高等数学 A (一) 总复习（2）

五、 函数有界、极限、连续与可导的关系 数列有界 数列无界 数列收敛 数列发散 无穷大量 无界变量 收敛数列（函数）的性质 (唯一性 , 有界性 , 保号性)

函数在 x0 处有定义 函数在 x0 处极限存在 函数在 x0 处连续 函数在 x0 处可导 函数在 x0 处可微

选择与填空 D (A) 有界函数 (B) 单调函数 (C) 周期函数 (D) 偶函数 奇 ∵f (x) 是奇函数，

D 奇 偶 偶 奇 ？ 下列命题不成立的是（ ）. A . 可导的奇函数的导函数是偶函数； B . 可导的偶函数的导函数是奇函数； 下列命题不成立的是（ ）. D A . 可导的奇函数的导函数是偶函数； B . 可导的偶函数的导函数是奇函数； C . 连续的奇函数的原函数是偶函数； D . 连续的偶函数的原函数是奇函数。 奇 偶 偶 奇 ？

D D 下列函数中，是无界函数 但不是无穷大量的是 ( ) . 下列命题正确的是 ( ) . (A) 无界变量就是无穷大量； 但不是无穷大量的是 ( ) . D 下列命题正确的是 ( ) . D (A) 无界变量就是无穷大量； (B) 无穷大量是无穷小量的倒数； (C) f (x) 在点 x0 不可导,必在 x0 处不连续; (D) f (x) 在 [a, b] 连续, 必在 [a, b] 有界。

设 f (x) 在 [ a, b] 连续，在 ( a, b) 可导， 下列结论不成立的是 ( ). C A、D 显然成立，

则 f (x) 在 x = 0 处 ( ) . C (A) 极限不存在 (B) 极限存在但不连续 (C) 连续但不可导 (D) 可导 = 0

若 f (x) 在 x = 0 处连续, 则 α _______;

设 f (x) 在 x0 处可导，且 B -2 -2

设 f (x) 在 x = x0 处可微, 且 — —

设 f (x) 在 x = 0 的某邻域内二阶可导， 解： = 0 ； = 0 ；

设 f (x) 在 x = 0 的某邻域内二阶可导， = e = e .

六、 导数的应用 函数的增减性与单调区间 函数的极值及其判别条件 函数的凹凸区间与拐点 及其判别 求函数的最大值与最小值 最值的应用 作函数的图形，求渐近线 曲线的切线方程与法线方程

(尖点) 来划分函数的定义区间，讨论 各区间上 来确定 f (x) 在各 区间上的单调增减性。 及 利用 第一充分条件， 求函数的单调区间： 求函数的极值： (注意取得极值的必要条件) 在上述所分区间上， 利用 第一充分条件， 第二充分条件 判断函数的极值点， 并求出极值。

求函数的凹凸区间与拐点： 对综合情况，列表讨论！ 来划分函数的定义区间，讨论各区间上 确定 f (x) 在各区间上的 凹凸性 坐标为 ( x0, y0 )。 凹弧与凸弧的分界点为拐点， 对综合情况，列表讨论！ 求函数的最大值与最小值： 求出函数驻点(或导数不存在的点)处 的函数值， 与端点处函数值比较 —— 最大者为最大值， 最小者为最小值。

驻点与极值点的关系 驻点 x0 极值点 可导函数的极值点 极值点与最值点的关系 极值点 最值点

例题讨论 一、选择题 1. 下列结论中正确的是（ ） C A . 是函数 f (x) 的极大值点。 B . 1. 下列结论中正确的是（ ） C A . 是函数 f (x) 的极大值点。 B . 若 x = x0 是函数 f (x) 的极值点 , C . 是函数的极值点。 D . 函数 f (x) 在区间 (a, b) 内的极大值 一定大于极小值。

B 满足罗尔定理条件的是 ( ). 3. 下列函数中，在 [ -1, 1 ] 上 C

B 由极限的保号性， 即在 x = a 的某领域内，

2 . 则它在点 x = ____ 处 2 大 有极 ____ 值，其值为 _______ 。 3 . 最大值 = ___________， = 0 最小值 = ___________。

