1.3 二项式定理

[ 题后感悟 ] 方法二较为简单，在展开二项式之前根据二项 式的结构特征进行适当变形，可使展开多项式的过程简化．记 准、记熟二项式 (a ＋ b) n 的展开式，是解答好与二项式定理有关 问题的前提，对较复杂的二项式，有时可先化简再展开，会更 简便.

解析： (1)(a ＋ 2b) 4 ＝ C 4 0 a 4 ＋ C 4 1 a 3 (2b) ＋ C 4 2 a 2 (2b) 2 ＋ C 4 3 a(2b) 3 ＋ C 4 4 (2b) 4 ＝ a 4 ＋ 8a 3 b ＋ 24a 2 b 2 ＋ 32ab 3 ＋ 16b 4.

化简： C n 0 (x ＋ 1) n － C n 1 (x ＋ 1) n － 1 ＋ … ＋ ( － 1) k C n k (x ＋ 1) n － k ＋ … ＋ ( － 1) n C n n. 由题目可获取以下主要信息： ①展开式是关于 x ＋ 1 的单项式； ② x ＋ 1 的指数最高次为 n ，依次递减至 0 ，且每项的指数等于 对应的组合数的下标与上标的差． 解答本题可先把 x ＋ 1 看成一个整体，分析结构形式，逆用二 项式定理求解．

[ 解题过程 ] 原式＝ C n 0 (x ＋ 1) n ＋ C n 1 (x ＋ 1) n － 1 · ( － 1) ＋ C n 2 (x ＋ 1) n － 2 · ( － 1) 2 ＋ … ＋ C n k (x ＋ 1) n － k · ( － 1) k ＋ … ＋ C n n · ( － 1) n ＝ [(x ＋ 1) ＋ ( － 1)] n ＝ x n. [ 题后感悟 ] 本题是二项式定理的逆用，需要熟悉二项展开 式的每个单项式的结构，若对公式还不很熟悉，可先把 x ＋ 1 换元 为 a ，再分析结构形式，则变得简单些．

2.(1) 设 n 为自然数，化简 C n 0 · 2 n － C n 1 · 2 n － 1 ＋ … ＋ ( － 1) k · C n k · 2 n － k ＋ … ＋ ( － 1) n · C n n. (2) 设 S ＝ (x － 1) 4 ＋ 4(x － 1) 3 ＋ 6(x － 1) 2 ＋ 4(x － 1) ＋ 1 ，它等于 ( ) A ． (x － 2) 4 B ． (x － 1) 4 C ． x 4 D ． (x ＋ 1) 4

解析： (1) 原式＝ C n 0 · 2 n · 1 0 － C n 1 2 n － 1 · 1 1 ＋ … ＋ ( － 1) k · C n k · 2 n － k ＋ … ＋ ( － 1) n · C n n · 2 0 ＝ (2 － 1) n ＝ 1. (2)S ＝ [(x － 1) ＋ 1] 4 ＝ x 4. 答案： (2)C

答案： D

2 ． (2011 · 福建高考 )(1 ＋ 2x) 5 的展开式中， x 2 的系数等于 ( ) A ． 80 B ． 40 C ． 20 D ． 10 解析： (1 ＋ 2x) 5 的第 r ＋ 1 项为 T r ＋ 1 ＝ C 5 r (2x) r ＝ 2 r C 5 r x r ，令 r ＝ 2 ，得 x 2 的系数为 2 2 · C 5 2 ＝ 40. 答案： B

答案： 17

先根据二项式系数比求出 n ，写出通项公式，再根据指定项 的特点求解．

[ 规范解答 ] (1) 依题意有 C n 4 ∶ C n 2 ＝ 14 ∶ 3 ， 化简得 (n － 2) · (n － 3) ＝ 56 ， 解之得 n ＝ 10 或 n ＝－ 5( 不合题意，舍去 ) ． ∴ n 的值为 10.

[ 题后感悟 ] 求二项展开式特定项的一般步骤：

(1) 用二项式定理证明： 3 4n ＋ 2 ＋ 5 2n ＋ 1 能被 14 整除； (2) 求 除以 100 的余数． [ 策略点睛 ]

[ 解题过程 ] (1) 证明：对被除式进行合理变形，把它写成恰 当的二项式形式，使其展开后的每一项都含有除式的因式，即 可证得整除． 3 4n ＋ 2 ＋ 5 2n ＋ 1 ＝ 9 2n ＋ 1 ＋ 5 2n ＋ 1 ＝ [(9 ＋ 5) － 5] 2n ＋ 1 ＋ 5 2n ＋ 1 ＝ (14 － 5) 2n ＋ 1 ＋ 5 2n ＋ 1 ＝ 14 2n ＋ 1 － C 2n ＋ 1 1 × 14 2n × 5 ＋ C 2n ＋ 1 2 × 14 2n － 1 × 5 2 － … ＋ C 2n ＋ 1 2n × 14 × 5 2n － C 2n ＋ 1 2n ＋ 1 × 5 2n ＋ 1 ＋ 5 2n ＋ 1 ＝ 14(14 2n － C 2n ＋ 1 1 × 14 2n － 1 × 5 ＋ C 2n ＋ 1 2 × 14 2n － 2 × 5 2 ＋ … ＋ C 2n ＋ 1 2n × 5 2n ) ． 上式是 14 的倍数，能被 14 整除，所以 3 4n ＋ 2 ＋ 5 2n ＋ 1 能被 14 整 除．

