擺的等時性與應用 擺：一種可用以展現多種力學現象的簡單實驗裝置。 不可不知的實驗系列： 擺的等時性與應用 擺：一種可用以展現多種力學現象的簡單實驗裝置。 簡擺：最基本的擺，也稱單擺，由一條繩線或竿和一個重 物作為擺錘所組成。繩的一端固定，另一端繫掛擺錘，擺 錘可做「週期性」的來回擺動。 等時性-週期：擺最基本且重要的特性 你知道哪些因素決定週期大小嗎？ 應用：(1)因等時性 可作計時器喔!  擺鐘 (2)還可用來測量各地的重力加速度喔！你知道為什麼嗎？ 價格不斐的機械錶也和此有關喔！

時間測量  計時：物體具規律性變動的特性，可作為計時工具  線香燃燒、脈搏、日晷、沙漏、月相、四季、潮汐… 線香 原子鐘

計時器的演進 http://amuseum.cdstm.cn/AMuseum/time/01gzsj/01.html 計時器的演進 http://amuseum.cdstm.cn/AMuseum/time/01gzsj/01.html 感知時間、追溯消逝的時光、時間計量、時計家族、授時、精密時間應用、相對論時間、人文時間、線上授時、FAQ 太陽鐘 :立竿見影，視影知時；圭表、日晷 火　鐘: 香、蠟、燈鐘 流體鐘: 漏刻 [泄水型(千章銅漏),受水型,多級漏壺,水運儀象台,秤漏], 沙漏，水漏、油 漏 機械鐘: 擺鐘 、扭擺 、擒縱機構、手錶、航海鐘、天文鐘 電　鐘: 電晶體鐘 、音叉鐘 石英鐘: 利用具有壓電效應較強的壓電材料，經電能量的相互轉換。常見壓電材料 有三類：單晶壓電晶體(如石英)、多晶壓電陶瓷(如鈦酸鋇)、高分子材料。石英晶體 的諧振頻率，取決於其尺寸和振動模式。用標準石英片的頻率約400Hz～125MHz。 利用石英晶體諧振器，加上電子放大器(回饋)和電源後，就可以建立起石英晶體振 盪器。 電波鐘: 傳統鐘錶計時技術中融合現代無線通訊技術、計算 機技術和微電子技術； 能夠與標準時間自動建立聯繫，自動獲得標準時間 原子鐘: 分子鐘 、銣原子鐘、銫原子鐘、氫原子鐘、噴泉鐘、星載原子鐘、離子鐘 光　鐘: 最准的原子鐘——光鐘 脈衝星鐘 ：從中子星到脈衝星、脈衝星應用(動畫) 、太空燈塔星(動畫)

計時器的演進 http://amuseum.cdstm.cn/AMuseum/time/01gzsj/01.html 計時器的演進 http://amuseum.cdstm.cn/AMuseum/time/01gzsj/01.html 感知時間、追溯消逝的時光、時間計量、時計家族、授時、精密時間應用、相對論時間、人文時間、線上授時、FAQ 太陽鐘 :立竿見影，視影知時；圭表、日晷 火　鐘: 香、蠟、燈鐘 流體鐘: 漏刻 [泄水型(千章銅漏),受水型,多級漏壺,水運儀象 台,秤漏], 沙漏，水漏、油漏 機械鐘: 擺鐘 、扭擺 、擒縱機構、手錶、航海鐘、天文鐘 電　鐘: 電晶體鐘 、音叉鐘 線香

計時器的演進 http://amuseum.cdstm.cn/AMuseum/time/01gzsj/01.html 計時器的演進 http://amuseum.cdstm.cn/AMuseum/time/01gzsj/01.html 感知時間、追溯消逝的時光、時間計量、時計家族、授時、精密時間應用、相對論時間、人文時間、線上授時、FAQ 石英鐘: 利用具壓電效應的壓電材料，經電能量的相互轉換。常見壓電材料有三類：石英單晶壓電晶體、鈦酸鋇多晶壓電陶瓷、高分子材料。石英晶體的諧振頻率，取決於其尺寸和振動模式。用標準石英片的頻率約400Hz～125MHz。利用石英晶體諧振器，加上電子放大器(回饋)和電源後，就可以建立起石英晶體振盪器。 電波鐘: 傳統鐘錶計時技術中融合現代無線通訊技術、計算 機技術和微電子技術；能夠與標準時間自動建立聯繫，自動獲得標準時間 原子鐘: 分子鐘 、銣原子鐘、銫原子鐘、氫原子鐘、噴泉鐘、星載原子鐘、離子鐘 光　鐘: 最准的原子鐘——光鐘 脈衝星鐘 ：從中子星到脈衝星、脈衝星應用(動畫) 、太空燈塔星(動畫)

