第二节 换元积分法 一、第一类换元积分 法（凑微分法） 二、第二类换元积分法. 问题 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程令 一、第一类换元积分法（凑微分法）

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1 第二节 换元积分法 一、第一类换元积分 法（凑微分法） 二、第二类换元积分法

2 问题 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程令 一、第一类换元积分法（凑微分法）

3 在一般情况下： 设 则 如果 （可微） 由此可得换元法定理

4 第一类换元公式（凑微分法） 说明使用此公式的关键在于将 化为 观察重点不同，所得结论不同. 定理 1

5 例 1 求 解（一） 解（二） 解（三）

6 例 2 求 解 一般地

7 例 3 求 解

8 例 4 求 解

9 例 5 求 解

10 例 6 求 解

11 例 7 求 解

12 例 8 求 解

13 例 9 求 原式

14 例 10 求 解

15 例 11 求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.

16 例 12 求 解

17 例 13 求 解（一） （使用了三角函数恒等变形）

18 解（二） 类似地可推出

19 解 例 14 设 求. 令

20 例 15 求 解

21 问题 解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程 令 （应用 “ 凑微分 ” 即可求出结果） 二、第二类换元积分法

22 证 设 为 的原函数, 令 则 则有换元公式 定理 2

23 第二类积分换元公式

24 例 16 求 解 令

25 例 17 求 解令

26 例 18 求 解 令

27 说明（ 1 ） 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 可令

28 积分中为了化掉根式是否一定采用 三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的 情况来定. 说明 (2) 例 19 求 （三角代换很繁琐） 令 解

29 例 20 求 解 令

30 说明 (3) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换 例 21 求 令 解

31 例 22 求 解 令 （分母的阶较高）

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33 说明 (4) 当被积函数含有两种或两种以上的 根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） 例 23 求 解 令

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35 基本积分表基本积分表

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37 小结 两类积分换元法： （一）凑微分 （二）三角代换、倒代换、根式代换 基本积分表 (2)

38 思考题 求积分

39 思考题解答

40 练 习 题

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44 练习题答案

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