(2) 方法一： ＝ (100 － 9) 92 ＝ － C 92 1 × × 9 ＋ C 92 2 × × 9 2 － … － C × 100 × 9 91 ＋ 9 92 ，前面各项均能被 100 整 除，只有末项 9 92 不能被 100 整除，于是求 9 92 除以 100 的余数． ∵ 9 92 ＝ (10 － 1) 92 ＝ － C 92 1 × ＋ C 92 2 × － … ＋ C × 10 2 － C × 10 ＋ ( － 1) 92 ＝ － C 92 1 × ＋ C 92 2 × － … ＋ C × 10 2 － 920 ＋ 1 ＝ (10 92 － C 92 1 × ＋ C 92 2 × － … ＋ C × 10 2 － 1 000) ＋ 81 ， ∴ 被 100 除的余数为 81 ，即 除以 100 的余数为 81.

方法二： 由 ＝ (90 ＋ 1) 92 ＝ C 92 0 × ＋ C 92 1 × ＋ … ＋ C × 90 2 ＋ C × 90 ＋ 1 ， 可知前面各项均能被 100 整除，只有末尾两项不能被 100 整 除，由于 C · 90 ＋ 1 ＝ ＝ ＋ 81 ，故 除以 100 的余数 为 81.

[ 题后感悟 ] (1) 整除性问题或求余数问题的处理方法 ①解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项 式． ②用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成 除数 ( 或与除数密切关联的数 ) 与某数的和或差的形式，再用二项 式定理展开，只考虑后面 ( 或者是前面 ) 的几项就可以了． ③要注意余数的范围， a ＝ c · r ＋ b 这式子中 b 为余数， b ∈ [0 ， r) ， r 是除数，利用二项式定理展开式变形后，若剩余部分是负 数要注意转换．

(2) 利用二项式证明多项式的整除问题 关键是将被除式变形为二项式的形式，使其展开后每一项 均含有除式的因式．若 f(x) ， g(x) ， h(x) ， r(x) 均为多项式，则 ① f(x) ＝ g(x) · h(x) ⇔ f(x) 被 g(x) 整除． ② f(x) ＝ g(x) · h(x) ＋ r(x) ⇒ r(x) 为 g(x) 除 f(x) 后得的余式．

4. 求证： 1 ＋ 3 ＋ 3 2 ＋ … ＋ 3 3n － 1 能被 26 整除 (n 为大于 1 的偶 数 ) ．

求展开式中系数最大(小)的项 解:解: 设 项是系数最大的项,则

在 的展开式中，系数绝对值最大的项 解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则 所以当 时，系数绝对值最大的项为

证明恒等式 析:本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为 由此分析求解 两式相加

1 ． 正确理解二项式定理 (1) 系数 注意二项式系数 C n k 与展开式中对应项的系数不一定相等， 二项式系数一定为正，而项的系数有时可能为负． (2) 通项 通项 T k ＋ 1 ＝ C n k a n － k b k ，它是 (a ＋ b) n 的展开式的第 k ＋ 1 项，这 里 k ＝ 0,1 ， … ， n. 它反映出展开式在指数、项数、系数等方面的 内在联系，因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定 项系数．

(3) 二项式定理是一恒等式 对任意的 a ， b ，该等式均成立，通过对 a ， b 取不同的特值， 常可得到一些给解决某些问题带来方便的特殊等式． [ 特别提醒 ] 二项式 (a ＋ b) n 与 (b ＋ a) n 的展开式的第 k ＋ 1 项是 不同的，在解题时题中给出的二项式的两项是不能随便交换的， 否则会出错误．

2 ． 二项展开式的结构特征 (1) 它有 n ＋ 1 项； (2) 各项的次数都等于二项式的次数 n ； (3) 字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到 0 ；字母 b 按升幂排列， 次数由 0 递增到 n ； (4) 二项展开式中，系数 C n k (k ＝ 0,1,2 ， … ， n) 叫做第 k ＋ 1 项 的二项式系数，它们依次为： C n 0 ， C n 1 ， C n 2 ， … ， C n n. 这是一组仅与二项式的次数 n 有关的 n ＋ 1 个组合数，而与 a 、 b 无关．