擺的發現故事 擺的等時性發現：無論是對早期的“擺鐘”，還是對現代的機 械鐘都有極其重要的意義。 一段有趣的發現故事: 義大利科學家伽利略有天「注意」到固 定在天花板上同樣長度的兩個鏈條下面掛著的兩盞巨大青銅吊 燈，被微風吹動後，來回擺動的時間好像一樣長。 伽利略凝視吊燈，疑惑大小和重量都不相同的兩盞燈，只有燈 鏈的長度一樣，為什麼它們來回擺動的時間會一樣?伽利略反 復研究和實驗。最後，終於得出了一個結論，即單擺定律. 伽利略單擺定律：擺的快慢與擺錘的大小和重量無關，主要取 決繩子擺長。

擺鐘的發現 惠更斯擺鐘：第一個做出擺鐘的人，是天才荷蘭科學家惠更斯 (Christian Huygens 1629-1695，物理學、天文和數學家）。 在惠更斯製造的擺鐘裡，單擺的擺動不需要其他裝置驅動，而 主要靠重力驅動，就可以大大提高時鐘的精確度。 但因擺鐘裡的擺杆是金屬製品，金屬的熱脹冷縮將影響擺的週 期。由實驗知道，100米長的不銹鋼金屬杆，在溫度變化5.6℃ 時，其長度變化，會使一天的時間減慢2.5秒鐘。不同的金屬 還有不同的膨脹係數。 隨著這些問題的發現和逐步解決，到17世紀，擺鐘就已經相當 完善了，它在一個星期裡的計時誤差只有幾秒鐘。 擺鐘開闢了精確計時的新時代。

你認為哪些參數會影響單擺的週期？ 繩線的粗細繩徑 擺錘的質量 繩線的質量繩重 擺錘的體積 繩線的長度擺長 擺錘的密度 繩線的材質 繩線的彈性 繩線記掛在支點的鬆緊度 擺錘的質量 擺錘的體積 擺錘的密度 擺錘的形狀 擺錘的繫掛點 繩線的擺幅擺角 其他

控制變因實驗法  控制變因實驗法： 擺錘質量 單擺週期 擺長 擺角  實驗法：每次實驗時，只選定一個變因，然後操縱它。視此變因對 實驗結果的影響。（其他未選定的變因應於實驗中保持不變） 變因 擺錘質量 單擺週期 擺長 擺角 （1） ：影響實驗結果的因素，有 個。 （2） ：每次實驗中操縱的變因，只能有 個。 （3） ：每次實驗中保持不變的變因，能有 個。 （4） ：實驗結果 變因 多 操縱變因 一 控制變因 多 應變變因

單擺實驗角度一定要小於五度嗎? 參考書相互抄來抄去 不完整的敘述 http://www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/viewtopic.php?topic=15298 參考書相互抄來抄去 不完整的敘述 不該說是襬角會影響週期；而是襬角愈大時，週期和簡諧運動近似的理論值會逐漸有差異。 沒有說明精密度或誤差範圍，如何決定襬角？ 襬角10度：意指左右最大角度是5度，則單擺週期和理論值的誤差約小於 1/ (6*144) ~ 0.1% 即使襬角加倍到20度(左右各10度)；誤差也僅小於 0.5%。 因此，一般單擺都很符合簡諧運動的假設 一般進行單擺實驗時 誤差來源大多是來自測量本身的誤差 而不是襬角的關係 不知是哪一本參考書，始作俑者。之後所有的書都抄來抄去 ，甚至很多老師也都誤以為真，於課堂中 以訛傳訛 要先確定實驗的精密度，再問角度該小於多少才有意義！

