数 理 统 计 华南农业大学理学院应用数学系 Statistics Applied Mathematic Department, College of Sciences, SCAU

引 言 随机变量及其所伴随的概率分布全面描述了随机 现象的统计性规律。 概率论的许多问题中，随机变量的概率分布通常 是已知的，或者假设是已知的，而一切计算与推理都 是在这已知是基础上得出来的。 但实际中，情况往往并非如此，一个随机现象所 服从的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概 型，但是其中的某些参数是未知的。

引 言 例如： 某公路上行驶车辆的速度服从什么分布是未知的； 电视机的使用寿命服从什么分布是未知的； 产品是否合格服从两点分布，但参数 —— 合格率 p 是 未知的； 数理统计的任务则是以概率论为基础，根据试验 所得到的数据，对研究对象的客观统计规律性做出合 理的推断。

从第五章开始，我们学习数理统计的基础知识。 数理统计的任务是以概率论为基础，根据试验所得到 的数据，对研究对象的客观统计规律性作出合理的推 断. 数理统计所包含的内容十分丰富，本书介绍其中 的参数估计、假设检验、方差分析、回归分析等内容. 第五章主要介绍数理统计的一些基本术语、基本概念、 重要的统计量及其分布，它们是后面各章的基础。 学习的基本内容

样本与统计量 总体与样本 在数理统计中，把研究对象的全体称为总体 （ population) 或母体，而把组成总体的每个单元 称为个体。 抽样 要了解总体的分布规律，在统计分析工作中，往往 是从总体中抽取一部分个体进行观测，这个过程称为抽 样。

样本与统计量 子样 子样 是 n 个随机变量，抽取之后 的观测数据 称为样本值或子样观察值。 在抽取过程中，每抽取一个个体，就是对总体 X 进 行一次随机试验，每次抽取的 n 个个体 ， 称为总体 X 的一个容量为 n 的样本（ sample ）或子 样；其中样本中所包含的个体数量称为样本容量。

随机抽样方法的基本要求 独立性 —— 即每次抽样的结果既不影响其余各次抽样的 结果，也不受其它各次抽样结果的影响。 满足上述两点要求的子样称为简单随机子样. 获得简 单随机子样的抽样方法叫简单随机抽样. 代表性 —— 即子样 ( ) 的每个分量 与总体 具有相同的概率分布。 从简单随机子样的含义可知，样本 是来自总体 、与总体 具有相同分布的随机变量.

简单随机抽样 例如：要通过随机抽样了解一批产品的次品率， 如果每次抽取一件产品观测后放回原来的总量中，则 这是一个简单随机抽样。 但实际抽样中，往往是不再放回产品，则这不是一 个简单随机抽样。但当总量 N 很大时，可近似看成是简单 随机抽样。

统计量 定义 设（ ）为总体 X 的一个样本， 为不含任何未知参数的连续函数，则 称 为样本（ ）的一个统计量。 则 例如： 设 是从正态总体 中抽取 的一个样本，其中 为已知参数, 为未知参数， 是统计量 不是统计量

几个常用的统计量 样本均值（ sample mean) 设 是总体 的一个样本， 样本方差 (sample variance)

样本均方差或标准差 它们的观测值用相应的小写字母表示. 反映总 体 X 取值的平均，或反映总体 X 取值的离散程度。 几个常用的统计量 设 是总体 的一个样本，

子样的 K 阶（原点）矩 几个常用的统计量 设 是总体 的一个样本， 子样的 K 阶中心矩

它包括两个方面 —— 数据整理 计算样本特征数 数据的简单处理 为了研究随机现象，首要的工作是收集原始数据. 一般通过抽样调查或试验得到的数据往往是杂乱无章 的，需要通过整理后才能显示出它们的分布状况。 数据的简单处理是以一种直观明了方式加工数据。

计算样本特征数： 数据的简单处理 数据整理：将数据分组 计算各组频数 作频率分布表 作频率直方图 （ 1 ）反映趋势的特征数 样本均值 中位数：数据按大小顺序排列后，位置居中的那个数 或居中的两个数的平均数。 众数：样本中出现最多的那个数。

