最大公因數與最小公倍數 吳嵐婷

 因數倍數消消樂  17 年蟬的秘密  最大公因數 ( 剪紙實例 )  利用標準分解式求最大公因數 ( 撲克牌活動 )  最大公因數應用問題  最小公倍數 ( 堆疊實例 )  最小公倍數應用問題 大綱

因數倍數消消樂 1. 由雙方猜拳決定遊戲進行時的先後順序 ( 先手或後手 ) ，並各拿一支不同顏色的 筆做劃記。 2. 先手從 1~20 中選取一個數字，用筆劃掉。 3. 後手根據先手所劃掉的數字，選擇該數 字的因數或倍數劃掉。 4. 以此規則類推，每一次輪到的玩家，都 只考慮前一位玩家所劃掉的那個數字， 選擇該數字的因數或倍數劃掉。 5. 直到某一方無法再劃掉任何數字為止， 遊戲結束，而無法再劃掉數字的那一方 為輸家。 兩人一組，分組競賽

* 每一次輪到的玩家，不需要考慮前面幾步所劃掉的數 字，只需要 考慮對手「剛」劃掉的那個數字，自由選 擇該數字的因數或倍數 劃掉。 因 倍 * 在遊戲單上遊戲時，請學生依序填寫他們所劃掉的數 字序列，並 註明他們所劃掉的數，是前一個數字的因 數或倍數 ( 如為因數，就將箭頭上方的因圈起來；如為 倍數，就將箭頭下方的倍圈起來 ) 因數倍數消消樂

遊戲示範： A 、 B 先猜拳決定先後 ( 假設 A 贏了 ) A( 黑色筆 )( 先手 ) B( 紅色筆 )( 後手 ) 如此依序進行下去，直到某一 方沒有數字可以選擇就輸了。

 開始遊戲！  遊戲途中如果有任何問題，都可以隨時問老師喔 :D 因數倍數消消樂

討論時間：  如果想要贏得比賽，你 ( 妳 ) 覺得這個遊戲有沒有必勝 策略？  如果再讓你 ( 妳 ) 玩一次，你 ( 妳 ) 會最先刪掉哪一個數 呢？ 因數倍數消消樂

 北美洲有生活史完全一致的蟬，叫做「質數蟬」 ( 布魯德 X 蟬 ) ，生活史十三年的稱為十三年蟬，及另一種十七年 的稱為十七年蟬。  布魯德 X 蟬從幼蟲鑽土而出，蛻變為成蟲、求偶交配、產 卵後死亡，這一切都會在短暫的六個禮拜左右完成，然 後大地將從蟬聲四起再度回歸寂靜，所有蟬卵會靜靜蟄 伏在地底下，無聲無息度過許多年，等待下一個週期圓 滿後，再度出現在世人面前。 17 年蟬的秘密

 科學家針對生命週期進行研究，發現蟬的生命週期大多 是質數 ( 正如北美洲蟬的 17 年和 13 年 ) ，科學家普便認為， 蟬之所以演化為質數的生命週期，是為了減少和其他生 命週期的天敵同時出現在世界上的機會，以增加族群存 活的機率。  潛藏的掠食者擁有 2~5 年的生命期，這不是蟬所能支配 的。但牠們以一個大質數為生命週期，便可以將與掠食 者相遇的機率降到最低。所以，以 17 年蟬為例，等於每 85 年才會倒楣一次。再加上來個子孫超級大滿堂，存活率 自然就大大的提高了。這就是「演化」的奧秘啊。 17 年蟬的秘密

 老師有一張長 12 公分，寬 8 公分的長方形紙張，想把 它裁切成完全一樣大小的數個正方形，而且只要剛 剛好裁完不能剩下，請問這樣的正方形邊長有幾種？ 最大公因數 ( 剪紙實例 )

切成邊長為 1cm 的正方形 切成邊長為 2cm 的正方形 切成邊長為 4cm 的正方形 你可以這樣做：

 因為不能有剩，所以正方形邊長必須是 8 的因數，也 是 12 的因數，也就是 8 和 12 的共同因數。這些共同因 數稱為 8 和 12 的公因數。其中最大的那個公因數 4 就 稱為 8 和 12 的最大公因數。 通常以 (8, 12) 來表示 8 和 12 的最大公因數，所以 (8, 12) = 4 。 最大公因數 ( 剪紙實例 ) 所以邊長為 4cm 的正 方形是我們可以裁出 來的最大正方形了！

 兩數的最小的公因數一定是 1 嗎？兩數除了 1 這個公 因數以外，一定還有其它的因數嗎？為何我們常說 『要求兩數的最大公因數』，而不說『要求兩數的 最小公因數』？  當兩個正整數的最大公因數為 1 時，我們稱這兩個數 互質。例如： (4, 7) = 1 。   除了 4 和 7 以外，還有哪些數之間也是互質關係呢？   互質的兩個正整數一定都是奇數嗎？   互質的兩個正整數一定都是質數嗎？ 最大公因數 ( 剪紙實例 )

