扬州环境资源职业技术学院基础部 一、微分的定义 二、微分的几何意义 四、微分在近似计算中的应用 第五节 函数的微分 三、基本初等函数的微分公式与微分运算 法则
扬州环境资源职业技术学院基础部 一、微分的定义 问题的提出 一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长 由 变到 （如图），问此薄片的面积 改变了多少？
扬州环境资源职业技术学院基础部 一般地, 如果函数 y=f(x) 满足一定条件, 则函数的增量 可表示 为 其中 A 是不依赖于 的常数, 因此 是 的线性函数, 且它与 之差 是比 高阶的无穷小, 所以, 当, 且 很小时, 我们就可 以近似地用 来代替
扬州环境资源职业技术学院基础部 定义 设函数 y=f(x) 在某区间内有定义， 及 在 这区间内，如果函数的增量 可表示为 其中 A 是不依赖于 的常数，而 是比 高阶的无穷小，那么称 y=f(x) 在点 是可微的， 而 叫做函数 y=f(x) 在点 相应于自变量增 量 的微分，记作 dy ，即
扬州环境资源职业技术学院基础部 由定义知 :
扬州环境资源职业技术学院基础部 定理： y=f(x) 在 可微的充分必要条件是 f(x) 在 处 可导，且当 f(x) 在点 可微时，其微分一定是 (1) 必要性 证明
扬州环境资源职业技术学院基础部 (2) 充分性
扬州环境资源职业技术学院基础部 例1例1 解 例2例2 解
M N T ） P 几何意义 :( 如图 ) 二、微分的几何意义
扬州环境资源职业技术学院基础部 三、基本初等函数的微分公式与微分 运算法则 函数的微分的表达式 求法 : 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1. 基本初等函数的微分公式
扬州环境资源职业技术学院基础部 2. 函数和、差、积、商的微分法则
扬州环境资源职业技术学院基础部 3. 复合函数的微分法则 与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则 可推导如下 : 设 及 都可导, 则复合函数 的 微分为 上式说明无论是 u 自变量还是中间变量其微分形式不变, 这一 性质称为微分形式不变性. 例3例3 解
扬州环境资源职业技术学院基础部 例4例4 解 例5例5 解 应用积的微分法则, 得
扬州环境资源职业技术学院基础部 例 6 在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 使等式成立. 解 : (1) 我们知道 可见 即 一般地, 有 (C 为任意常数 )
扬州环境资源职业技术学院基础部 (2) 即 (C 为任意常数 )
扬州环境资源职业技术学院基础部 四、微分在近似计算中的应用 1 函数的近似计算 这个式子也可以写为 或 (4) (5) (6)
扬州环境资源职业技术学院基础部 例 7 有一批半径为 1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上 一层铜, 厚度定为 0.01cm. 估计一下每只球需用铜多少 ( 铜的密 度是 )? 解 先求出镀层的体积, 再乘上密度就得到每只球需用 铜的质量.
扬州环境资源职业技术学院基础部 由 (4) 得 于是镀每只球需用的铜约为 例8例8 解
扬州环境资源职业技术学院基础部 下面我们来推导一些常用的近似公式 (7) 应用 (7) 式可以推得一下几个在工程上常用的 近似公式 :
扬州环境资源职业技术学院基础部 证明 : 其它几个近似公式可用类似方法证明, 这里从略了
扬州环境资源职业技术学院基础部 例9例9 解 这里 x=0.05, 其值较小, 利用近似公式, 便得 : 如果直接开方, 可得 将两个结果比较一下, 可以看出, 用 作为 的 近似值, 其误差不超过 0.001, 这样的误差在一般应用上 已经够精确了.
扬州环境资源职业技术学院基础部 2. 误差估计 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因 素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的 数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量 误差. 定义： 问题 : 在实际工作中, 绝对误差与相对误差无法求得 ? 办法 : 将误差确定在某一个范围内.
扬州环境资源职业技术学院基础部 例 10 设测得圆钢截面的直径 D=60.03, 测量 D 的绝对误差限, 利用公式 计算圆钢的截面积时, 试估计面积的误差 解 我们把测量 D 时所产生的误差当作自变量 D 的增量 那么, 利用公式 来计算 A 时所产生的误差就是
扬州环境资源职业技术学院基础部 函数 A 的对应增量 当 很小时, 可以利用微分 dA 近 似地代替增量 即 而 因此得出 A 的绝对误差限约为 A 的相对误差限约为
扬州环境资源职业技术学院基础部 一般地, 根据直接测量的 x 值按公式 y=f(x) 计算 y 值时, 如果已知 测量 x 的绝对误差限是, 即 那么, 当 即 y 的绝对误差限约为 y 的相对误差限约为 以后常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与 相对误差