商用微積分 CHAPTER3 微分

3.1 微分基本公式 ( 求導法則 ) 3.2 乘積公式及商公式 3.3 鏈規則 3.4 經濟上的邊際函數 3.5 高階導函數 3.6 隱微分及相關變化率 3.7 微分 第 3 章公式 第 3 章復習題

公式 1 ：常數函數的導函數 （其中ｃ表某常數） 商用微積分, 3.1, 頁 134

公式 2 ：冪函數的導函數 若 n 為任意實數，則 商用微積分, 3.1, 頁 135

公式 3 ：常數乘以函數的導函數 （其中ｃ為某常數） 商用微積分, 3.1, 頁 136

公式 4 ：和的公式 商用微積分, 3.1, 頁 137

公式５：乘積公式 二個函數之乘積的導函數為第一個函數乘以 第二個函數的導函數，再加上第二個函數乘 以第一個函數的導函數。 商用微積分, 3.2, 頁 143

二個函數乘積的導函數不是直接將這二個導 函數相乘，亦即 商用微積分, 3.2, 頁 144

公式 6 ：商公式 （其中 g(x)≠0 ） 商用微積分, 3.2, 頁 145

商用微積分, 3.3, 頁 152 圖 3.5 合成函數 h (x)=g [ f (x)]

公式 7 ：鏈規則 已知 h (x)=g [f (x)] ，則 換言之，若已知 y= h (x) = g (u) ，其中 u = f (x) ， 則 商用微積分, 3.3, 頁 152

1. 若我們將合成函數註記為： 則 h’ (x) 其實就是外面函數的導函數對裡面函數 取值，再乘上裡面函數的導函數。 商用微積分, 3.3, 頁 153 裡面的函數 外面的函數

在公式 (2) 時，可假裝將 du 約分如下： 商用微積分, 3.3, 頁 153

冪函數的導函數公式（一般形式） 若函數 f 為一可微函數且 h (x)=[f (x)] n （其中 n 為某一實數），則 商用微積分, 3.3, 頁 153

成本函數 經濟學上直接以成本函數的導函數來 定義邊際成本函數 (marginal cost function) 。換言之，若Ｃ為總成本函 數，則其邊際總成本函數即為Ｃ ’ 。也 就是說，邊際一詞等同於導函數。 商用微積分, 3.4, 頁 161

平均成本函數的定義 令 C (x) 表成本函數。則平均成本函數 (average cost function) 記為 C (x) （讀 做 “C bar of x”) 為 商用微積分, 3.4, 頁 162

需求彈性的定義 令 f 為一需求函數 x = f (p) 且 f 對 p 可微， 則在單價 p 時之需求彈性 (elasticity of demand) 為： 商用微積分, 3.4, 頁 168

需求彈性之分類 若 E (p)>1 ，則稱為彈性 (elastic) 需求。 若 E (p)=1 ，則稱為單位 (unitary) 需求。 若 E (p)<1 ，則稱為非彈性 (inelastic) 需求。 商用微積分, 3.4, 頁 169

1. 單價為 p 時，若為彈性需求 [E (p)>1] ，則下 列情況會發生：當單價上揚時，收入會下 降；當單價下降時，收入反而上升。 2. 單價為 p 時，若為非彈性需求 [E (p)<1] ，則 下列狀況會發生：當單價上揚時，收入亦 增多；當單價下滑時，收入亦減少。 3. 單價為 p 時，若為單位需求 [E (p)=1] ，則下 列狀況會發生：單價的些微變動並不影響 收入（收入保持一樣）。 商用微積分, 3.4, 頁 170

圖 3.11 非彈性需求時，收入在該點遞增；彈性需求時，收入 在該點遞減：單位需求時，收入在該點固定。 商用微積分, 3.4, 頁 170

1. 彈性需求時，單價與收入變化的方向 相反。 2. 非彈性需求時，單價與收入變化的方 向相同。 商用微積分, 3.4, 頁 170

至於函數 f 在 x 的一階、二階、三階... 及 n 階導函數則分別記為： 或 商用微積分, 3.5, 頁 174

若函數 f 寫成 y=f (x) 的形式，則導函數亦 可分別記為： 或 商用微積分, 3.5, 頁 174

隱函數的形式 顯函數的形式 商用微積分, 3.6, 頁 180

我們可以不必將 y 明確表為顯函數的形 式，直接經由隱函數的形式就直接求出 d y / d x ，而一般將此法稱為隱微分 (implicit differentiation) 商用微積分, 3.6, 頁 180

用隱微分求 1. 將式子兩邊同時對 x 微分（注意，當 處理和 y 有關之項的微分時，因用到鏈 規則，所以會多 d y /d x ）。 2. 將微分後的式子，移項並化簡等以求 得 d y /d x （可用 x 與 y 表示）。 商用微積分, 3.6, 頁 181

我們用符號 來代表 d x /d y 在點 (a, b) 之值。 若要求 d x /d y 在某一特定點 (a, b) 之值， 可以採取以下作法較方便：先對等式 二邊同時對 x 微分後，再分別代 a 於 x 且 ; 代 b 於 y ，最後再依其結果解得 之值。 商用微積分, 3.6, 頁 183

增加量 令 x 表某一變量。若已知 x 的值由變 x 1 變 到 x 2 ，則 x 的變化量可稱為 x 的增加量 (increment in x) ，並記為 △ x ( 讀 作 ”delta x”) ，即 後面的值－前面的值 譯者註：增加量不見得為正。 商用微積分, 3.7, 頁 189

圖 3.16 x 的增加量△ x 將造成 y 的增加量△ y= f (x+ △ x)- f (x) 商用微積分, 3.7, 頁 190

圖 3.17 若△ x 很小，則 d y 是△ y 一個良好的估計 商用微積分, 3.7, 頁 190

自變數與依變數之微分的定義 給定 y=f (x) 為 x 的一個可微函數。則 1. 自變數 x 的微分 (differential d x ) 是 d x= △ x 2. 依變數 y 的微分 (differential d y) 是 商用微積分, 3.7, 頁 191

1. 對自變數 x 而言： △ x 與 d x 二者毫無差別， 他們均代表 x 的變化量。 2. 對依變數 y 而言： △ y 代表 y 真正的變化量 （此變化量是由 x 的變化量△ x 造成的）， 而 d y 則代表△ y 之近似值。 3.y 的微分 d y (differential d y) 與 x 及△ x 二者 均相關，但對固定的 x 而言， d y 是 d x 的線 性函數。 商用微積分, 3.7, 頁 191