排列组合和二项式定理 第二组

一、教材分析 本课内容是人教 B 版，选修 2 — 3 第一章内容，本章在整个高中数 学中占有重要地位。以计数问题为主要内容的排列与组合，属于 现在发展很快且在计算机领域获得广泛应用的组合数学的最初步 知识，它不仅在博弈、工作安排、电话号码、密码设置等实际问 题中应用广泛，是学习概率理论的准备知识，而且由于其思维方 法的新颖性与独特性，它也是培养学生思维能力的不可多得的好 素材；作为一种多项式乘法公式推广的二项式定理，不仅使前面 组合等知识的学习得到强化，而且与后面概率中的二项分布有着 密切联系。通过对实际问题的探索，让学生亲身经历和体验发现 排列数公式、二项式定理的过程，对学生分类、归纳猜想、分析 解决问题以及逻辑思维能力的提高有很重要作用。本章知识的学 习使学生感受到 “ 生活处处有数学 ” ，提高应用数学的意识。

二、教学目标 1 ．理解排列、组合的概念，会用排列、 组合知识解决相关问题 。 2 ．掌握二项式定理，会用二项式定理 解决实际问题。 （一）知识目标

（二）过程与方法 1 、在教师指导下，尝试从实际例子推导出排列数 公式； 2 、认清题目的本质，排除非数学因素的干扰，抓 住问题的主要矛盾，注重不同题目之间解题方 法的联系，化解矛盾， 3 、注重解题方法的归纳与总结，真正提高分析、 解决问题的能力。

（三）情感、态度和价值观 1 、用联系的观点看问题； 2 、认识事物在一定条件下的相互转化； 3 、通过设置丰富的问题情境，鼓励学生从多角度 思考、探索、交流，激发学生的好奇心和主动 学习的欲望。 4 、培养学生的自主探究意识，体验概念、定理的 发现、生成历程和由特殊到一般的认知过程， 体会数学语言的简洁性和严谨性，感受数学的 美。

三、重点、难点 对排列、组合的概念的理解，排列 数、组合数公式及二项式定理的生 成过程是难点也是重点。 利用计数原理，以实际问题引入，通过让学生实际排列操 作、画树状图来理解排列组合的概念，启发学生利用计数 原理展开 2 次， 3 次， 4 次直至更多次的二项展开式，从归 纳猜想和计数原理分步得出展开式各项两个角度寻求二项 展开式各项特征及系数规律特点。 突破方法

四、学情分析 分析主要是根据教师平时对学生的了解而做出的： （ 1 ）学生是高二年级理科中等学生； （ 2 ）学生刚刚学过分类计数原理和分步计数原理； （ 3 ）学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强。

1.2.1 排列

教学过程流程图

两个计数原理是什么？有什么区别联系？ 复习回顾

创设情景 问题 1 ： 问题 1 ： 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名参加 某项活动，其中 1 名同学参加周一的活动， 1 名同学 参加周二的活动，有多少种不同的方法？ 问题 2 ： 从甲、乙、丙、丁 4 名同学中选出 3 名参加某项活动，其中 1 名同学参加周一的活动， 1 名同学参加周二的活动， 1 名同学参加周三的 活动，有多少种不同的方法？

设计意图： 从学生熟知的身边例子出发，通过 启发，引导学生从具体列举法到画 树状图法来解决此问题，并在此过 程中体会排列的概念。

问题 3 ： 从 a 、 b 、 c 这 3 个字母中，每次取出 2 个按 顺序排成一列，共有多少种不同的排法？并列 出所有不同的排法。 问题 4 ： 从 a 、 b 、 c 、 d 这 4 个字母中，每次取出 3 个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？ 并列出所有不同的排法。 设计意图：此处将前面两个问题抽象为字母表示， 引入元素的概念，观察共同点，归纳出排列的概 念。 概念生成

一般地，从 n 个不同元素中取出 m （ m ≤ n ） 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列． 排列定义 结合前面几个问 题具体指出一个 排列、不同排列

练习 1 ． 下列问题中哪些是排列问题？如果是 在题后括号内打 “√” ，否则打 “×” ． 反馈练习 （ 1 ） 50 位同学互通一封信，问共通多少封信？ （ ） （ 2 ） 50 位同学互通一次电话，问共通多少次？ （ ） （ 3 ）平面内有 8 个点，其中任意 3 点不共线，由这些点可 得到多少条直线？ （ ） （ 4 ）平面内有 8 个点，其中任意 3 点不共线，由这些点可 得到多少条射线 ？ （ ） （ 5 ）某商场有 4 个大门，若从一个门进去，购物后从一个 门出来 ，有 多少种不同的出入方式？ （ ）

问题 5 ：前面问题中我们求的是所有排列吗？是什么？ 引出排列数的 概念。 排列数概念 从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有排列 的个数，叫做从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的 排列数。用符号 表示。

问题 6 ：从 3 个不同的元素中取出 2 个元素的排列数, 记为 从 4 个不同的元素中取出 3 个元素的排列数, 记为 设计意图：让学生经历由特殊到一般的认知 过程，引发学生对排列数公式推导的欲望。

排列数公式的特点：第一个因数是 n, 后面每一个因 数比它前面一个因数少 1, 最后一个因数是 n － m ＋ 1, 共有 m 个因数．

巩固练习 问题 8 ： （ 3 ）与其它排列数有什么不同？ 引出全排列概念

问题 9 ：能否用阶乘的形式来表达 ？ 规定： 0 ！ =1

2. 求证： 巩固练习

课堂小结 引导学生回答：上完本次课，你学习 了哪些知识？重要的是什么？你有什 么感受？你觉得自已有哪些收获？

拓展提升 2 、 0 到 9 这 10 个数字，可以组成多少个没有重复 数字的三位数？ 1 、联赛共有 14 个队参加，每队要与其余各队在 主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？

谢谢！ 敬请各位专家，同仁多提宝贵意见！