专题17：一次函数

考点 课标要求 难度 正比例、一次函数的概念 1．通过实例引入，理解正比例函数、一次函数的概念，获得从数理方面把握函数运动变化的规律和事物之间相互联系的体会； 2．通过实例分析函数以及正比例函数、一次函数等的意义，注意辨析各函数的特征． 易 待定系数法 1．掌握求函数解析式的方法； 2．在求函数解析式中熟练运用待定系数法． 注意求函数解析式的步骤：一设、二代、三列、四还原． 中等

考点 课标要求 难度 画一次函数图象 1．知道函数图象的意义； 2．会在平面直角坐标系中用描点法画函数图象； 3．理解正比例函数的图象，体会数形结合思想； 4．会画一次函数的图象． 易 一次函数图象及其性质 1．借助图象的直观，认识正比例函数的性质，能用数学语言进行表达，并掌握这些基本性质； 2．借助图象的直观、认识和掌握一次函数的性质，建立一次函数、二元一次方程、直线之间的联系； 3．掌握直线平移与一次函数解析式y＝kx＋b中的b之间的关系，从中感知辩证的观点，进一步体会数形结合的思想． 中等

考点 课标要求 难度 一次函数的应用 1．选取实例讨论一次函数的实际应用； 2．初步认识函数模型，注意正确从图形、实际问题中提取相关解题的信息． 难

题型预测 一次函数是中考试卷的热点，涉及的考点较多，各种题型都有，特别是一次函数图象及其性质、一次函数的应用是考查的重点，常出现的解答题中，题目难度中等或中等偏上．

正比例函数

  (0，b) 增大 减小

越大

值为0 自变量的取值范围

交点的坐标

一次函数的表达式

3．（2013湖南永州）已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(1，－1)，B(－1，3)两点，则k 0(填“>”或“<”)． 考点1 待定系数法（考查频率：★★★★★） 命题方向：（1）已知一个点的坐标，求正比例函数解析式；（2）已知两个点，求一次函数解析式；（3）综合其它函数知识一起考查．   D A 3．（2013湖南永州）已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(1，－1)，B(－1，3)两点，则k　　　0(填“>”或“<”)． ＜

a＜c＜b B ＞ 考点2 一次函数图象及其性质（考查频率：★★★★★） 考点2 一次函数图象及其性质（考查频率：★★★★★） 命题方向：（1）从图象获取k、b的取值范围；（2）由k、b的取值确定函数的大致形状；（3）利用一次函数增减性比较x或y的值；（4）一次函数与几何知识的综合． 4．（2013广东茂名）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为________． 5．（2013广西玉溪）一次函数y＝x－2的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2013广东珠海）已知函数y＝3x的图象经过点A(－1，y1)、点B(－2，y2)，则y1 y2(填“＞”或“＜”或“＝”). a＜c＜b B ＞

7．（2013福建福州）A、B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A(x＋a，y＋b)，B(x，y)，下列结论正确的是（ ） A．a＞0 B．a＜0 C．b＝0 D．ab＜0 8．（2013重庆）如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为 ． 9．（2013黑龙江牡丹江）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，过点A(1，2)的直线y＝kx+b与x轴交于点B，且S△AOB＝4，则k的值为 . B

y＝－2x 考点3 一次函数与二元一次方程组（考查频率：★☆☆☆☆） 命题方向：利用二元一次方程组求直线交点坐标． 考点3 一次函数与二元一次方程组（考查频率：★☆☆☆☆） 命题方向：利用二元一次方程组求直线交点坐标． 10．（2013山东青岛）一个正比例函数图象与一次函数y＝－x＋1的图象相交于点P，则这个正比例函数的表达式是____________． y＝－2x

C A －2＜x＜－1 考点4 一次函数与不等式（考查频率：★★★☆☆） 考点4 一次函数与不等式（考查频率：★★★☆☆） 命题方向：（1）根据x（或y）的范围和一次函数图象，判定y（或x）的取值范围；（2）利用图象，确定不等式组的解集． 11．（2013湖南娄底）一次函数y＝kx+b(k≠0)的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是 （ ） A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞2 12．（2013山东泰安）把直线y＝－x－3向上平移m个单位后，与直线y＝2x+4的交点在第二象限，则m的取值范围是（ ） A．1<m<7 B．3<m<4 C．m>1 D．m<4 13．（2013南通） 如图，经过点B(－2，0)的直线y＝kx+b与直线y＝4x+2相较于点A（－1，－2），则不等式4x+2＜kx+b＜0的解集为______________． C A －2＜x＜－1

考点5 一次函数与其它知识的综合（考查频率：★★★☆☆） 命题方向：一次函数与其它知识的综合问题． 14．（2013黑龙江绥化）如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于A、C两点，分别过A、C两点作x轴、y轴的垂线相交于B点，且OA、OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2－14x＋48＝0的两个实数根． （1）求C点坐标； （2）求直线MN的解析式； （3）在直线MN上存在点P，使以P、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形。请直接写出P点坐标．

7∶00 考点6 一次函数的应用（考查频率：★★★☆☆） 考点6 一次函数的应用（考查频率：★★★☆☆） 15．（2013湖北黄冈）钓鱼岛自古就是中国领土，中国政府已对钓鱼岛开展常态化巡逻．某天，为按计划准点到达指定海域，某巡逻艇凌晨1：00出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障扣除后，该艇加快速度仍匀速前进，结果恰好准时到达． 如图是该艇行驶的路程y(海里)与所用时间t(小时)的函数图象，则该巡逻艇原计划准点到达的时刻是 ． 7∶00

16．（2013湖北襄阳）某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用.该社区附近A，B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价均为3元，目前两家超市同时在做促销活动： A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售； B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球. 设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB（元）．请解答下列问题： （1）分别写出yA和yB与x之间的关系式； （2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？ （3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案.

