臆測與論證實例演練 103 學年度數學亮點基地計畫 國立勤益科技大學 劉柏宏 1
1=1 1+2=3 1+2+3=6 =10 … …+ n = n ( n +1)/2 除高斯的算術推論之外,是否有其他論證方式? 2 n 項和
3 n 項和圖形論證 總共為 5(5+1) 的一半
1=1 1+3=4 1+3+5=9 =16 =25 =36… 你發現甚麼? 4 正奇數之和
前 n 個正奇數之和等於 n 的平方 …+(2 n 1)= n 2 為什麼奇數相加之和與平方有關?如何論證? 傳統證法:數學歸納法 已知 1=1 2 成立,設 n =k 成立 , …+(2k 1)=k 2 則當 n =k+1 時, …+(2k 1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 成立,故得證 5 正奇數之和
1 2 0 2 =(1 0)(1+0)=1 2 2 1 2 =(2 1)(2+1)=3 3 2 2 2 =(3 2)(3+2)=5 4 2 3 2 =(4 3)(4+3) =7 … k 2 (k 1) 2 =k 2 k 2 +2k 1=2k 1 6 正奇數之和的論證
1 2 =1 =5 =14 =30 … …+ n 2 =[ n ( n +1)(2 n +1)]/6 如何理解這麼醜的公式? 7 n 項平方和
8 n 項平方和圖形論證
…+ n 2 =[ n ( n +1)( n +1/2)]/3 香港大學蕭文強教授 =[4(4+1)(4+1/2)]/3
1 3 =1 =9 =36 =100 … …+ n 3 =(?) 2 10 n 項立方和
…+n 3 =(1+2+3+…+n) 2 中世紀數學家費波納奇 發現前 n 個正整數 3 次方 的和恰等於前 (1+2+…+ n ) 個正奇數之和。 已知前 (1+2+…+ n ) 個正奇 數之和等於 (1+2+…+ n ) 2 前 n 個正整數 3 次方的和 等於 (1+2+…+ n ) 2
12 Proof without words
13 最短路徑 ?
14 最短路徑的猜測
15 最短路徑的論證
16 為何三中線必交於一點?
延長 AG ,並取 AG=GF ,和 BC 相交於 H 點。 因為 E 和 G 分別是 AB 和 AF 的中 點,所以 EG//BF , GC//BF 。 同理 CF//BG ,所以 BFCG 是平 行四邊形。 因此對角線 FH 和 BC 互相平分, 即 H 是 BC 中點,因此 AH 為中 線。故得證。 17 證明三中線交於一點
已知 F,E 為中點,證明 D 為中點。 ( 前置目標:設法證明 c=d 即可 ) a=b, f=e; a+b+c=f+e+d 2a+c=2f+d a+f+e=d+c+b 2f= d+c b+a+f=c+d+e 2a=c+d a=f c=d 18 證明三中線交於一點 A B C D E F G a b c d e f
設中線 BF 和中線 CE 交於 G 而中線 BF 和中線 AD 交於 G' 因△ G'DF ~△ G'AB 且 AB:FD=2:1 所以 BG':G'F = 2:1 而 BG:GF=2:1 所以 G 和 G ‘ 重合 19 證明三中線交於一點 A A B B C C E F G F D G’G’
連接三角形 T 各邊中 點,形成一相似三角 形 T ’ 。 T 之中線仍為 T ’ 之中線。 連接三角形 T ’ 各邊中 點,形成一相似三角 形 T ’’ 。 T ’ 之中線仍為 T ’’ 之中線。 依此類推,三角形漸 內趨於一點,所以 T 之三中線最後必交於 一點。 20 這算不算論證?
將半圓之圓周角旋轉 180 度 使新三角形 A ’ BC 與原來三角 形 ABC 結合成一個四邊形 A’B//AC, A’C//AB A ’ 和 A 處於正對面的位置 AA ’ 線段亦為直徑 對角線相等之平行四邊形必 為長方形,故 A 為直角 21 半圓之圓周角為何為直角? A B C A’A’
已知三角形內角和為 180 度。那四邊形、五邊形、六邊形和七 邊形內角和幾度?請將你的答案填入下表中。 你有甚麼發現? 如何說明你的發現一定是正確的? 22 n 多邊形內角和 形狀內角和 四邊形 360 五邊形 540 六邊形 720 七邊形 900
23 學生的論證 取自鄭老師的部落格
24 n 多邊形內角和公式論證 (n 2)×180 (n 1)×180 180 n×180 360(n 1)×180 180
25 河內塔 ( 梵天塔 ) 千年前一間印度古佛寺的大 殿中矗立著一座有三根金柱 的平台 ‚ 其中最左邊的柱上套 著六十四個由大而小的金環。 寺內高僧交代其弟子在他圓 寂之後必須每分鐘將其中一 個金盤移動到另一根金柱上, 不過大金盤絕對不可疊放在 小金盤之上。當六十四個金 盤都被移到另一根金柱時, 寺廟即將倒塌,而世界也隨 之毀滅。
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27 圓盤個數與移動次數對照表 圓盤 個數 12345…….n 移動 次數 …….