 【剪紙活動】如果不限定所剪出來的正方形都要一樣大 的話，我們還可以用以下的方法來找最大公因數喔：  最後會得到兩個邊長為 4 的小正方形，此時，所有剪裁出 來的圖形都是正方形，而 4 就是 12 和 8 的最大公因數。 最大公因數 ( 剪紙實例 )

 上面的方法並非特例喔！  Try 邊長為 20 和 12 的長方形紙片。  如果是邊長為 136 和 51 的長方形紙片，也可以用同樣的方 法找出最大公因數嗎？ 最大公因數 ( 剪紙實例 )

 各位同學還記得嗎？在小學的時候我們曾經學過短 除法，利用短除法也可以來求兩個數甚至是三個數 的最大公因數。  以求 (36,84) 為例： (36, 84) ＝ 2×2× 3 ＝ 2 2 ×3 ＝ 12 利用短除法求最大公因數

利用標準分解式求最大公因數 ( 撲克牌活動 )

老師將 126 枝原子筆和 84 個修正帶，全部分給寫作班學 生，且沒有剩下。若每人分得的原子筆數量相同，修正 帶的數量也相同，試問： (1) 寫作班最多有幾位學生？ (2) 承 (1) ，此時每人可分得幾枝原子筆？幾個修正帶？ 解 題分析： 同時等分 『讓每位學生得到的原子筆和修正帶的個數相同』的做法， 就是將每一種要分下去的物品同時等分。 最大公因數應用問題

每人每份有幾個

 若我們想以長 6 cm ，寬 4 cm 的長方形藍色紙片拼成實心的正 方形，最少要幾張才能拼出來？ 〈想法〉要用好幾張長方形紙來拼出正方形 邊長變大了！ 最後正方形邊長要是 6 的倍數， 也要是 4 的倍數， 正方形邊長可以是 _12 、 24 、 36 、‧‧‧ ____ 。 所以最小的正方形邊長是： ___12____ 。 最小公倍數 ( 堆疊實例 ) 6 cm 4 cm

如圖，藍色長方形的長和寬分別為 6 cm 和 4 cm 。 若要拼成正方形，圖形如下： 以此類推，我們還可以繼續拼出邊長更大的正方形！ 最小公倍數 ( 堆疊實例 ) 12cm 24cm

 在上圖中，我們用長寬分別為 6 cm 和 4 cm 的長方形，拼 出了邊長為 12 cm 、 24 cm 、 36 cm 、 … 的正方形。  我們稱 12 、 24 、 36 、 …… 為 6 和 4 的公倍數，其中 12 是公 倍數中最小的，所以稱 12 是 4 和 6 的最小公倍數。也可以 記成： [4, 6] = 12 。 最小公倍數 ( 堆疊實例 ) 36cm

各位同學還記得嗎？在小學的時候我們曾經學過短除 法，利用短除法也可以來求兩個數甚至是三個數的最 小公倍數。  以求 [36,84] 為例： [36, 84] ＝ 2×2× 3× 3× 7 ＝ 2 2 ×3 2 ×7 利用短除法求最小公倍數

 王太太有三個女兒，大女兒每 45 天回娘家一次，二女兒 每 20 天回娘家一次，小女兒每 18 天回家一次，某天三個 女兒都回娘家，那麼最少要再過幾天，三個女兒才會再 度在同一天回娘家？  解題分析  解題分析： 三個女兒再過幾天就會一起回娘家，這個天數，一定要 符合大女兒的回家週期，也要同時符合二女兒和小女兒 的回家週期，所以這個天數會是三人週期的公倍數。 又要求要『最少』天，所以我們要求的是最小公倍數。 最小公倍數應用問題

 解  解 [45, 20, 18] ＝ 360 所以下一次三人同時回娘家的時間是在 360 天後。  若出現 “ 組合 ” 、 “ 每、再度 ” 、 “ 堆疊 ” 等類似字眼或概 念時，則此題是求最大公因數，若出現 “ 最少 ” 、 “ 最 小 ” 個（天）等字，代表所求的最小公倍數的單位即 為個（天）。 最小公倍數應用問題

 某班學生有 36 人，其中男生 20 人、女生 16 人，如果 採男、女分開分組教學上課，但各組人數需一樣多， 請問 (1) 最少可分成幾組？ (2) 每組各多少人？  如果一個正方體可以切割成邊長分別為 3 公分、 4 公 分、 6 公分的小長方體，剛好可切割完而沒有剩下， 則此正方體的邊長最小是多少公分？ 應用問題練習