第四章 线性方程组 4.1 消元法 4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法 4.3 线性方程组的公式解 4.4 结式和判别式.

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1 第四章 线性方程组 4.1 消元法 4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法 4.3 线性方程组的公式解 4.4 结式和判别式

2 伟大的数学家，诸如阿基米得、牛顿和高斯等，都把理论和应用视为同等重要而紧密相关。
——克莱因（Klein F，1849－1925）

3 4.1 消元法 1.内容分布 4.1.1 线性方程组的初等变换 4.1.2 矩阵的初等变换 阶梯形矩阵 4.1.3 线性方程组有解的判别
4.1.2 矩阵的初等变换 阶梯形矩阵 4.1.3 线性方程组有解的判别 2.教学目的: 会用消元法解线性方程组 3.重点难点: 线性方程组的消元解法

4 前一章中我们只讨论了这样的线性方程组，这种方程组有相等个数的方程和未知量，并且方程组的系数行列式不等于零，在这一章我们要讨论一般的线性方程组：
（1） 在实际的解线性方程组时，比较方便的方法是消元法.

5 例1 解线性方程组： （2） 从第一和第三个方程分别减去第二个方程的1/2倍和2倍，来消去这两个方程中的未知量

6 得到： 为了计算的方便，把第一个方程乘以 -2 后，与第二 个方程交换，得： 把第二个方程的2倍加到第三个方程，消去后一方程 中的未知量 ，得到

7 现在很容易求出方程组（2）的解. 从第一个方程
减去第三个方程的3倍，再从第二个方程减去第三 个方程，得 再从第一个方程减去第二个方程的5/3倍，得： 这样我们就求出方程组的解.

8 4.1.1 线性方程组的初等变换 线性方程的初等变换： 对方程组施行下面三种变换： ①交换两个方程的位置； ②用一个不等于零的数某一个方程；
线性方程组的初等变换 线性方程的初等变换： 对方程组施行下面三种变换： ①交换两个方程的位置； ②用一个不等于零的数某一个方程； ③用一个数乘某一个方程后加到另一个方程. 这三种变换叫作线性方程组的初等变换. 定理4.1.1 初等变换把一个线性方程组变为一个与 它同解的线性方程组

9 线性方程组的（1）的系数可以排成下面的一个表：
（3） 而利用（1）的系数和常数项又可以排成下表： （4）

10 4.1.2矩阵的初等变换 定义1 由st个数 排成一个s行t 列的表 叫做一个s行t列（或s×t）的矩阵， 叫做这个矩阵的元素.
注意：矩阵和行列式在形式上有些类似，但有完全不同的意义，一个行列式是一些数的代数和，而一个矩阵仅仅是一个表.

11 矩阵（3）和（4）分别叫作线性方程组（1）的系
数矩阵和增广矩阵. 一个线性方程组的增广矩阵显 然完全代表这个方程组. 定义2 矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵 施行的下列变换： 1) 交换矩阵的两行（列） 2) 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一 个元素； 3) 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行 （列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一 个元素后加到另一行（列）的对应元素上.

12 显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵
显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵. 因此我们将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题.下我们给出一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出. 在对于 一个线性方程组施行初等变换时，我们的目的是消去未知量，也就是说，把方程组的左端化简. 因此我们先来研究，利用三种行初等变换来化简一个线性方程组的系数矩阵的问题. 在此，为了叙述的方便，除了行初等变换外，还允许交换矩阵的两列，即允许施行第一种列初等变换. 后一种初等变换相当于交换方程组中未知量的位置，这不影响对方程组的研究.

13 在例1中，我们曾把方程组（2）的系数矩阵 先化为 然后，进一步化为 定理 设A是一个 m行n列的矩阵：

14 通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为
以下形式： (5)

15 进而化为以下形式， （6） 这里 * 表示矩阵的元素，但 不同位置上的 * 表示的元素未必相同. 证 若是矩阵A的元素 都等于零，那么A 已有（5）的形式

16 设某一 不等于零，必要时交换矩阵的行和 列，可以使这个元素位在矩阵的左上角. 乘第一行，然后由其余各行分别减去第一行的适 当倍数，矩阵A化为 若B 中，除第一行外，其余各行的元素都是零，

17 那么B 已有（5）的形式. 设B 的后m – 1 行中有 一个元素b 不为零，把b 换到第二行第二列的 交点位置，然后用上面同样的方法，可把B 化为 如此继续下去，最后可以得出一个形如（5）的矩阵. 形如（5）的矩阵可以进一步化为形如（6）的矩阵是

18 显然的. 只要把由第一，第二，…，第r – 1 行 分别减去第r 行的适当倍数，再由第一，第二，…， 第r – 2行分别减去第r – 1行的适当倍数，等等.