28 圓盤個數與移動次數對照表 圓盤 個數 12345…….n 移動 次數 …….m=?
29 尋找模式 圓盤 個數 12345….n 移動 次數 f (n) 1 2 × 1+1 =3 2 × 3+1 =7 2 × 7+1 =15 2 × 15+1 =31 …. 2f (n-1) +1 圓盤 個數 12345….n 移動 次數 f (n) = = = = = 31 …. 2 n -1
世界何時毀滅 ? n=64 2 n –1= 18,446,744,073,709,551,615 一千萬年 = 5,256,000,000,000 分鐘 30
31 Monty Hall 遊戲
32 Monty Hall 遊戲論證
小柏想知道 n 個點最多可以將直線分為幾段, n 條直線最多可以 將平面分為幾個區域, n 個平面最多可以將空間分為幾個區塊。 經測試與觀察後,他填入下列數據之後就遇到困難,你能否替 他完成其他數據?解釋你的判斷與推論。 33 臆測與論證工作單 點線段 直線區域 平面區塊
34 猜測 點線段 直線區域 平面區塊
n? 35 平面篇 -- 你能找出公式嗎? 直線區域 … 增加之區域數比增加之交點數多 1 個
設 R( n ) 表示 n 條直線所能分割出之最多區域數。 R(1)=2 R(2)=R(1)+2=4 R(3)=R(2)+3=7 R(4)=R(3)+4=11 … R( n )=R( n 1)+ n R( n )= …+ n =1+[ n ( n +1)]/2 36 遞迴關係 — 國中層次
第 n 條直線與 n 1 條直線產生 n 1 個交點,將第 n 條線劃 分為 n 段,而每段均劃出新區域,所以多出 n 個區域。 n 條直線會產生 個交點 n 條直線比 n 1 條直線多 個交點 n 條直線比 n 1 條直線多 個區域 R( n )=R( n 1)+ 37 遞迴關係 — 高中層次
R(1)=2 R(2)=R(1)+ R(3)=R(2)+ R(4)=R(3)+ … R(n)= R(n 1)+ R(n)=2+(n 1)+ =1+n+ = 38 遞迴關係 — 高中層次 ( 續 )
n? 39 空間篇 -- 你能找出公式嗎? 平面區塊 … 第三平面增加 2 條交線, 2 條交線將 第三平面分割為 4 個區域,這 4 區域 各多分割出 1 區塊,所以三平面比兩 平面多 4 區塊。
第四平面增加 3 條交線, 3 條交線將第四平面分割為 7 個區域,這 7 個區域各多分割出一區塊,所以四平面 比三平面多 7 區塊。 第五平面增加 4 條交線, 4 條交線將第四平面分割為 11 個區域,這 11 個區域各多分割出一區塊,所以四平面 比三平面多 11 區塊。 …… 40 演繹論證
第 n 個平面穿過 n 1 個平面產生 n 1 條交線,將第 n 個平 面劃分為 [ n 2 n +2]/2 個區域,而每區域均劃出新區塊, 所以多出 [ n 2 n +2]/2 個區塊。 n 個平面會產生 條交線 n 個平面比 n 1 個平面多 條交線 n 個平面比 n 1 個平面多 個區塊 S( n )=S( n 1)+ 41 遞迴關係 — 高中層次
S(1)=2 S(2)=S(1)+ S(3)=S(2)+ … S( n 1)=S( n 2)+ S( n ) =2+( )+( )+…+( ) = 42 遞迴關係 — 高中層次 ( 續 ) 科學教育月刊 2012 年 4 月 高雄女中阮圓真老師
n 個三維的超平面最多可以將四維的空間分割成幾個 區塊? 猜想: n 個 k 1 維的超平面最多可以將 k 維的空間分割成幾個 區塊? 猜想: 43 臆測 — 大學層次
選定一個適合臆測與論證的問題 問題情境必須具有引誘性,例如可以從低階 情形找出推廣到高階情形,或是從學生直覺 上常犯的錯誤開始 ( 小明發現三角形的高會將 原三角形切割為兩個相似三角形,對不對? ) 下次請老師說明作業設計理念和教學策略 44 作業設計