101北一女中 資訊選手培訓營 遞迴、河內塔與merge sort 2012.07.01 Nan
遞迴，原來是這麼回事 讓我們從函數執行來了解遞迴的真義
你一定聽過一種說法…… 「函數，就像一個黑盒子， 你給他input，他就給你output。」 但你知道實際上程式在呼叫與執行函數時是怎麼回事嗎？
讓我們用費伯納基數列來舉例說明……
這是一個可以計算出費伯納基數的函數
他的input是一個數n，代表我們要的是第n項的費伯納基數
而這就是黑盒子裡面做的事情：遞迴呼叫和處理邊界情況
直到輸入為０或１時（邊界情況），結束遞迴 N=n-1 N-1 N-2 … n - 1 n - 2 … M=n-2 M-1 M-2 … …
放到真實的code中來看 每次呼叫實際上是新產生一段會照著這段code的步驟一一執行的CPU指令， 並給他參數n，讓他可以套進這段code所產生的CPU指令裡面。 n = 1 fib(3) fib(3) = 2 回傳值=1 n = 2 回傳值=1 + 0 = 1 n = 0 n = 3 回傳值=0 回傳值=1 + 1 = 2 n = 1 回傳值=1
搬完就世界末日的塔 經典遞迴問題: 河內塔
河內塔的故事與規則 一次只能動一個盤子 小的不能在大的下面 目標是把所有盤子移到第三根柱子 “河內之塔(Towers of Hanoi)是法國人M.Claus(Lucas)於1883年從泰國帶至法國的，河內為越戰時北越的首都，即現在的胡志明市；1883年法國數學家 Edouard Lucas曾提及這個故事，據說創世紀時Benares有一座波羅教塔，是由三支鑽石棒（Pag）所支撐，開始時神在第一根棒上放置64個由上至下依由小 至大排列的金盤（Disc），並命令僧侶將所有的金盤從第一根石棒移至第三根石棒，且搬運過程中遵守大盤子在小盤子之下的原則，若每日僅搬一個盤子，則當 盤子全數搬運完畢之時，此塔將毀損，而也就是世界末日來臨之時。” -- http://caterpillar.onlyfun.net/Gossip/AlgorithmGossip/HanoiTower.htm 一次只能動一個盤子 小的不能在大的下面 目標是把所有盤子移到第三根柱子
http://notepad.yehyeh.net/Content/DS/CH02/4.php
先從基礎的2個盤子開始看 A B C AB A B C A B C A B C AC BC
“把上面的大盤子從A移到B和從B移到C的這件事， 如果是三個以上…… A B C 就把除了最後一個盤子之外的所有盤子看成一個盤子→ AB A B C A B C A B C AC BC “把上面的大盤子從A移到B和從B移到C的這件事， 正是另一個河內塔問題。”
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講了這麼多， 到底什麼時候會用到遞迴呢？ 分而治之 “Divide and Conquer” “大的問題可以切成小的問題來做， 做完再湊出大的問題的解答”
遞迴與分而治之 (Divide and Conquer) 合併排序 Merge Sort 遞迴與分而治之 (Divide and Conquer)
排序問題 “給你一堆數字，請你把他按照大小順序排好。” 之前你可能有學過泡泡排序(bubble sort) 它的worst case複雜度是O(n2)，有更好的做法嗎？
有！我們有合併排序(merge sort)！ 合併排序的特點： 採用遞迴—分而治之 O(nlogn)，排序問題的最佳解之一 用空間換取時間
請準備一副撲克牌，拿出其中一個花色的七張牌， 讓我們來實際操作一下吧！ 請準備一副撲克牌，拿出其中一個花色的七張牌， 隨意洗牌，再把它攤在桌上排一排
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