19 4.1.3用消元法解线性方程组 考察方程组（1）的增广矩阵（4）. 由定理4.1.2，我们可以对（1）的系数矩阵（3）施行一些初等变换而把它化为矩阵（6）. 对增广矩阵（4）施行同样的初等变换，那么（4）化为以下形式的矩阵： (7)

20 与（7）相当的线性方程组是 （8）

21 这里 是1，2，…，n 的一个全排列. 由于方程组（8）可以由方程组（1）通过方程组的初等变换以及交换未知量的位置而得到，所以由定理4.1.1，方程组（8）与方程组（1）同解. 因此，要解方程组（1），只需解方程组（8）. 但方程组（8）是否有解以及有怎样的解都容易看出. 情形1， 这时方程组（8）无解，因为它的后m – r 个方程中 至少有一个无解. 因此方程组（1）也无解. 不全为零，

22 全为零，这时方程组（8）方程组 同解. (9) 情形2， 当r = n 时，方程组（9）有唯一解，就是 这也是方程组（1）的唯一解.

23 当r < n 时，方程组（9）可以改写成 (10) 于是，给予未知量 以任意一组数值 ，就得到（9）的一个解：

24 这也是（1）的一个解. 由于 可以任意选取，用这一方法可以得到（1）的无穷 多解. 另一方面，由于（9）的任一解都必须满足 （10），所以（9）的全部解，亦即（1）的全部解 都可以用以上方法得出. 我们把未知量

25 例2 解线性方程组 叫做自由未知量，而把（10）叫做方程组（1）的 一般解.
这样，线性方程组（1）有没有解，以及有怎样的解，都可以从矩阵（7）看出. 因此，我们完全可以就方程组（9）的增广矩阵来解这个方程组. 例2 解线性方程组

26 解：对增广矩阵 施行行初等变换，并且注意，我们是要把其中所含 的系数矩阵先化为（5），再化为（6）的形式. 由 第一和第二行分别减去第三行的5 倍和2 倍，然后 把第三行换到第一行的位置，得

27 由第二行减去第三行的2倍，得 虽然我们还没有把增广矩阵化成（5）的形式，但已 可看出，相当于最后矩阵的线性方程组中的一个方程是 0 = 5 所以原方程无解.

28 例3 解线性方程组 解：这里的增广矩阵是

29 把第一行的适当倍数加到其它各行，得 继续施行行初等变换，这一矩阵可以化为 这个矩阵本质上已有（5）的形式，这一点只要交换 矩阵的第二和第三两列就可以看出. 进一步由第一 行减去第二行的三倍，得出相当于（6）型的矩阵

30 对应的线性方程组是 把 移到右边，作为自由未知数，得原方程组 的一般解：

31 4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法 1.内容分布 4.2.1 k阶子式、矩阵秩的定义用初等变换求矩 阵的秩
4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法 1.内容分布 4.2.1 k阶子式、矩阵秩的定义用初等变换求矩 阵的秩 4.2.2 线性方程组可解的判别法 2.教学目的: 1)理解矩阵秩的定义 2)会用初等变换求矩阵的秩 3)会用消元法解线性方程组 3.重点难点: 矩阵秩的定义 线性方程组的可解的判别法

32 4.2.1 k阶子式、 矩阵秩的定义 用初等变换求矩阵的秩
在上一节课讲述了用消元法来解线性方程组： (1) 这个方法在实际解方程组是比较方便的，但是我们还有几个问题没解决。

33 （甲） 利用初等变换把方程组（1）的系数矩阵
（2） 简化为以下形式一个矩阵 （3）

34 并且看到，在矩阵（3）中出现的整数r在讨论中占有重要的地位. 但是我们对这个整数还没有什么了解
并且看到，在矩阵（3）中出现的整数r在讨论中占有重要的地位. 但是我们对这个整数还没有什么了解. r 和系数矩阵（2）究竟有什么关系？它是由系数矩阵（2）所唯一决定的，还是依赖于所用的初等变换？因为我们可以用不同的初等变换，把系数矩阵（2）化为形如（3）的矩阵. （乙） 方程组（1）有解时，它的系数应该满足什么条件？ （丙） 我们没有得出，用方程组的系数和常数项来表示解的公式，而解的公式在理论上有重要的意义.

