 之前在2012年，D. Blume小组用数值的方法做了一些研究，但是只有小于阈值时的结果，并且在接近阈值时，似乎存在发散行为。这样的结果预示着系统可能存在相变，而且是在任意大温度，这并不符合物理知觉。 他们使用的是两体零力程的模型， 𝛼= 𝑚 1 / 𝑚 2 K. Daily, D. Blume, Phys. Rev. A 85, (2012) 𝛼 𝑐 𝑙=1 = Q: 2-body zero-range model? 2-body zero-range model

9 Methods Third virial coefficient 2-body zero-range model
𝐵 2,1 = 𝑍 2,1 / 𝑍 1 + 𝑍 1 2 − 𝑍 1,1 − 𝑍 2,0 ~ 𝑒 −𝛽𝜔 𝑠 𝑠∝ 𝛼 𝑐 −𝛼 1/2 𝑑 𝐵 2,1 𝑑𝛼 ∝ 𝛼 𝑐 −𝛼 −1/2 : 1st order divergence! 𝐸 𝑞 3𝑏 = 2𝑞+𝑠+1 𝜔, 𝑞∈ℕ Third virial coefficient Harmonic regulator harmonic trap 𝜔→0 free space 𝑏 𝑛 1 , 𝑛 2 = lim 𝜔→ 𝑚 1 𝑛 1 + 𝑚 2 𝑛 2 𝑚 𝑟 3/2 𝐵 𝑛 1 , 𝑛 2 (𝜔) 𝑏 2,1 (virial expansion in harmonic trap) 我们同样使用了两体零力程模型，但使用了一个技巧，就是先计算简谐势中的情形，然后将势阱频率趋向于零，得到自由空间的结果。 这种方法的好处在于简谐势下三体问题是解析可解的，因此能解释为什么会出现发散行为。由于 %视情况增减三体问题求解析解 (Local density approximation) value? 2-body zero-range model 0-parameter CG, S. Endo, Y. Castin, Europhys. Lett. 109, (2015) 𝛼= 𝑚 1 / 𝑚 2 𝛼 𝑐 𝑙=1 =

10 3-body boundary condition model
(3bBCM) − 𝑑 2 𝑑 2 𝑅 − 𝑑 𝑅𝑑𝑅 + 𝑉 eff 𝜔 2 𝑅 2 𝑓 𝑅 =𝐸𝑓(𝑅) 𝑉 eff = 𝑠 2 𝑅 2 [𝑠∝ 𝛼 𝑐 −𝛼 1/2 ] 𝛼 𝑐 𝑠 2 >0,𝑠∈ ℝ + 𝑠 2 →0 𝑠 2 <0,𝑠∈ 𝕚 ℝ + 𝐸 𝑛 = 𝐸 0 𝑒 −2𝜋𝑛/𝑆 𝑛=0 𝑛→−∞? Fall to the center! 𝑓 𝑅 = 𝑅 𝑅 𝑡 𝑖 𝑠 − 𝑅 𝑅 𝑡 −𝑖 𝑠 +𝑂( 𝑅 2 ) 1-parameter: 𝑅 𝑡 (3BP) 𝐸 0 =− 𝐸 t exp⁡(−2𝜋/|𝑠|), General sol.: 𝑓~ 𝑅→0 𝑅 𝑖 𝑠 , 𝑅 −𝑖 𝑠 𝐸 t = Γ 1+𝑠 Γ 1−𝑠 1/𝑠 2 𝑅 𝑡 2 Compare to: 𝜓 2𝑏 𝑟 ∝ 1 𝑟 − 1 𝑎 先看质量比大于阈值的情形。这时系统存在无限多三体Efimov态，这是因为有吸引势，但是从数学上来讲这些本征态没有下限，也就说是n可以趋向于负无穷，这会导致朗道书上所说的“坠入中心”，为了得到一个物理的结果，我们需要对能态进行限制，n最小从0开始，并且对于波函数来说可以需要修改边界条件。这个方程在数学上有两个解，在R趋向于0时的行为是R to s, -s。我们的边界条件模型就是给定这两个解的相对大小，用一个带长度量纲的量来参数化，这个参数Rt刻画了三体短程关联行。它与E_0的关系式是这样的，这里我们又引进了一个能量尺度Et，它与实际系统中的范德瓦尔斯能量相当，R_t也就是范德瓦尔斯半径。Et或者Rt就是三体参数。

