2.5 微分及其应用. 三、可微的条件 一、问题的提出 二、微分的定义 六、微分的形式不变性 四、微分的几何意义 五、微分的求法 八、小结 七、微分在近似计算中的应用.

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2.5 微分及其应用

三、可微的条件 一、问题的提出 二、微分的定义 六、微分的形式不变性 四、微分的几何意义 五、微分的求法 八、小结 七、微分在近似计算中的应用

一、问题的提出 实例 : 正方形金属薄片受热后面积的改变量.

再例如, 既容易计算又是较好的近似值 问题 : 这个线性函数 ( 改变量的主要部分 ) 是否 所有函数的改变量都有 ? 它是什么 ? 如何求 ?

二、微分的定义 定义 ( 微分的实质 )

由定义知 :

三、可微的条件 定理 证 (1) 必要性

(2) 充分性

例1例1 解 例2例2 解

四、微分的几何意义 M N T ) 几何意义 :( 如图 ) P

五、微分的求法 求法 : 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1. 基本初等函数的微分公式

2. 函数和、差、积、商的微分法则

例3例3 解 例4例4 解

六、微分形式的不变性 结论: 微分形式的不变性

例6例6 解 例5例5 解

例7例7 解 在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 使 等式成立.

七、微分在近似计算中的应用 1 、计算函数增量的近似值

例8例8 解

2 、计算函数的近似值 1 )求 f(x) 在点 x=x 0 附近的近似值

例9例9 解

2 )求 f(x) 在点 x=0 附近的近似值

常用近似公式 证明

例 10 解

例 11 有一批半径为 1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上 一层铜, 厚度定为 0.01cm. 估计一下每只球需用铜多少 ( 铜的密 度是 )? 解 先求出镀层的体积, 再乘上密度就得到每只球需用 铜的质量.

得 于是镀每只球需用的铜约为

八、小结 微分学所要解决的两类问题 : 函数的变化率问题 函数的增量问题微分的概念 导数的概念 求导数与微分的方法, 叫做微分法. 研究微分法与导数理论及其应用的科学, 叫 做微分学. 导数与微分的联系 : ★ ★

导数与微分的区别 : ★

近似计算的基本公式

思考题

思考题解答 说法不对. 从概念上讲,微分是从求函数增量引 出线性主部而得到的,导数是从函数变化 率问题归纳出函数增量与自变量增量之比 的极限,它们是完全不同的概念.

练 习 题

练习题答案

练习题

练习题答案