35 矩阵的秩 利用一个矩阵的元素可以构成一系列的行列式. 定义1 在一个s行t列的矩阵中，任取k行k列 . 位于这些行列交点处的元素（不改变元素相对的位置）所构成的k 阶行列式叫作这个矩阵的一个k阶子式. 我们看一看，在矩阵（3）中出现的整数r和这个矩阵的子式之间有些什么关系. 假定r>0 . 这时，矩阵（3）含有一个r 阶的子式：

36 这个子式不等于零. 但矩阵（3）不含阶数高于r的不等于零的子式
这个子式不等于零. 但矩阵（3）不含阶数高于r的不等于零的子式. 这是因为；在r = m 或r = n 时，矩阵（3）根本不含阶数高于r的子式；而当r < m ， r < n 时，矩阵（3）的任何一个阶数高于r的了式都至少含有一个元素全为零的行，因而必然等于零. 这样，r等于矩阵（3）中的不等于零的子式的最大阶数. 定义2 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩. 若一个矩阵没有不等于零的子式，就认为这个矩阵的秩是零. 按照定义，一个矩阵的秩的不能超过这个矩阵的行的个数，也不能超过它的列的个数. 一个矩阵A的秩用秩A来表示. 显然，只有当一个矩阵的元素都为零是，这个矩阵的秩才能是零.

37 定理4.2.1 初等变换不改变矩阵的秩. 证明 我们先说明以下事实：若是对一个矩阵A施行某一行或列的初等变换而等到矩阵B，那么对B施行同一种初等变换又可以得到A. 事实上，若是交换A的第i行与第j行而得到B，那么交换B 的第i行与第j列就得到A；若是把A的第i行乘以一不等于零的数a而得到B，那么将B的第i行乘以1/a就又可以得到A；若是把A的第j行乘以数k加到第i行得到B，那么B的第j行乘以 – k加到第i行就得到A. 列的初等变换的情形显然完全一样. 现在我们就用第三种行初等变换来证明定理.

38 设把一矩阵的第j 行乘以k加到第i行而得到矩阵B：
并且A 的秩是r . 我们证明，B 的秩也是r . 先证明，B 的秩不超过r . 设矩阵B 有s 阶子式D，而 s > r . 那么有三种可能的情形: D不含第i 行的元素，这时D也是矩阵A的一个s阶子式，而s大于A的秩r ，因此D= 0.

39 ② D含第i行的元素，也含第j行的元素. 这时，由命题3.3.10
因为后一行列式是矩阵A的一个s阶子式.

40 D含第i行的元素，但不含第j行的元素，这时
这里 由于 是矩阵A的一个s阶的子式，而 与A的一个s 阶子式最多差一个符号，所以这两个行列式都等于零， 从而D = 0 .

41 因此，在矩阵B有阶数大于r的子式的情形，B 的任何
这样，在任何情形，都有 但我们也可以对矩阵B 施行第三种行初等变换而得到 矩阵A. 因此，也有 这样，我们也就证明了，秩A = 秩B ，即第三种行初等变换不改变矩阵的秩. 对于其它的初等变换来说，我们可以完全类似地证明定理成立. 这样，我们就解决了前面的第一个问题（甲）.

42 定理4.2.1给了一种方法，不必计算一个矩阵A的 子式就能求出A的秩来. 我们只需利用初等变换 把A化成4.1中（5）型的矩阵，然后数一数，在 化得的矩阵有几个含有非零的元素的行. 这样， 问题（乙）也就容易解决.

