一、模型与计算公式 二、基本的组合分析公式 三、概率直接计算的例子 第 1.3 节 古典概率 四、抽签与顺序无关 五、二项分布与超几何分布 六、概率的基本性质

1. 古典概型定义 一、模型与计算公式

设试验 E 的样本空间由 n 个样本点构成, A 为 E 的任意一个事件, 且包含 m 个样本点, 则事 件 A 出现的概率记为 : 2. 古典概型中事件概率的计算公式 称此为概率的古典定义. 此定义是法国的拉普拉斯 1812 年给出的

二、基本的组合分析公式 1 组合分析的两条原理

2 排列 从包含有 n 个元素的总体中取出 r 个来进行排列， 此时既要考虑取出的元素也要考虑其取出的顺序

3 组合

4 一些常用等式

三、概率直接计算的例子 1 古典概型的基本模型 : 摸球模型 (1) 无放回地摸球 问题 1 设袋中有 M 只白球和 N 只黑球, 现从袋中无 放回地依次摸出 m+n 只球, 求所取球恰好含 m 个白 球, n 个黑球的概率 ?

基本事件总数为 A 所包含基本事件的个数为 解设 A={ 所取球恰好含 m 个白球, n 个黑球

(2) 有放回地摸球 问题 2 设袋中有 4 只红球和 6 只黑球, 现从袋中有放 回地摸球 3 次, 求前 2 次摸到黑球、第 3 次摸到红球 的概率. 解 第 1 次摸球 10 种第 2 次摸球 10 种第 3 次摸球 10 种 6种6种第 1 次摸到黑球 6种6种 第 2 次摸到黑球 4种4种 第 3 次摸到红球

基本事件总数为 A 所包含基本事件的个数为 课堂练习 1 o 电话号码问题 在 7 位数的电话号码中, 求数字 0 出现 3 次的概率. 2 o 骰子问题 掷 3 颗均匀骰子, 求点数之和为 4 的 概率.

2 古典概型的基本模型 : 球放入杯子模型 (1) 杯子容量无限 问题 1 把 4 个球放到 3 个杯子中去, 求第 1 、 2 个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球. 4 个球放到 3 个杯子的所有放法

因此第 1 、 2 个杯子中各有两个球的概率为

(2) 每个杯子只能放一个球 问题 2 把 4 个球放到 10 个杯子中去, 每个杯子只能 放一个球, 求第 1 至第 4 个杯子各放一个球的概率. 解 第 1 至第 4 个杯子各放一个球的概率为

2 o 生日问题 某班有 20 个学生都 是同一年出生的, 求有 10 个学生生 日是 1 月 1 日, 另外 10 个学生生日是 12 月 31 日的概率. 课堂练习 1 o 分房问题 将张三、李四、王五 3 人等可能地 分配到 3 间房中去, 试求每个房间恰有 1 人的概率.

3 古典概型的其他模型

四、抽签与顺序无关 例 五个阄, 其中两个阄内写着 “ 有 ” 字, 三个阄内不写字, 五人依次抓取, 问各人抓到 “ 有 ” 字阄的概率是否相 同 ? 解 则有

依此类推 故抓阄与次序无关.

例 (p24 例 5 ）口袋中有 a 只黑球， b 只白球，它们 除颜色不同外，其他方面没有差异，现在把球随 机的一只一只摸出来，求第 k 次摸出的是黑球的概 率. 解 方法一 （给球编号） 将 a+b 只求进行全排列， 总数为 (a+b)!, 而第 k 次摸出的是黑球等价与排列 中第 k 个位置是黑球，第 k 个位置是黑球有 a 中选 择，其他位置自由排列，其总数为 a(a+b-1)!, 因 此

方法二 （ 无差异，无编号）将 a 个黑球放入 a+b 杯 子，其余的杯子放入 b 个白球（一个杯子一个球）， 样本点总数为 第 k 次摸出的球是黑球相当于第 k 个杯子里边是黑球， 其包含的样本点数为 所以所求事件的概率为

五、二项分布和超几何分布 例 (p26 例 6) 如果某批产品中有 a 件次品 b 件正品， 我们采用有放回或不放回抽样方式从中抽 n 件产品， 问正好有 k 件是次品的概率各是多少？ 1 两种分布的定义

