北大附中深圳南山分校 倪 杰 2016年8月25日星期四 2016年8月25日星期四 2016年8月25日星期四 Ox y 1 1 y=a x (a>1)

2 知识目标： 1 、理解指数函数的概念，能画出具体指数函数 的图象 2 、掌握函数的基本性质, 能利用函数的单调性解 决问题 能力目标： 1 、学会采用数形结合思想和类比研究的方法探 讨指数函数问题，提高学生的归纳能力； 2 、在数学实验平台上，经历列表描点、绘制具 体函数图象、图象的动态变换三个步骤体验指数函 数的图象特征，并归纳相应性质. 情感目标： 1 、培养学生主动探求知识、合作交流的意识， 在亲身操作中感受数学的魅力.

3 教材分析：指数函数是基本初等函数之一， 应用非常广泛它是在本章学习完函数概念和两 个基本性质之后，较为系统地研究的第一个初 等函数. 前面已将指数概念扩充到了有理指数 幂，并给出了有理指数幂的运算性质指数函数 的概念从实际问题引入，这样既说明指数函数 的概念来源于客观实际，也便于学生接受和培 养学生用数学的意识函数图象是研究函数性质 的直观图形指数函数的性质是利用图象总结出 来的. 书到时方恨少！

4 故事之一 : 细胞分裂 某细胞分裂由一个分裂成 2 个， 2 个分裂成 4 个， 4 个分裂成 8 个,…… 如果分裂一次需要 10 秒， 那么， 1 个细胞 1 分钟后分裂成多少个细胞？ 一、问题情境： 即一个细 胞 1 分钟 后分裂成 64 个细胞 假设细胞分裂的次数为 x ，相应的细胞个数为 y ， 细胞分裂过程细胞个数 第一次 第二次 第三次 ………… 第x次第x次 …… 细胞个数 y 关于分裂次数 x 的关系为 y=2 x.

5 2次2次 3 次 … … 我们可以看到每截一次后尺的长度都减为前一 次的二分之一倍，一把尺子截 x 次后，得到的尺子 的长度 y 与 x 的函数关系式是 x次x次 故事之二：半中折半 一把长为 1 尺子第 1 次截去它的一半，第 2 次截去 剩余部分的一半，第 3 次截去第 2 次剩余部分的一 半,…… ，依次截下去，问截的次数 x 与剩下的尺子 长度 y 之间的关系. 【一尺之棒，日取其半，万世不竭】 次数 1 次 长度

6 故事之三 : 古莲子 我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘的古莲 子至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年 以前的遗物呢？ 要测定古物的年代，可以用放射性 14 C, 动植物 死后，停止了新陈代谢， 14 C 不再产生，且原来的 14 C 会自动衰变，经过 5730 年 ( 14 C 的半衰期 ) ，它的 残余量只有原始量的一半，经过科学家测定，若 14 C 的原始量为 1 ，则经过 x 年后的残余量为 y=a x. 在 y=2 x,y=0.5 x ， y=a x 中指数 x 是自变量，底数 是一个大于 0 且不等于 1 的常量. 我们把这种自变量在指数位置上而底数是一 个大于 0 且不等于 1 的常数的函数叫做指数函数.

7 对指数函数认识以及相关的性质就是本课要学 习和研讨的主要内容. 二、讲解新课： 1. 指数函数的定义： 一般地，函数 y=a x (a>0 且 a≠1) 叫做指数函数 (exponential function) ，其中 x 是自变量，函数定义 域是 R. 探究 1: 讨论 a 的活动范围 ( 为什么要规定 a>0 ， a≠1) ①若 a=0 ，则当 x>0 时， a x =0 ；当 x≤0 时， a x 无意义. ②若 a<0 ，则对于 x 的某些数值，可使 a x 无意义. 如 ( － 2) x ，这时对于 x= ， x= ， … 等等，在实数 范围内函数值不存在.