17．（2013黑龙江绥化）2013年4月20日8时02分，四川省雅安市芦山县发生7 17．（2013黑龙江绥化）2013年4月20日8时02分，四川省雅安市芦山县发生7.0级强烈地震。某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组同时乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区。图中的折线、线段分别表示甲、乙两组所走的路程y甲 (千米)、y乙(千米)与时间x(小时)之间的函数关系对应的图象。请根据图象所提供的信息，解决下列问题： （1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 小时； （2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区。请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？ （3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过35千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定．

考点7 一次函数的新型题 （考查频率：★★☆☆☆） 命题方向：（1）探究直线上点的坐标变化规律； （2）一次函数的阅读理解题．

例1：(2013山东菏泽)一条直线y＝kx＋b其中k＋b＝－5、kb＝6，那么该直线经过（ ）． A．第二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、三、四象限 【解题思路】方法1：由k＋b＝－5得k＝－b－5，代入kb＝6得b(－b－5)＝6，解得b1＝－2，b2＝－3，所以k1＝－3，k2＝－2．当b1＝－2，k1＝－3时，该直线经过第二、三、四象限；当b1＝－3，k1＝－2时，该直线经过第二、三、四象限，综上，选D． 方法2：由k＋b＝－5知，k与b中至少有一个为负数；由kb＝6知k与b同号，所以k与b均为负数，根据一次函数的性质，该直线经过第二、三、四象限． 【必知点】1．一次函数y＝kx＋b（k≠0）中的k、b符号决定了图象的位置，当k＞0，b＞0时，图象经过第一、二、三象限；当k＞0，b＜0时，图象经过第一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，图象经过第一、二、四象限；当k＜0，b＜0时，图象经过第二、三、四象限． 2．若m＋n＞0，则其中至少有一个数为正，若m＋n＜0，则其中至少有一个为负；若mn＞0，则m与n同号，若mn＜0，则m与n异号．

（1）若点B在线段AC上，且S1＝S2，则点B的坐标为 ； 例2：（2013浙江义乌）如图，直线l1⊥x轴于点A（2，0），点B是直线l1上的动点.直线l2：y＝x＋1交l1与点C，过点B作直线l3⊥l2，垂足为D，过点O、B的直线l4交l2于点E，当直线l1，l2，l3能围成三角形时，设该三角形的面积为S1，当直线l2，l3，l4能围成三角形时，设该三角形的面积为S2. （1）若点B在线段AC上，且S1＝S2，则点B的坐标为 ；   【解题思路】（2）根据点B的运动画出所有符合题意得图形，①当点B在线段CA上时，∠BOA＝15°；②当点B在CA的延长线上时，∠BOA＝75°． 【解题思路】根据题意可知，△BDC的面积是S1，△BDE的面积是S2. （1）先画出符合题意得图形，当S1＝S2时，D是CE的中点，根据∠ACE＝45°得到OB⊥l1，进而A、B重合； （1）设直线l2与x轴交于H （－1，0），与y轴交于G（0，1） ∴ ∠AHC＝45°，∵ AC⊥x轴，∴ ∠ACH＝45°， ∵ BD⊥CD，∴ ∠CBD＝45°， ∵S1＝S2，，∴ CD＝ED，∵CD＝BD，∴ CD＝BD＝ED， ∴ ∠CBE＝90°，∴ OB⊥l1，∴ A、B重合，∴ B（2，0）； 【必知点】（1）高相等的两个三角形面积比等于底边长度的比；（2）平面直角坐标系中求一个几何图形面积的时候，首先考虑求出几何图形所有顶点的坐标．

例3：（2013湖北荆州）某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕．他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据可绘制如图所示的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图甲所示，销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图乙所示． （1）直接写出y与x之间的函数关系式； （2）分别求出第10天和第15天的销售金额； （3）若日销售量不低于24千克的时间段为 “最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳 销售期”共有多少天？在此期间销售单价最 高为多少元？ 【解题思路】（1）从图象不难看出，y与x之间属于分段函数关系，一段是正比例函数，一段是一次函数，根据图象上的点(15，30)、(20，0)，运用待定系数法即可求解；（2）需要从图甲中获取第10天和第15天的日销售量信息，从图乙中计算这两天的销售单价，两者之积即为销售金额；（3）从图甲中的两段函数分别计算“最佳销售期”的具体时间，然后再根据一次函数的增减性判断此期间的销售最高单价．

【易错点睛】已知两点求中点时，计算要准确；另外能准确地画出此条件的形状也是难点与易错点．

例2：在平面直角坐标系中，点O为原点，直线y＝kx＋b交x轴于点A(－2，0)，交y轴于点B．若△AOB的面积为8，则k的值为( ) A．1 B．2 C．－2或4 D．4或－4 【易错点睛】由于面积是正数，而b可取正也可取负，所以有两种可能的情况，本题极易漏解b＜0的情况．