1 第六章 機率分配

2 隨機變數 機率分配函數 常用的機率分配

3 隨機變數 (random variable) 將隨機實驗中每一個樣本點對應至實數值 之 “ 函數 ” 隨機變數 f

4 EX: 丟擲兩個銅板 樣本空間： （正，正） （正，反） （反，正） （反，反） 隨機變數值 x ： ? 隨機變數 X = 正面出現個數

5 間斷型隨機變數 隨機變數值為： 有限可數 無限可數

6 連續型隨機變數 隨機變數值為：  無限且不可數

7 間斷機率分配函數 間斷型隨機變數的機率分配 Example

8 EX: 丟擲兩個銅板 樣本空間： （正，正） （正，反） （反，正） （反，反） 隨機變數值 x ： 隨機變數 X = 正面出現個數 f(2)= f(1)= f(0)= f(x)= 正面出現 x 次 的機率 Return

9 例 6.1 丟擲一個均勻的銅板三次 ( 續 ) f(0) = P(X=0) = P({(T,T,T)})= f(1) = P( X=1) = P({( H,T,T),(T,H,T), (T,T,H)})= f(2) = P( X=2) = P({( H,H,T),(H,T,H), (T,H,H)})= f(3) = f( X=3) = P({((H,H,H)})=  每一個 f(x) 皆介於 0 與 1 之間  所有 f(x) 總和等於 1 。

10 隨機變數 例 6.1 丟擲一個均勻的銅板三次 ( 續 1) 圖 6.2 隨機變數 X 的機率分配 樣本空間機率 f(x)

11 隨機實驗隨機變數 機率分配 函數

12 累加機率分配 對每一個可能數值 x i 而言， 0  F(x i )  1 。 若 x 1 ＜ x 2 ，則 F(x 1 )  F(x 2 ) 。 若 a ＜ b ，則 f(a ＜ x  b) =F(b) － F(a) 。 Example

13 Return

14 因此， X 之累積機率函數為

階梯式函數

16 以機率分配計算母體平均數、母體變異數 *** 隨機變數值 x1x1 x2x2 …xnxn 機率值 f(x 1 )f(x 2 )…f(x n )

17 EX 6.3 & 6.5 (p.140) x012 f(x)1/41/21/4

18 例 6.4 教師出教科書之情況 表 6.3 為某學校 400 名教師出版教科書冊數之次數分配表， 試求教師出版教科書之平均冊數？ 表 6.3 教師出版教科書冊數之次數分配表

19 例 6.4 教師出教科書之情況 ( 續 ) 解： 如果我們讓代表教師出版教科書冊數，然後其相對次數視 為其出版冊數的發生機率，那麼就可視為一個間斷的隨機 變數，因此 根據 (6.1) 式計算，其期望值為

20 例 6.6 接續例 6.4例 6.4 接續例 6.4 ，試求某學校教師出版教科書冊數之變 異數和標準差？ 解： 因此，某學校教師出版教科書冊數之平均數為 冊，變異數為 ，標準差為 1.09 冊。

21 期望值定理 ***

22 變異數定理 ***

23 標準化隨機變數 隨機變數 X  標準化隨機變數

24

25 常用的機率分配 二項分配 超幾何分配 波松分配

26 二項分配

27 伯努利 (Bernoulli) 實驗 只有兩種結果之實驗  Ex: 成功 = 1 vs. 失敗 = 0 成功機率 = P(X=1) = f(1) = p 失敗機率 = P(X=0) = f(0) = 1-p 期望值 = 變異數 =

28 二項分配 特性  進行 n 次伯努利實驗  成功機率 = P(X=1) = f(1) = p  失敗機率 = P(X=0) = f(0) = 1-p  每一次實驗互相獨立 隨機變數 X = n 次實驗中成功次數 X = 0, 1, 2, …, n

29 二項機率函數 期望值 變異數

30 例 6.8 超級市場消費情形 一家超級市場發現在促銷活動期間，每位顧客會消費超過 1,000 元的機率為 80% 。現有 5 位顧客，請問這 5 位顧客於促 銷期間會消費超過 1,000 元的人數之機率分配為何？其期望 值和變異數又為何？ 解：此隨機試驗具有下列之性質 1. 包含 5 個試驗，每位顧客之消費視為一試驗。 2. 每次試驗互相獨立，每位顧客消費之情況不會互相影 響。 3. 每次試驗只有兩種可能的結果，消費超過 1,000 元（視 為成功）或沒有超過 1,000 元（視為失敗）。 4. 每次試驗成功的機率為，消費超過 1,000 元的機率為 0.8 。