8 探究 2 ：函数 y=2·3 x 是指数函数吗？ ③若 a=1 ，则对于任何 x ∈ R ， a x =1 ，是一个常量， 没有研究的必要性. 为了避免上述各种情况，所以规定 a>0 且 a  1 ， 在规定以后, 对于任何 x ∈ R ， a x 都有意义, 且 a x >0. 因此指数函数的定义域是 R ， 值域是 (0 ， +∞). 指数函数的解析式 y= a x 中， a x 的系数必是 1. 有些函数貌似指数函数，实际上却不是， 如： y= a x +k (a>0 且 a≠1 ， k ∈ Z) ； 有些函数看起来不像指数函数，实际上却是， 如 y=a -x (a>0, 且 a≠1) ， 因为它可以化为 ，其中 不是

9 练习：１. 指出下列函数哪些是指数函数 (1) y = 4 x (2) y = x 4 (3) y = － 4 x (4) y =( － 4) x (5) y =π x (6) y = 4 x 2 (7) y = x x (8) y = (2a － 1) x (a>1 且 a ≠ 1) 解 : (1) 、 (5) 、 (8) 为指数函数. (2) 是幂函数； (3) 是－ 1 与指数函数 4 x 的乘积； (4) 中底数－４ < ０，不是指数函数 ; (6) 中指数不是自变量 x ； (7) 中底数 x 不是常数. 2.y=(a 2 － 3a+3)a x 是指数函数，则 a=____. 由 a 2 － 3a+3=1 得 a=2 或 a=1( 舍 ) 2

10 列表： X … … y=2 x … … … … y=2 x x y O （0，1）（0，1） 指数函数的图象和性质 2. 指数函数的图象和性质 例题：在同一坐标系中分别作出如下函数的图像. 探究 1. 以上图象有哪些特征？ 探究 2. 底 a 的变化对函数的图 像有何影响？ 由此得出图像有哪些性质？ ( 定义域、值域、过定点、单调性 ) y=2 x ， y=0.5 x ， y=10 x ， y=0.1 x ，

11 x y O 1 y=2 x

12 列表如下： x … … y=10 x … … … … 观察图象，你能否发现指 数函数的有哪些性质吗？ y=2 x x y O y= 1 0 x （0，1）（0，1） x y O （0，1）（0，1）

13 a>1 0<a<1 图象图象 性质 1. 定义域： 2. 值域： = 3. 过点 即 x= 时， y= 4. 在 R 上是 函数在 R 上是 函数 x y O x y O (-∞,+∞) (0,+∞) (0 ， 1) 0 1 增 减 归纳小结：函数 y=a x （ a>0 且 a≠1 ）叫做指数函数， 其中 x 是自变量，函数定义域是 R. x<0 时, 则 0<y<1 x>0 时, 则 y>1 x<0 时, 则 y>1 x>0 时, 则 0<y<1 1 1 图象可向左、右两方无限伸展，都在 x 轴上方. 向上无限伸展，向下与 x 轴无限接近 （ x 轴为渐进线） 图象都经过坐标为（ 0 ， 1) 的点. a ＞ 1 时，图象自左至右逐渐上升. 0 ＜ a ＜ 1 时，图象自左至右逐渐下降. 记忆方法 : a 、 x 、 y 依次对应着 1 、 0 、 1, 若 a>1, 则当 x>0 时， y>1 ，可记忆为 “ 大大大 ”. 类似的，我们有 “ 大小小 ” 、 “ 小大小 ” 、 “ 小小 大 ” 一句话， “ 同则大，异则小 ”.