目 錄 1 類型 2 應用 3 參考 1.1 小角度簡單擺： 1.2 簡單擺 1.3 衝擊擺 1.4 倒單擺 1.5 凱特可倒擺 目 錄 1 類型 1.1 小角度簡單擺： 1.1.1 公式 1.1.2 公式證明 1.2 簡單擺 1.3 衝擊擺 1.4 倒單擺 1.5 凱特可倒擺 1.6 錐擺 1.7 複擺 1.8 磁性擺 2 應用 2.1 傅科擺 2.2 鐘擺 3 參考

 時間的單位

『年月日』定義  ：當太陽的高度角連續兩次出現最大值所經過的時間  正午時，太陽運行到天空中的最高點，此時太陽的高度角 。 太陽日 最大

平均太陽日  平均太陽日：一年之中太陽日的 。  各太陽日的時間長短 。  一天（一日）：就是 。  時間單位：年月日時分秒  平均太陽日：一年之中太陽日的 。  各太陽日的時間長短 。 平均值 不同  一天（一日）：就是 。 平均太陽日  時間單位：年月日時分秒 一日= 24 小時 （h 或 hr） 一小時=60 分 （min） 一分鐘=60 秒 （s 或 sec）

小角度簡單擺的週期 擺角：也可稱擺幅，擺錘位於最高處(速度=0) 和最低處(速度最大值)時繩子的角度差。 則單擺的週期公式近似為 解釋小角度單擺和週期推演教學影片可參考：http://www.wretch.cc/video/feynmantech&func=single&vid=2922217

單擺  單擺：在細線下端吊一重物，上端固定，使其來回擺動 1. ：所懸吊的重物。 擺錘 2. ：由懸掛點到重物中心的距離。 1. ：所懸吊的重物。 2. ：由懸掛點到重物中心的距離。 3. ：擺錘擺動時，在兩端點（B或C）擺線偏離鉛垂 線的角度θ。 4. ：單擺來回擺動一次所需的時間。  一次軌跡： 。 5. ：擺錘由靜止位置至 兩端點間的最大距離。 （圖中的 BA 或 CA ） 擺錘 擺長 擺角 週期 C  A  B  A  C 振幅

 單擺的等時性

單擺的等時性  單擺的等時性： 發現（媒體：1，4’19”） 在同一定點時，單擺的週期是定值。 即單擺的週期和擺錘的質量、擺角（＜10°）、振幅無關， 只與 有關  擺愈長，則其週期 ，也就是擺得 。 伽利略 擺長 愈長 愈慢 Galileo Galilei 伽利略 西元 1564～1642

週期與擺長的關係  週期 T 與擺長 L 的關係：  範例解說： 一擺長100 公分，週期 2 秒，則當 擺長為25公分時，其週期 秒。  範例解說： 一擺長100 公分，週期 2 秒，則當 擺長為25公分時，其週期 秒。 1 週期 擺長平方根

實驗圖示 單擺的製作  擺的製作： 取一條細線，使其上端懸吊於鐵架上，下端懸掛砝碼當擺錘 ，並將量角器倒置於鐵架上端 。 （媒體，2，7’05”）

實驗結果討論 1 20 g 100 cm 5° 20.0 sec 2 8° 3 40 g 4 25 cm 10.0 sec 5 6 次數 擺錘質量 擺長 擺角 擺十次總時間 週期 1 20 g 100 cm 5° 20.0 sec 2 8° 3 40 g 4 25 cm 10.0 sec 5 6 2.00 sec 2.00 sec 2.00 sec 1.00 sec 1.00 sec 1.00 sec  討論： 從實驗 ，可知道擺角與週期的關係 從實驗 ，可知道擺長與週期的關係 從實驗 ，可知道擺錘質量與週期的關係 1、2 或 5、6 2、4 或 3、5 2、3 或 4、5

實驗結果討論 1 20 g 100 cm 5° 20.0 sec 2 8° 3 40 g 4 25 cm 10.0 sec 5 6 次數 擺錘質量 擺長L 擺角 擺十次時間 週期T T2/L or T/L1/2 1 20 g 100 cm 5° 20.0 sec 2 8° 3 40 g 4 25 cm 10.0 sec 5 6  討論： 從實驗 ，可知道擺角與週期的關係 從實驗 ，可知道擺長與週期的關係 從實驗 ，可知道擺錘質量與週期的關係 1、2 或 5、6 2、4 或 3、5 2、3 或 4、5