数据的简单处理 （ 2 ）反映分散程度的特征数：极差、四分位差 极差 —— 样本数据中最大值与最小值之差， 四分位数 —— 将样本数据依概率分为四等份的 3 个数椐， 依次称为第一、第二、第三四分位数。 第一四分位数 Q 1 ： 第二四分位数 Q 2 ： 第三四分位数 Q 3 ：

例 1 为对某小麦杂交组合 F 2 代的株高 X 进行研究，抽 取容量为 100 的样本，测试的原始数据记录如下 ( 单位： 厘米 ) ，试根据以上数据，画出它的频率直方图，求随 机变量 X 的分布状况。

第一．整理原始数据，加工为分组资料，作出频率分布 表，画直方图，提取样本分布特征的信息. 步骤如下： 1. 找出数据中最小值 m=69 ，最大值 M=111 ，极差为 M － m=42 2. 数据分组，根据样本容量 n 的大小，决定分组数 k 。 一般规律 30≤n≤40 5≤k≤6 40≤n≤60 6≤k≤8 60≤n≤100 8≤k≤10 100≤n≤500 10≤k≤20

数据分组数参考表 数据数数据数 40 ~ 分组数分组数 6~ 8 7~ 9 10 ~

一般采取等距分组（也可以不等距分组），组距 等于比极差除以组数略大的测量单位的整数倍。 本例取 k=9. 本例测量单位为 1 厘米，组距为

3 ．确定组限和组中点值。 注意：组的上限与下限应比数据多一位小数。 当取 a=67.5 ， b= （ a 略小于 m ， b 略大于 M ， 且 a 和 b 都比数据多一位小数），分组如下： 一般根据算式： 各组中点值 组距 = 组的上限或下限 [67.5,72.5) [72.5,77.5) [77.5,82.5) [82.5,87.5) [87.5,92.5) [92.5,97.5) [97.5,102.5) [102.5,107.5) [107.5,112.5) 组中值分别为：

4 ．将数据分组，计算出各组频数，作频数、频率分布表 组序区间范围频数 f j 频率 W j =f j /n 累计频率 F j 1[67.5,72.5) [72.5 ， 77.5 ） [77.5 ， 82.5 ） [82.5 ， 87.5 ） [87.5 ， 92.5 ） [92.5 ， 97.5 ） [97.5 ， ） [102.5 ， ） [107.5 ， ）

作频率直方图 5. 作出频率直方图 以样本值为横坐标，频率 / 组距为纵坐标； 以分组区间为底，以 为高

从频率直方图可看到：靠近两个极端的数据出现比 较少，而中间附近的数据比较多，即中间大两头小的分 布趋势， —— 随机变量分布状况的最粗略的信息。 在频率直方图中， 每个矩形面积恰好等于样本值落 在该矩形对应的分组区间内的频率，即 频率直方图中的小矩形的面积近似地反映了样本数 据落在某个区间内的可能性大小，故它可近似描述 X 的分 布状况。

样本方差 样本标准差 Q1 Q3 极差 四分位差 第二．计算样本特征数 1. 反映集中趋势的特征数：样本均值、中位数、众数等 样本均值 MEAN 中位数 MEDIAN 众数 2. 反映分散程度的特征数：样本方差、样本标准差、 极差、四分位差等 上述差异特征统计量的值越小，表示离散程度越小.

MTB > set c1 DATA> DATA> DATA> DATA> DATA> DATA> DATA> DATA> MTB > end MTB > describe c1 例 1 DOS 状态下的 MINITAB 操作

显示： N MEAN MEDIAN TRMEAN STDEV C SEMEAN MIN MAX Q1 Q3 C 中位数 第一四分位数 第三四分位数

MTB>CODE (67.5:72.49)70 (72.5:77.49)75 (77.5:82.49)80 (82.5:87.49)85 (87.5:92.49)90 (92.5:97.49)95 (97.5:102.49)100 (102.5:107.49)105 (107.5:112.49)110 C1 C2 MTB>TALLY C2; SUBC>ALL. 将 C1 数据列重新编码， 并保存到 C2 数据列 显示各列数据的频数、 累计频数、频率、累计频率

C2 COUNTS CUMCNTS PERCENTS CUMPCENTS （频数） （累计频数） （频率） （累计频率） 显示结果

作业 习题五 P111 2 ； 3 ； 4 预习 第三节 统计量的分布