11 3-body spectrum 𝛼 𝑐 𝑠 2 >0,𝑠∈ ℝ + 𝑠 2 →0 𝑠 2 <0,𝑠∈ 𝕚 ℝ + 𝑞∈ℕ
− 𝑑 2 𝑑 2 𝑅 − 𝑑 𝑅𝑑𝑅 + 𝑉 eff 𝜔 2 𝑅 2 𝑓 𝑅 =𝐸𝑓(𝑅) 𝑉 eff = 𝑠 2 𝑅 2 [𝑠∝ 𝛼 𝑐 −𝛼 1/2 ] 𝛼 𝑐 𝑠 2 >0,𝑠∈ ℝ + 𝑠 2 →0 𝑠 2 <0,𝑠∈ 𝕚 ℝ + Solution:𝑓 𝑅 = 𝑒 −𝜔 𝑅 2 /2 𝑅 𝑠 𝑈 1+𝑠−𝐸/𝜔 2 ,𝑠+1,𝜔 𝑅 2 𝑓 𝑅 = 𝑅 𝑅 𝑡 𝑖 𝑠 − 𝑅 𝑅 𝑡 −𝑖 𝑠 +𝑂( 𝑅 2 ) 3bBCM: Im ln Γ 1+𝑠−𝐸/𝜔 𝑠 2 ln 2𝜔 𝐸 𝑡 + 𝑞+1 𝜋=0 先看质量比大于阈值的情形。这时系统存在无限多三体Efimov态，这是因为有吸引势，但是从数学上来讲这些本征态没有下限，也就说是n可以趋向于负无穷，这会导致朗道书上所说的“坠入中心”，为了得到一个物理的结果，我们需要对能态进行限制，n最小从0开始，并且对于波函数来说可以需要修改边界条件。这个方程在数学上有两个解，在R趋向于0时的行为是R to s, -s。我们的边界条件模型就是给定这两个解的相对大小，用一个带长度量纲的量来参数化，这个参数Rt刻画了三体短程关联行。它与E_0的关系式是这样的，这里我们又引进了一个能量尺度Et，它与实际系统中的范德瓦尔斯能量相当，R_t也就是范德瓦尔斯半径。Et或者Rt就是三体参数。 𝑞∈ℕ 𝐸<0: 𝐸 𝑞 < = 𝐸 0 𝑒 −2𝜋𝑞/𝑆 𝐸>0: 𝐸 𝑞 > =𝜔 2𝑞+Δ 𝜔 +𝑂(1/𝑞) 𝐵 2,1 =3 𝑞 𝑒 −𝛽 𝐸 < +const(𝛼) − ∞ 𝑑𝐸𝛽Δ 𝐸 𝑒 −𝛽 𝐸 > Δ=2+ 2 𝜋 atan tan 𝑠 2 ln 𝐸/ 𝐸 𝑡 th 𝑠 2 𝜋 𝑠 ln 𝐸/ 𝐸 𝑡 2𝜋

12 3-body boundary condition model
− 𝑑 2 𝑑 2 𝑅 − 𝑑 𝑅𝑑𝑅 + 𝑉 eff 𝜔 2 𝑅 2 𝑓 𝑅 =𝐸𝑓(𝑅) 𝑉 eff = 𝑠 2 𝑅 2 [𝑠∝ 𝛼 𝑐 −𝛼 1/2 ] 𝛼 𝑐 𝑠 2 >0,𝑠∈ ℝ + 𝑠 2 →0 𝑠 2 <0,𝑠∈ 𝕚 ℝ + 𝐸 𝑛 = 𝐸 0 𝑒 −2𝜋𝑛/𝑆 𝑛=0 𝑅 𝑠 General sol.: 𝑓~ 𝑅→0 𝑅 𝑠 , 𝑅 −𝑠 再看会没有Efimov的一侧，三体相互作用势是排斥的, 当质量比远小于阈值时，短程排斥势非常强，能谱对于短程关联不敏感。可以想象$R$趋向于零时，波函数趋向于零。因而引入的三体边界条件模型就只有R^s项，没有任何参数。维里系数的结果也将回到之前研究的结果。 𝑓 𝑅 = 𝑅 𝑅 𝑡 𝑖 𝑠 − 𝑅 𝑅 𝑡 −𝑖 𝑠 +𝑂( 𝑅 2 ) 0-parameter 𝑓 𝑅 = 𝑅 𝑠 +𝑂( 𝑅 2−𝑠 ) 1-parameter: 𝑅 𝑡 (3BP)