14 解： ① 利用函数单调性① 与 的底数 是 1.7 ，它们可以看成函数 y= 1.7 x ，当 x=2.5 和 3 时 的函数值； 因为 1.7>1 ，所以函数 y= 1.7 x ，在 R 上是增函数， 而 2.5<3 ，所以， <1.7 3 例 1 比较下列各题中两个值的大小 : ① ,1.7 3 f(x)= 1.7 x y xO (0,1) 由数思形，由 形想数，正所 谓 “ 数形结合思 想 ”. 三、讲解例题：

15 解：②利用函数单调性 , 的底数是 0.8 ， 它们可以看成函数 y= 0.8 x ，当 x= － 0.1 和－ 0.2 时 的函数值； 因为 0<0.8<1, 所以函数 y= 0.8 x, 在 R 上是减函数. 而－ 0.1> － 0.2 ，所以， < 例 1 比较下列各题中两个值的大小 : ② , ； y x O -0.1 (0,1) f(x)= 0.8 x -0.2 对同底数，不同指 数的幂大小的比较 用的是指数函数的 单调性.

16 解：根据指数函数的性质， 例 1 比较下列各题中两个值的大小 : ③ ， y x O 从而有 > f(x)= 1.7 x (0,1) y x O f(x)= 0.9 x ( 0,1) 而 0< <1 得 >1 ， 对不同底数，不同指数的幂的大小的比较可以与 中间值 ( 通常为 1 和 0) 进行比较.

17 例 2 、下面是指数函数 y=a x ， y=b x ， y=c x ， y=d x 的 图象，则 a ， b ， c ， d 的大小关系是 __________. a>b>c>d 对不同底数，同 指数（正数）的幂 大小比较，幂越大， 底越大，反之亦然. a>b>1 ， 0<d<c<1 探究 : 指数函数 y=a x 中底 a 的大小对图象有何影响 ? 当 a>1 时， a 值越大，图象越靠近坐标轴； 当 0<a<1 时， a 值越小，图象越靠近坐标轴. y=b x x y O y=a x （0，1）（0，1） y=c x y=d x 规律：按逆时针方向底数 a 的值依次增大.

18 ①对同底数，不同指数的幂大小的比较用的是指 数函数的单调性. ②对不同底数，同指数（正数）的幂大小比较， 底越大，幂越大. ③对不同底数，不同指数的幂的大小的比较可以 与中间值 ( 通常为 1 和 0) 进行比较. 如： >0.75 2, 30 8 > 30 7 ； 如： > ； 如： >1.7 0 =1= > 归纳小结： 爱 拼 才 会 赢 ！

19 例 3 、 (1) 已知 3 x ≥3 0.5 ，求实数 x 的取值范围； (2) 已知 0.2 x <25 ，求实数 x 的取值范围. 解： (1) 因为 3>1 ，所以指数函数 f(x)=3 x 在 R 上是增 函数. 由 3 x ≥3 0.5 ，可得 x≥0.5 ， (2) 因为 0<0.2<1 ，所以指数函数 f(x)=0.2 x 在 R 上 是减函数. 由此可得 x> － 2 ，即 x 的取值范围为 ( － 2 ， +∞ ）； 因为 25= ( ) － 2 =0.2 － 2 ，所以 0.2 x <0.2 － 2 ， 即 x 的取值范围为 [0.5 ， +∞) ； 注：先化成同底，然后再利用函数单调性就可以 求出取值范围.

20 ⑵已知下列不等式 ， 1.1 m <1.1 n ，试比较 m 、 n 的大小： ⑶比较下列各数的大小： 1 0 ， ， >1 0 > m <1.1 n m<n 练习：⑴比较大小： 解：因为 利用函数单调性 x y O f(x)= 2.5 x

21 四、练习：教材第 52 页练习题. 五、小结：本节课学习了以下内容： 六、课后作业：教材第 59 页 习题 2.1 中第 7 、 8 题. ● 指数函数的概念 ● 指数函数的图象 ● 指数函数的性质：定义域、值域、单调性等 方法：数形结合、分类讨论 应用：比较大小 注意：利用单调性时要弄清底数 a 是 a ＞ 1 还是 0 ＜ a ＜ 1.

22 解： 所以 探究 ● 拓展 2. 证明：指数函数 y=a x ，当 a>1 时，是单调递增函 数. 1.1.