第三章 微分中值定理与 导数的应用
3.1 微分中值定理 3.3 洛必达法则 3.2 泰勒公式 3.4 函数的单调性 3.9 曲率 3.8 函数图形的描绘 3.5 函数的极值 3.7 曲线的凹凸性及拐点 3.6 函数的最值及其应用
3.1 微分中值定理
四、小结 一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理
一、罗尔 (Rolle) 定理
费马引理 设函数 f ( x ) 在点 的某领域 内有定义，并且 在 处可导，如果对任意的 ，有 那么 证 不妨设 时， （如果 可类似的证明）. 于是，对于 ，有 从而当 时，
当 时 根据函数 f ( x ) 在 可导的条件极限的保号性，便得到 所以
罗尔（ Rolle ）定理
几何解释 : 例如,
证
注意 :1 ）若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立. 例如, -22
又例如, O O
例 2 ）罗尔定理的条件是结论成立的充分条件, 但不是必要 条件. 3) 罗尔定理的结论中 不是唯一的. 4) 将罗尔定理的条件 1.2. 换为 [ a,b] 上可导, 结论仍成立.
例1例1 证 由介值定理 即为方程的小于 1 的正实根. 矛盾,
二、拉格朗日 (Lagrange) 中值定理
几何解释 : 证 分析 : 弦 AB 方程为
作辅助函数 拉格朗日中值公式 注意 : 拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 微分中值定理
拉格朗日中值公式的几种表达形式 推论 1 推论 2 如果函数 f(x) 与 g(x) 在 (a,b) 内每一点的导数相等， 则这两个函数在 (a,b) 内至多相差一个常数。
例2例2 证
例3例3 证 由上式得
三、柯西 (Cauchy) 中值定理
几何解释 : 证 作辅助函数
例4例4 证 分析 : 结论可变形为
四、小结 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 Cauchy 中值定理 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系； 注意定理成立的条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.
思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的 条件缺一不可.
思考题解答 不满足在闭区间上连续的条件； 且 不满足在开区间内可微的条件； 以上两个都可说明问题.
练 习 题练 习 题
练习题答案