43 4.2.2 线性方程组可解的判别法 定理4.2.2 （线性方程组可解的判别法）线性方程组（1）有解的充分且必要条件是：它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩. 表示方程组（1）的增广矩阵： 证

44 那么 的前n 列作成的矩阵 A 就是（1）的系数矩阵.
利用定理4.1.2所指出的那种初等变换把 化为 并且用B表示 的前n列作成的矩阵. 那么由定理4.2.1得： （4）

45 现在设线性方程组（1）有解. 那么或者r = m，或者r < m ，而 ，这两种情形都有秩 .于是由（4）得， .
反过来，设 ，那么由（4）得，的秩也是r ，由此得，或者r = m ，或者r< m 而 ，因而方程组（1）有解. 故定理得证. 定理4.2.3 设线性方程组的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩，那么当r 等于方程组所含的未知量的个数n时，方程组有唯一解；当r < n 时，方程组有无穷多解.

46 4.3 线性方程组的公式解 1.内容分布 4.3.1 线性方程组的公式解 4.3.2 齐次线性方程组及其非零解的概念
4.3 线性方程组的公式解 1.内容分布 4.3.1 线性方程组的公式解 4.3.2 齐次线性方程组及其非零解的概念 4.3.3 齐次线性方程组有非零解的条件 2.教学目的 1)会用公式解法解线性方程组 2)掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件 3.重点难点 齐次线性方程组有非零解的充要条件

47 4.3.1 线性方程组的公式解 考虑线性方程组 (1) 例1 考察线性方程组 (2) 我们把这三个方程依次用 来表示，

48 那么在这三个方程间有以下关系： 这就是说，第三个方程是前两个方程的结果。因此由中学代数知道，第三个方程可以舍去，亦即方程组和由它的前两个方程所组成的方程组 同解。 来表示。若是在这m个方程中，某一个方程 t个方程 ,使关系式 同样，把方程组（1）的m个方程依次用 是其它 的结果，也就是说，若是存在 t个数 成立,那么我们可以在方程组（1）中舍去方程 而把方程组（1）化简。

49 定理4.3.1 设方程组（1）有解，它的系数矩阵A和增
广矩阵 的共同秩是 ，那么可以在（1）的m 个方程中选出r 个方程，使得剩下的m –r 个方程中的 每一个都是这r 个方程的结果，因而解方程组（1） 可以归结为解由这r个方程所组成的线性方程组。 证 由于方程组（1）的系数矩阵A的秩是r，所以A至 少含有一个r阶子式 。 为了叙述方便， 不妨假定D位在A的左上角，因而也位 在增广矩阵: 的左上角：

50 现在我们证明，方程组（1）的后 m -r 个方程中的每
(3) 的结果. 看（1）的后 m -r 个方程中的任一个，例如第 个方程

51 我们需要证明，存在r 个数 ，使得 亦即使 (4)

52 为此我们先把 看作是未知量，而来证明线 性方程组（4）有解, 方程组（4）的增广矩阵是 而 的前r列作成（4）的系数矩阵B，我们要计算矩阵B和 的秩。注意， 的列刚好是方程组（1）的增广矩阵 的某些行。这样，矩阵 的左上角的 r阶子

53 式刚好是 子式D 的转置行列式，因而不等于零：
由于 也是矩阵B的子式，所以矩阵B和 的秩都至少是r，另一方面，矩阵 的任一个r +1阶子式 都是 的某一个r +1阶子式的转置行列式。由于 的秩是r，所以 的所有r +1阶子式都等于零，由此得 必然等于零。但 没有阶数高于r +1的子式，所以B和 的秩都是r，而方程组（4）有解。这样我们就证明了，方程组（1）的后m -r个方程都是（1）的前r个方程的结果，而解方程组（1）归结为解方程组（3）。

54 方程组（1）的公式解： 假定方程组（1）满足定理4.3.1的条件，于是由定理4.3.1，解方程组（1），只需解方程组（3）。我们分别看 的情形。 若是 ，那么(3)就是方程个数等于未知量个数的一个线性方程组，并且它的系数行列式 ,所以(3)有唯一解，这个解可由克拉默规则给出，这个解也是方程组(1)的唯一解。 现在设 ,这时方程组(3)的前r个未知量的系数所构成的行列式 ，在方程组（3）中把含未知量 的项移到右边，

