數學本質 比、正比與反比 陳小婷 489000967.

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1 數學本質 比、正比與反比 陳小婷

2 數學本質概念：比、正比與反比 一、「比」的定義? 2.對等關係是指兩數量A、B之間， 由於 某種原因，而產生一種配
1.對等關係就是一種比的概念。 2.對等關係是指兩數量A、B之間， 由於 某種原因，而產生一種配 對關 係，因此稱此兩數量A與B有 對等關係。

3 數學本質概念：比、正比與反比 二、「比」的表示方法? 紀錄A與B之間數量對等關係方法 1. 用序數表示： （A，B） 2.用「比」的符號表示： 「A：B」 3.用「比值」表示：

4 三、「比」的分類? 依據情境（語意）的不同， 對等關係可以分為下列四類： 1.組合關係 2.母子關係 3.交換關係 4.密度關係
數學本質概念：比、正比與反比 三、「比」的分類? 依據情境（語意）的不同， 對等關係可以分為下列四類： 1.組合關係 2.母子關係 3.交換關係 4.密度關係

5 數學本質概念：比、正比與反比 三、「比」的分類? 相同），且A與B都是同一全體量中的部 分時，可稱為一種組合的對等關係。
~ 組合關係 ~ 若兩數量A及B為同類量（被測量的性質 相同），且A與B都是同一全體量中的部 分時，可稱為一種組合的對等關係。 例如：一個啦啦隊中6個女生， 搭配3個男生組成。

6 數學本質概念：比、正比與反比 全體量，另一數量是全體量的部分量 時，可稱為一種母子的對等關係。 例如：這屆師資培育的老師有145個，其
三、「比」的分類? ~ 母子關係 ~ 若此兩數量為同類量，且一數量是 全體量，另一數量是全體量的部分量 時，可稱為一種母子的對等關係。 例如：這屆師資培育的老師有145個，其 中有10個是留在家鄉附近實習。

7 ~ 交換關係 ~ 數學本質概念：比、正比與反比 三、「比」的分類? 若A、B分別代表兩個物件，由於某種 因素，使這兩個物件具有相同的價值，
則可稱為一種交換的對等關係。 例如：班上規定集滿10個星星可以兌換一 次抽獎的機會。

8 ~ 密度關係 ~ 數學本質概念：比、正比與反比 三、「比」的分類? 若A、B不為同類量，且此兩數量是描 述同一物件的不同性質，A、B的比值是
為一種密度的對等關係。 例如：3公升的水重3公斤

9 3比值 4 最簡單整數比 5交換問題 6 比例的意義 7成比例線段圖 8 比例關係圖 9兩數關係的判斷 數學本質概念：比、正比與反比
四、「比」的相關概念? 1 對等問題 比的相等 3比值 最簡單整數比 5交換問題 比例的意義 7成比例線段圖 比例關係圖 9兩數關係的判斷

10 ~ 對等問題 、 比的相等 、比值~ 1 當將Ａ與Ｂ的對等關係與其他Ａm與Ｂm的 四、「比」的相關概念? 數學本質概念：比、正比與反比
~ 對等問題 、 比的相等 、比值~ 1 當將Ａ與Ｂ的對等關係與其他Ａm與Ｂm的 等關係視為等價類，則「Ａ：Ｂ」蛻變為「每 Ａ個就有Ｂ個」的比的關係 2 採用在量情境中討論，它們是相同的交換方 式，相同的組合方式，相同的含量或相同的密 度，來引入比的相等。 3對等關係（比）的量化是數學上必須的，因為 量化後可比較、運算，而比的量化即為比值。

11 ~ 最簡單整數比、 交換問題~ 數學本質概念：比、正比與反比 四、「比」的相關概念? 1.當存在無限多個等價的比時，其中一個
~ 最簡單整數比、 交換問題~ 1.當存在無限多個等價的比時，其中一個 前、後項數值為最小的整數比，稱之為此 等價類的「最簡單整數比」，所以最簡單 整數比的前項與後項具有互質的特性。 EX→3.2：8＝（3.2×10）：（8×10）＝32：80＝2：5 2.古代的以物易物；現代以錢幣交換物品 EX→ 張三用2隻牛與李四的100隻雞交換。 必須有幾隻牛才能換到400隻雞？