当 k 取不同值时，其对应的概率将会随之变化。称 这样的概率分布为二项分布，因为它恰好是二项式 的一般项。

所以所求事件的概率为 称此概率分布为超几何分布

2 两种分布的关系 当产品数量较大而抽样不大时，放回与不放回 的结果差异不会很大，事实上 当 k 比 a 小的多时， n-k 比 b 小得多时

六、概率的基本性质 1. 古典概型的概率的性质 (1) ( 非负性） 对任一事件 A, 有 (2) ( 规范性）

2 概率计算常用公式 (1) 加法公式  B A 当 A 与 B 互斥时 当 A 与 B 对立时（或者互逆时），即

(2) 典型例题 例 1 (p30 例 8 德. 梅尔问题）一颗骰子投 4 次至少一个 六点这一事件与两颗骰子投 24 次至少得到一个双六， 这两个事件中哪一件发生的可能性较大？ 解 设 A ＝ { 一颗骰子投 4 次至少一个六点 }, B={ 两颗骰 子投 24 次至少得到一个双六 } ，则 因而事件 A 发生的可能性更大。此问题是梅尔向 帕斯卡提出的，以此引出了帕斯卡与费马的通信

例 2 （ p31 例 9 ）一个口袋装有 N-1 只黑球和一只白球， 每次从袋中随机的取出一个球，并换入一个黑球，这 样继续下去，问第 k 次摸到黑球的概率是多少？ 解 设 A={ 第 k 次摸到黑球 }, 则 第 k 次摸到白球等价于前 k-1 次摸到黑球，而第 k 次 摸到白球，因而

解

在 N 件产品中抽取 n 件, 其中恰有 m 件次品的取法 共有 于是所求的概率为 解 在 N 件产品中抽取 n 件的所有可能取法共有

例 5 在 1~2000 的整数中随机地取一个数, 问取到 的整数既不能被 6 整除, 又不能被 8 整除的概率是 多少 ? 设 A 为事件 “ 取到的数能被 6 整除 ”,B 为事件 “ 取到的数能被 8 整除 ” 则所求概率为 解

于是所求概率为

例 6 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去, 这 15 名新生中有 3 名是优秀生. 问 (1) 每一个班 级各分配到一名优秀生的概率是多少 ? (2) 3 名优 秀生分配在同一个班级的概率是多少 ? 解 15 名新生平均分配到三个班级中的分法总数 : (1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有

因此所求概率为 (2) 将 3 名优秀生分配在同一个班级的分法共有 3 种, 对于每一种分法, 其余 12 名新生的分法有 因此 3 名优秀生分配在同一个班级的分法共有 因此所求概率为

例 7 某接待站在某一周曾接待过 12 次来访, 已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的, 问是 否可以推断接待时间是有规定的. 假设接待站的接待时间没有 规定, 且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的. 解 周一周二周三周四周五周六周日 故一周内接待 12 次来访共有

小概率事件在实际中几乎是不可能发生的, 从 而可知接待时间是有规定的. 周一周二周三周四周五周六周日周二周四 次接待都是在周二和周四进行的共有 故 12 次接待都是在周二和周四进行的概率为

例 8 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的, 即都等于 1/365, 求 64 个人中至少 有 2 人生日相同的概率. 64 个人生日各不相同的概率为 故 64 个人中至少有 2 人生日相同的概率为 解

例 9 在房间里有 10 个人, 分别佩戴从 1 号到 10 号的 纪念章, 任选 3 个记录其纪念章的号码. (1) 求最小号码为 5 的概率 ;(2) 求最大号码为 5 的概 率. 解 (1) 总的选法种数为 最小号码为 5 的选法种数为

(2) 最大号码为 5 的选法种数为 故最大号码为 5 的概率为 故小号码为 5 的概率为

例 10 将 4 只球随机地放入 6 个盒子中去, 试求 每个盒子至多有一只球的概率. 解 将 4 只球随机地放入 6 个盒子中去, 共有 6 4 种 放法. 每个盒子中至多放一只球共有 种不同放 法. 因而所求的概率为

作业 习题一 10 、 11 、 13 、 14 、 18 、 20 、 22 、 25