13 3-body boundary condition model
− 𝑑 2 𝑑 2 𝑅 − 𝑑 𝑅𝑑𝑅 + 𝑉 eff 𝜔 2 𝑅 2 𝑓 𝑅 =𝐸𝑓(𝑅) 𝑉 eff = 𝑠 2 𝑅 2 [𝑠∝ 𝛼 𝑐 −𝛼 1/2 ] 𝛼 𝑐 𝑠 2 >0,𝑠∈ ℝ + 𝑠 2 →0 𝑠 2 <0,𝑠∈ 𝕚 ℝ + 𝐸 𝑛 = 𝐸 0 𝑒 −2𝜋𝑛/𝑆 𝑛=0 𝑅 𝑠 General sol.: 𝑓~ 𝑅→0 𝑅 𝑠 , 𝑅 −𝑠 但是当质量比趋近于阈值时，排斥势变得越来越浅，因而波函数可以进入到短程。 The root s = u1,0 > 0 then vanishes as (αc − α)1/2 and the centrifugal barrier in the hyperradial equation (4) weakens, so that the function F(R), the eigenenergies E and the third cluster coefficient become increasingly sensitive to short distance physics of the interaction [30,34]. 𝑓 𝑅 = 𝑅 𝑅 𝑡 𝑖 𝑠 − 𝑅 𝑅 𝑡 −𝑖 𝑠 +𝑂( 𝑅 2 ) 0-parameter 𝑓 𝑅 = 𝑅 𝑠 +𝑂( 𝑅 2−𝑠 ) 1-parameter: 𝑅 𝑡 (3BP)

14 3-body boundary condition model
− 𝑑 2 𝑑 2 𝑅 − 𝑑 𝑅𝑑𝑅 + 𝑉 eff 𝜔 2 𝑅 2 𝑓 𝑅 =𝐸𝑓(𝑅) 𝑉 eff = 𝑠 2 𝑅 2 [𝑠∝ 𝛼 𝑐 −𝛼 1/2 ] 𝛼 𝑐 𝑠 2 >0,𝑠∈ ℝ + 𝑠 2 →0 𝑠 2 <0,𝑠∈ 𝕚 ℝ + 𝑅 𝑠 𝐸 𝑛 = 𝐸 0 𝑒 −2𝜋𝑛/𝑆 𝑛=0 𝑅 𝑠 −𝑅 −𝑠 General sol.: 𝑓~ 𝑅→0 𝑅 𝑠 , 𝑅 −𝑠 但是当质量比趋近于阈值时，排斥势变得越来越浅，能谱对于短程关联越来越敏感，三体波函数可以进入到短程。 这时候与大于阈值时的行为类似，波函数有两项：。。。。 都用三体参数来描述。 这是一个统一的模型，能够在两侧平滑过渡， %因而最终得到的三阶维里系数也是质量比的光滑函数。 𝑓 𝑅 = 𝑅 𝑅 𝑡 𝑖 𝑠 − 𝑅 𝑅 𝑡 −𝑖 𝑠 +𝑂( 𝑅 2 ) 1-parameter: 𝑅 𝑡 (3BP) 𝑓 𝑅 = 𝑅 𝑅 𝑡 +𝑠 − 𝑅 𝑅 𝑡 −𝑠 +𝑂( 𝑅 2−𝑠 ) 𝐸 0 = −𝐸 t exp⁡(−2𝜋/|𝑠|), 𝐸 0 =0, 𝐸 t = Γ 1+𝑠 Γ 1−𝑠 1/𝑠 2 𝑅 𝑡 2

15 3-body spectrum 𝛼 𝑐 𝑠 2 >0,𝑠∈ ℝ + 𝑠 2 →0 𝑠 2 <0,𝑠∈ 𝕚 ℝ +
− 𝑑 2 𝑑 2 𝑅 − 𝑑 𝑅𝑑𝑅 + 𝑉 eff 𝜔 2 𝑅 2 𝑓 𝑅 =𝐸𝑓(𝑅) 𝑉 eff = 𝑠 2 𝑅 2 [𝑠∝ 𝛼 𝑐 −𝛼 1/2 ] 𝛼 𝑐 𝑠 2 >0,𝑠∈ ℝ + 𝑠 2 →0 𝑠 2 <0,𝑠∈ 𝕚 ℝ + Solution:𝑓 𝑅 = 𝑒 −𝜔 𝑅 2 /2 𝑅 𝑠 𝑈 1+𝑠−𝐸/𝜔 2 ,𝑠+1,𝜔 𝑅 2 3bBCM: 𝑓 𝑅 = 𝑅 𝑅 𝑡 𝑠 − 𝑅 𝑅 𝑡 −𝑠 +𝑂( 𝑅 2 ) Γ 1+𝑠−𝐸/𝜔 2 /Γ 1−𝑠−𝐸/𝜔 2 = 𝐸 𝑡 2𝜔 𝑠 先看质量比大于阈值的情形。这时系统存在无限多三体Efimov态，这是因为有吸引势，但是从数学上来讲这些本征态没有下限，也就说是n可以趋向于负无穷，这会导致朗道书上所说的“坠入中心”，为了得到一个物理的结果，我们需要对能态进行限制，n最小从0开始，并且对于波函数来说可以需要修改边界条件。这个方程在数学上有两个解，在R趋向于0时的行为是R to s, -s。我们的边界条件模型就是给定这两个解的相对大小，用一个带长度量纲的量来参数化，这个参数Rt刻画了三体短程关联行。它与E_0的关系式是这样的，这里我们又引进了一个能量尺度Et，它与实际系统中的范德瓦尔斯能量相当，R_t也就是范德瓦尔斯半径。Et或者Rt就是三体参数。 𝐸<0:none! 𝐸>0: 𝐸 𝑞 /𝜔=2𝑞+Δ 𝜔 +𝑂(1/𝑞) 𝐵 2,1 =const.(𝛼)+ − ∞ 𝑑𝐸𝛽Δ 𝐸 𝑒 −𝛽 𝐸 > Δ=2+ 2 𝜋 atan th 𝑠 2 ln 𝐸/ 𝐸 𝑡 tan 𝑠 2 𝜋