12 ~ 比例的意義、 成比例線段~ 數學本質概念：比、正比與反比 四、「比」的相關概念? 1. 「比例」是表示兩數量對應關係的變化情形。
~ 比例的意義、 成比例線段~ 1. 「比例」是表示兩數量對應關係的變化情形。 2.使用線段圖來表現文字描述的問題，常能使問 題中數量間的關係具體化 。當學童能用成比例 的線段圖來表現對等關係或分數問題中的數量 EX：哥哥有28顆電池，弟弟有的電池是哥哥的4/7倍

13 比例關係圖 數學本質概念：比、正比與反比 （m） 正比例： 反比例： （km） 15 100 80 10 60 40 5 20
● ● 80 ● ● 10 60 ● ● 40 ● ● 5 ● 20 ● ● ● （h） （m） 正比例： 速度一定時的時間、距離關係 反比例： 面積一定時的長、寬關係

14 正比例：先求取對應項的比的比值，當所有對應
數學本質概念：比、正比與反比 四、「比」的相關概念 ~兩數關係的判斷~ 正比例：先求取對應項的比的比值，當所有對應 項的比的比值都相同 反比例：把一組數量先取倒數，再求這組倒數和 這一組數量的對應項的比的比值，如果 這些比值都相同 正比：乙÷甲的商不變 反比：甲×乙的積不變 非正、反比：甲和乙的和不變→長方形長寬對應 甲和乙的差不變→父母年紀的差別

15 數學本質概念：比、正比與反比 五 ~兒童比例推理現象~ (1)不同比值的難度中: 解決整數比值的問題較容易
五 ~兒童比例推理現象~ (1)不同比值的難度中: 解決整數比值的問題較容易 (2)在分離量與連續量的問題上: 處理分離量的能 力，大於處理連續量的能力。 (3)解決正比的問題能力，大於反比的問題能力，大 於比例問題的能力。 (4)在不同情境中的問題無法轉移應用：解電流的 問題能力，未能移轉至解濃度的問題上。

16 數學本質概念：比、正比與反比 六 ~兒童處理比例有意義解題方法~ 媽媽在做年糕的時候，用2小包的糖配6公斤的米，如果要
做出一樣甜的年糕，用5小包的糖要配多少公斤的米？ 1.比例公式型： (1)列出2：6=5：□的式子，再求未知數。 2.單價型：(1)列出6/2=3的式子，求1包糖配3公斤的米。 　　　　 (2)再列出5×3=15的式子。 3.倍數型：(1)列出5÷2=2.5，求5包糖是2包糖的倍數。 　　　　 (2)再列出2.5×6=15。 4.折半相加型：(1)列出5-2=3，求5小包比2小包多多少？ 　　　　 (2)再列出3/2=1.5，求5包是2包的一包半。 　　　　 (3)再列出6+9=15 5.累加型：(1)列出1小包配3公斤米。 　　　　 (2)再列出5小包配15公斤米。

17 數學本質概念：比、正比與反比 七、兒童迷思與解決方法 1 將x：y寫成分數形式時，學生會寫成 ， 應是 才是正確的寫法。 前項：後項＝（ ）
應是 才是正確的寫法。 前項：後項＝（ ） 老師教學生口訣「後母」，讓學生自然而然 地聯想到後項要放在分母的位置。

18 星星5個可換一張貼紙，那麼想要3張貼紙需要多
數學本質概念：比、正比與反比 七、兒童迷思與解決方法 2 比的問題(交換問題) 星星5個可換一張貼紙，那麼想要3張貼紙需要多 少個星星？如果剛好是整數倍關係，學生計算較沒 問題，但如果反過來問15個星星換3張貼紙，2張 貼紙需要多少星星(或10個星星可以換幾張貼紙？) 或非整數倍則學生比較不會算。 1先列式 15：3=( ) ：2？ 2算出一公斤再推算 15÷3=5(每張貼紙需要5個星星) 52=10個星星

19 數學本質概念：比、正比與反比 八、教學策略及注意事項 (1)強調學童相互討論→師生討論→教師指導。
(2)透過實際的測量活動，去經驗、察覺兩數量對 應關係的變化情形，進而了解「比例」的意義。 (3)進行兩個對等關係「等價」或「不等價」的 判斷時，只紀錄「＝或＝」。並不介紹「大 於」與「小於」的關係。 (4)有學童會採用成人公式「A：B＝C：D」，即 A×D＝B×C，此時要請學童說明此方法的解題 原因，而不能只是套公式而已。

20 數學本質概念：比、正比與反比 謝謝聆聽