55 方程组（3）可以写成： (3’) 暂时假定 是数，那么（3’）变成r 个未知量 的r 个方程。用克拉默规则解出 得 (5)

56 这里 把（5）中的行列式展开，（5）可以写成 (6)

57 这里 都是可以由方程组（1）的系数和常数项表示的数。现仍旧把（6）中 看成未知量，那么（6）是一个线性方程组，从以上的讨论容易看出，方程组（6）与方程组（3’）同解，因而和方程组（1）同解。正如用消元法解线性方程组的情形一样，方程组（6）给出方程组（1）的一般解，而 是自由未知量，要求方程组（1）的一个解，只需给予自由未知量 任意一组数值，然后由（6）算出未知量 的对应值，并且（1）的所有解都可以这样得到。

58 由于（6）的系数和常数项都可以由方程组（1）的
系数和常数项表出，所以（6）或它的前身（5）都 给出求方程组（1）的解的公式。 例2 已知线性方程组 的系数矩阵和增广矩阵的秩都是2，并且行列式 (7) 求解这个方程组的公式，并求出一个解。

59 由定理4.3.1，解方程组（7）只需解前两个方程，把
作为自由未知量，移到右边，得 用克拉默规则解出 得

60 即： 令 ，我们就得到方程组的一个解：

61 用公式来求数字线性方程组的解是比较麻烦的，因为需要计算许多行列式。因此在实际求线性方程组的解的时候，一般总是用消元法。但是在数学问题中遇到线性方程组时，常常不需要真正求出它们的解，而是需要对它们进行讨论，在这种情况下，我们有时要用到（5）式或（6）式。

62 4.3.2 齐次线性方程组及其非零解的概念 定义 若是一个线性方程组的常数项都等于零，那么 这个方程组叫做一个齐次线性方程组.
定义 若是一个线性方程组的常数项都等于零，那么 这个方程组叫做一个齐次线性方程组. 我们来看一个齐次线性方程组 (8)

63 这个方程组永远有解：显然 就是方程组（8）的一个解，这个解叫做零解。如果方程组（8）还有其它解，那么这些解就叫作非零解。 齐次线性方程组永远有解.

64 4.3.3 齐次线性方程组有非零解的条件 定理 一个齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是：它的系数矩阵的秩r小于它的未知量的个数n。 证 当 时，方程组只有唯一解，它只能是零解。 当 时，方程组有无穷多解，因而它除零解 外，必然还有非零解。

65 推论4.3.3 含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是：方程组的系数行列式等于零。
推论 若在一个齐次线性方程组中，方程的个数m小于未知量的个数n，那么这个方程组一定有解。 因为在这一情况，方程组的系数矩阵的秩r不能超过m，因而一定小于n .

66 4.4 结式和判别式 1.内容分布 4.4.1结式与多项式的公根 4.4.2多项式的判别式 2.教学目的: 了解多项式有公根的判别
了解多项式的判别式的定义 3.重点难点: 多项式有公根的判别

67 4.4.1结式与多项式的公根 假设 在C 内有公根 依次用 乘第一个等式,用 乘第二个等式,我们得到以下 个等式:

68 这就表明, 是一个含有 个未知量, 个方程的齐次线性方程组的非零解,因此系数行列式:

69 必须等于零. 行列式D叫做多项式 的结式,并且用符号 来表示. 结式 不但 有公根时等于零,而且当 时显然也等于零.于是就得到

70 定理4.4.1 如果多项式 有公根,或者 ,那么它们的结式等于零. 定理 设 是复数域C上多项式 是它们的结式. (i) 如果 而 的全部根,那么 (1)

71 (ii) 如果 ,而 的全部根,那么 (2) 证 我们对m 作数学归纳法来证明公式(1)。先看m=1的情形，这时 的根是 。而

72 把行列式的第一列乘以 加到第二列上，再把新的第二列乘以 加到第三列上，…，最后，把新的第n列乘以 加到第n+1列上，这时行列式中元素 都被消去，而最后一行的元素依次等于
因此