31 例 6.8 超級市場消費情形（續 ) 由於符合二項隨機試驗之性質，故為二項隨機試驗。現定義 隨機變數 X 為 5 位顧客於促銷期間會消費超過 1,000 元的人數。 所以，其機率分配為 n=5 、 p=0.8 的二項分配。根據 (6.5) 式， 其各可能數值之機率值分別為 根據 (6.6) 與 (6.7) 式，其期望值和變異數分別為

32 超幾何分配

33 超幾何分配 特性  母體為 N ，可分為兩類，其中一類（成功）共 有 k 個，另一類（失敗）共有 N – k 個  共抽取 n 次且每次成功機率會改變（ ex: 抽出 不放回） 隨機變數 X = n 次實驗中成功次數

34 二項分配與超幾何分配比較 二項分配超幾何分配 抽出後放回不放回 每次實驗成功的 機率 相同不相同 每次實驗獨立不獨立

35 成功k成功k 失敗 N-k 失敗 n-x 成功 x 母體 N 樣本 n

36 超幾何機率函數

37 期望值 and 變異數 因實驗不獨立 之校正因子 p 1-p

38 例 6.9 行動電話系統市場概況 根據調查顯示，台灣大哥大與遠傳電信為消費者心目中的 前二名行動電話系統業者。假設現有 10 位行動電話使用者， 其中 7 位使用台灣大哥大， 3 位使用遠傳電信。茲從這 10 人 中隨機抽取 3 人，定義隨機變數為抽取的 3 人中使用遠傳電 信的人數，試問恰有 2 人使用遠傳電信的機率為何？ X 之期 望值與變異數又為何？ 解： 令抽取一個使用遠傳電信的人視為成功事件，且定義隨機 變數為抽取的 3 人中使用遠傳電信的人數，則 X 的可能數值 為 0,1,2,3 ，根據 (6.8) 式，其機率值分別為

39 例 6.9 行動電話系統市場概況（續）

40 例 6.9 行動電話系統市場概況 ( 續 1)

41 因此，恰有 2 人使用遠傳電信的機率為 7/40 。 且根據 (6.9) 式和 (6.10) 式， X 之期望值與變異數分別為 例 6.9 行動電話系統市場概況（續 2 ）

42 波松分配

43 波松分配的實例 考慮下列現象：每小時服務台訪客的人數，每天 家中電話的通數，一本書中每頁的錯字數，某條 道路上每月發生車禍的次數，生產線上的疵品數， 學生到辦公室找老師的次數 …… 。 上述現象大致上都有一些共同的特徵：在某時間 區段內，平均會發生若干次「事件」，但是有時 候很少，有時又異常地多，因此事件發生的次數 是一個隨機變數，它所對應的機率函數稱為 Poisson 分配。

44 波松分配 隨機變數 X = 在一連續區間內某一事件之發生次數 X = 0, 1, 2, … 假設 :  在一連續區間（時間、距離、空間 … ）發生某一 事件的次數與另一區間發生的次數互不相關

45 波瓦松分配： 期望值 and 變異數

46 例 6.10 新光百貨公司顧客概況 新光百貨公司在晚上 7:00 至 10:00 期間，平均每半 小時有 90 位顧客，試問該公司在晚上 7:00 至 10:00 期間，每分鐘顧客人數不少於 2 人之機率為何？ 解： 令隨機變數 X 表示每分鐘內顧客的數目，因為平 均每半小時有 90 位顧客，所以平均每分鐘有 3 位顧 客。因為每位顧客到達百貨公司之事件互相獨立， 故每分鐘顧客人數之機率分配為 =3 的波松分配。 根據 (6.11) 式，其機率函數 f(X) 為

47 例 6.10 新光百貨公司顧客概況（續） 由 (6.14) 式，可得 因此，每分鐘顧客人數不少於 2 人之機率為

48 計算某一事件 發生次數之 機率 離散 n 實驗次數 抽出放回 抽出不放 回 連續 t ( 某一段時 間、距離、 區域 ) 事件發生 之背景

49 機率 分配 f(x) x 之範圍 E(X)Var(X) 二項 分配 x=0,1,…,n 超幾何 分配 x=a,a+1,…, b a=max(0, n-(N-k)) b=min(k, n) 波瓦松 分配 x=0,1,…

50 伯努力分配 超幾何分配 二項分配波瓦松分配 n=1 (t=1)