曲线的切线方程与法线方程 在 x0 处的切线方程： 在 x0 处的法线方程：

处的切线方程。 解： 求切线斜率 参数方程中含有隐函数， 方程两边对 t 求导： t t t = 0 时，

函数最值问题的应用 将边长为 l 的正三角形铁皮的三只角剪掉，做成如图的三个全等四边形后，将边折起，做成一个无盖正三棱柱盒子，当剪去的 x 为何值时，盒子的容积最大？ x A B C D l 解： 设三棱柱的高为 h ,

目标函数 舍去； 为D内唯一驻点， 问题中存在最大值，

k 解： 已知一点 (x0, y0) 过此点作一直线，使它在两坐标轴上的 截距都为正，且使截距之和为最小， 求此直线方程 。 设所求直线 求截距： 与 x 轴的截距 X = 与 y 轴的截距 Y =

k 为D内唯一驻点， 且为最小值点； > 0， ∴ 所求直线方程：

98 级 考题中： 求单位球内接正圆锥体的最大体积。 ( 复习一下物体的面积、体积公式等 ) 作切线，使此切线被两坐标轴所截的线段长度为最短，并求此最短长度。 x y 解： 设 P(x0, y0), P 则 P点处切线方程： x0

x y P x0 P点处切线方程： y l x ∴线段长度

为唯一驻点， 问题中存在最小值， 最短长度

函数的性态与作图 作图步骤：1 ～ 7 考察函数的定义域与奇偶性 函数的一阶与二阶导数必须求准 把驻点等代入相应导数中判断符号 判断有无渐近线 拐点要用点的坐标表示

七、 利用定理进行证明 1 . 零点定理（证明方程根的存在性） 2 . 介值定理 3 . 最大最小值定理 1 . 零点定理（证明方程根的存在性） 2 . 介值定理 3 . 最大最小值定理 4 . 罗尔定理（证明导函数的零点存在） 5 . 拉格朗日(Lagrange)中值定理 （①导数与增量比的关系，②证明不等式） 6 . 利用函数单调性证明不等式 7 . 泰勒公式

知道： 闭区间上连续函数的性质 (条件与结论) 罗尔定理 L —定理的条件与结论： 及其它定理的条件与结论, 泰勒公式的展开式及余项的形式。

利用函数的连续性找 f (x0) 利用导数的定义 利用 L — 中值定理 利用函数极限与无穷小的关系 证明函数可微性的主要方法： 利用函数的连续性找 f (x0) 利用导数的定义 利用 L — 中值定理 利用函数极限与无穷小的关系

无穷小与函数极限的关系

证明不等式的常用方法： 作出适当的函数 利用函数的单调性 求出函数的最值（当函数不单调时） 利用 L—中值定理 （当不等式有增量形式时） 利用泰勒公式

证明恒等式的常用方法： 利用罗尔定理（要验证条件） 利用 L — 中值定理 利用 L — 中值定理的推论： 无具体函数时， 从结论出发找 辅助函数 F(x) 。

证明方程根的存在性与唯一性： 证明方程 f (x) = 0 有根 零点定理 证明方程 f ' (x) = 0 有根 罗尔定理 证明方程 根的唯一性 ① 利用函数的单调性 ② 利用罗尔定理反证

证： = A · 0 = 0

证明不等式 证： = 0 ， 得证。

证一： 由 L—定理 得证。

证二： ↘ = 0 ,

设 f (x) 在 [ 0, c] 连续，在 ( 0, c) 可导，

设 f (x) 在 [ 0,1] 连续，在 ( 0, 1) 可导， 证明： 证:(1) 且在 [ 0,1] 连续， 由介值定理， 若由此证明

设 f (x) 在 [ 0,1] 连续，在 ( 0, 1) 可导， 证明： (2)分析：

设 f (x) 在 [ 0,1] 连续，在 ( 0, 1) 可导， 证明： (2)解： 且在 [ 0,1] 连续, 在 ( 0, 1) 可导， 由罗尔定理，

结论中

证： 由结论， 且在( 0, 1)可导， 设f (x)在[ 0,1]连续, 在( 0, 1)可微， 且f (0)= 0, 又 F(x) 在 [ 0, x0 ]上满足 L — 定理，

泰勒公式 证： = 1 ， = 0 + x

证二： = 1 ， ∴ x = 0 为极小值点， = 0 .

认真复习 善于总结 动笔计算

预祝同学们考出好成绩！ 多提宝贵意见 请多多指正

祝同学们 顺利愉快地 进入第二学期！