73 假设当 时公式（1）成立。我们看 的情形，这时
令 的全部根。那么 这里 是一个k次多项式，它的根是 比较 的系数，我们有

74 因此

75 把行列式的第一列乘以 加到第二列上，再把新的第二列乘以 加到第三列上，……，最后,把第n+k列乘以 加到第n+k+1列上，并且注到
我们得到

76 再依次把第n+2行乘以 加到第n+1行，把第n+3行乘以 加到第n+2行，……最后，把第n+k+1行乘以 加到第n+k行，于是
把这个行列式依最后一列展开，我们有

77 这里 是位于最后的行列式左上角的n+k阶行列式，它恰是多项式 的结式，因此由归纳法的假设，
于是 公式（1）被证明。 容易看出，通过适当对调行列式D的行，可以得到 （3） 因此，如果 而 是 的全部根，那么由（1）可得（2）。

78 定理4.4.3 如果多项式 的结式等于零，那么或者它们的最高次项系数都等于零，或者这两个多项式有公根。
证 设 ，如果 ，那么由（1），一定有某一 ，从而 是 的一个公根，如果 那么由（2）也可以推出 有公根。 例1 多项式 的结式是

79 例如， 没有公根，因为这时 。 如果 ，那么 ，从而 有公根。实际上，5是这两个多项式的公根。
如果 。以 乘第一行加到第三行，然后按第一列展开，得 如果 ，同样的计算也可以得到上面的等式。当 时，上面的展开式的右端等于零，不论在任何情形，上面的展开式都成立。

80 现在利用结式来讨论两个二元多项式的公共零点问题。
设 是两个复系数二元多项式，我们按x的降幂写出这两个多项式： 把 分别看成f 中 和g中 的系数，然后求出f 和g 的结式，记作 ， 是y 的一个多项式：

81 如果多项式 有公共零点 ，那么以 代替 中的文字y，所得到的一元多项式 有公根，由定理4. 4
如果多项式 有公共零点 ，那么以 代替 中的文字y，所得到的一元多项式 有公根，由定理4.4.1，它们的结式 ，这就是说， 是多项式 的一个根。反过来，如果结式 有根 ，那么以 代替多项式 中的文字y，我们得到x 的多项式

82 的结式 ，因而由定理4.4.3，或者 或者 有公根。 这样，求两个未知量两个方程 的公共解可以归结为求一个未知量的一个方程 的根，也就是说，可以用从两个方程中消去一个未知量，所以这个过程通常叫做未知量的消去法。

83 例2 求方程组 （4） 的解。 我们要消去未知量x，先把多项式f 与g 写成以下形式： 解： 求出f 与g 的结式

84 这个结式有根 。以 代替 中的文字y，所得的关于x 的多项式的最高次项系数都不等于零，所以对于每一 ，都可以得出方程组（4）的解。实际上，以 代替y，我们得到

85 这两个多项式有公根 ，所以 是方程组（4）的一个解，另一方面，以 代替y，所得的多项式有公根 ，所以 也是方程组（4）的一个解，因此，方程组（4）有两个解：
;

86 4.4.2多项式的判别式 最后，我们介绍一下多项式的判别式的概念，并且指出判别式与结式之间的关系。设
是复数域C上一个n（n>1）次多项式， 令 的全部根（重根按重数计算）。乘积 …………………………… ；

87 叫做多项式 的判别式（这里Π表示求积的符号）。
由判别式的定义很容易看出，多项式 有重根的充分且必要条件是它的判别式等于零。 由定理2.5.2容易推出，多项式 有重根必要且只要 与它的导数 有公根，因为 ，所以由定理4.4.1和4.4.3， 有重根必要且只要 与 的结式 ，由此可见， 的判别式与结式 之间有密切的关系，下面我们将导出这个关系，根据定理4.4.2，公式（1），我们有

88 在C[x]里， 求导数，我们有 所以

89 这样， ……………………………… 在这个乘积里，对于任意i 和j（i>j）都出现两个因式： 和 ，它们的乘积等于 ，由于满足条件 的指标i 和j 一共有 对，所以

90 D是多项式 的判别式 从表示 的行列式的第一列显然可以提出因子 ，因此多项式 的判别式D可以表成由系数 所组成的一个行列式，因而是 的多项式。

91 例3 求二次多项式 的判别式。 先求出 解: 于是 所以判别式是