16 Results 𝛼< 𝛼 𝑐 𝛼> 𝛼 𝑐 [𝑠∝ 𝛼 𝑐 −𝛼 1/2 ]
[𝑠∝ 𝛼 𝑐 −𝛼 1/2 ] 𝑓 𝑅 = 𝑅 𝑅 𝑡 +𝑠 − 𝑅 𝑅 𝑡 −𝑠 +𝑂( 𝑅 2−𝑠 ) 𝛼< 𝛼 𝑐 𝐵 2,1 =const.(𝛼)+ − ∞ 𝑑𝐸𝛽Δ 𝐸 𝑒 −𝛽 𝐸 > 𝛽 𝐸 𝑡 ~1/ 𝑅 𝑡 2 𝑇 Δ=2+ 2 𝜋 atan th 𝑠 2 ln 𝐸/ 𝐸 𝑡 tan 𝑠 2 𝜋 因而最终得到的三阶维里系数也是质量比的光滑函数，并且此时3BP和温度的函数。 横轴是质量比，纵轴是维里系数乘上$$，这是为了刨去能量绝对值最大的Efimov态的贡献 不同的颜色。。。。 黑色的圈和线。。。 𝐵 2,1 =3 𝑞 𝑒 −𝛽 𝐸 < +const.(𝛼) − ∞ 𝑑𝐸𝛽Δ 𝐸 𝑒 −𝛽 𝐸 > 𝛼> 𝛼 𝑐 𝑒 𝛽 𝐸 0 𝐵 2,1 Δ=2+ 2 𝜋 atan tan 𝑠 2 ln 𝐸/ 𝐸 𝑡 th 𝑠 2 𝜋 𝑠 ln 𝐸/ 𝐸 𝑡 2𝜋

17 Results Q: when 0-para. → 1-para.? Q: when 3BP become important?
[𝑠∝ 𝛼 𝑐 −𝛼 1/2 ] Q: when 0-para. → 1-para.? 𝑓 𝑅 = 𝑅 𝑅 𝑡 +𝑠 − 𝑅 𝑅 𝑡 −𝑠 +𝑂( 𝑅 2−𝑠 ) Q: when 3BP become important? 𝜆 𝑇 / 𝑅 𝑡 −𝑠 𝜆 𝑇 / 𝑅 𝑡 +𝑠 ~1 𝑠~ 1 ln 𝛽 𝐸 t 𝛽 𝐸 𝑡 ~1/ 𝑅 𝑡 2 𝑇 Scaling law ←𝑠 ln(𝛽 𝐸 t ) 𝑠 ln 𝛽 𝐸 t → ln 𝛽 𝐸 t [ 𝐵 2,1 𝛼 − 𝐵 2,1 𝛼 𝑐 ] 1-para.: 3− 3 2 𝑡 th 𝑡/2 , 𝑠< 1 ln 𝛽 𝐸 t [𝑡=𝑠 ln 𝛽 𝐸 t ] 0-para.: − 3 2 𝑡, 𝑠> 1 ln 𝛽 𝐸 t 从图中可以看到，当远离阈值时，1P->0P.那么这个是怎么过度过来的？ 回到三体模型中，

18 Summary Third virial coefficient is a smooth function across an Efimov threshold. 3-body boundary condition model describes the system uniformly both below and above the threshold. 3BP is important even below the Efimov threshold, over a significant interval of mass-ratio. CG, S. Endo, Y. Castin, EPL 109, (2015)