π π

擺動次數與時間關係圖 單擺擺動一次的時間不變  擺動次數與擺動時間成 關係 正比

週期與頻率關係  頻率 f 與週期 T：用以描述規律運動體  互為倒數關係 T × f ＝1 1. 頻率 f ：每秒振動的次數 單位： 或 或 或 。 2.週期 T：每次振動的時間（秒） 單位： 或 。  範例：甲、乙單擺的擺動次數與時間如圖 1.甲單擺的週期 秒。 2.乙單擺的週期 秒。 3.甲、乙擺長大小 。 4.甲、乙擺錘質量大小 。 0.4 0.6 甲＜乙 無法判斷

範例解說 1. （ ）右圖表示在同一地點甲、乙兩單擺的往復擺動次數與擺動時間之 關係，若以L甲及L乙分別代表甲、乙二單擺的擺長，以M甲及M乙 分別代表甲、乙兩單擺的質量，根據此圖，可推論下列何項關係 是正確的？(甲、乙兩單擺的擺角皆小於5度) (A) L甲＜L乙 (B) M甲＜M乙 (C) L甲＞L乙 (D) M甲＞M乙 A 2. （ ）以不同單擺A、B、C做單擺週期實驗，如上圖，則擺長長短？ (A) A＞B＞C　(B) A＞C＞B　(C) B＞A＞C　(D) C＞B＞A 3. （ ）單擺擺動時，擺動的幅度逐漸變小，則其擺動的週期將？ （A）變大（B）變小（C）不變（D）不一定。 D C

範例解說 4. （ ）地震後，阿雄家中的四盞吊燈不停的搖晃，試問下列哪一盞吊 燈，擺動一次所需的時間最長？( 每個燈泡的質量皆相同 )。 A 4. （ ）地震後，阿雄家中的四盞吊燈不停的搖晃，試問下列哪一盞吊 燈，擺動一次所需的時間最長？( 每個燈泡的質量皆相同 )。 A 5.用A單擺（擺長 50 cm）和B單擺（擺長 200cm）做擺動次數和時間的關 係實驗，得到如右關係圖  A單擺為哪一條直線？ 。  A單擺的週期為 秒。  另以400公分的擺長做實驗， 週期關係圖應在哪一區域？ 。 　(Ａ) Ⅰ區 (Ｂ)Ⅱ區 (Ｃ) Ⅲ區 (Ｄ) 無法判斷。 50cm 甲 ＜50cm 3 200cm C ＞200cm

單擺實驗時常見的『迷思概念』 擺角的決定：有人會堅持一定要控制在5o內，有人喜歡取整數角度，如30o，45o，理由是認為方便測量或計算。甚至少數很大膽地選60o 固定擺角的方式：千奇百怪，可以看出學生獨特的創意和想法！ 擺長的決定：擺長到底要量到哪裡？先鼓勵同學把可能的相關長度通通記錄下來，然後討論，再以實驗的數據推論到底量到哪裡才合理正確。常會有人是做完實驗，算好數據，都還沒有發現擺長量錯地方呢！ 等他們真正弄出5度之內才發現，5度還真的很小呢（尤其擺長不夠長的），不是很好控制。很多學生都知道，『週期和擺角無關』是有條件的，擺角要在5度之內。但是當我問學生，為什麼是5度？學生就啞口無言了。我再追問，那6度可不可以？10度呢？學生通常都不知道該怎麼辦。 大一的學生，有的認為要量到擺球的上方，有的認為是擺球下方，有的認為是擺球重心。我會要求學生在數據檢查單上畫出擺長是從哪裡量到哪裡。

擺繩的綁法：如果繩子綁不好，擺不是維持在一平面上晃，那如何能將擺長及週期測量精確？我不教他們怎麼綁，但是會和他們討論這樣綁有什麼缺點，請他們研究怎樣改進會更好。 週期的測量：在實驗進行前，我會講解光電計時器的計時原理和使用方式，但是量一個週期，『次數』要按幾，我留給他們自行研究。這個問題不難，卻是一個很好的討論題目，因為同組同學的意見通常不會完全相同，在此他們可以提出自己的想法，傾聽他人的觀點，並可實際操作計時器來驗證推論的正確性及縝密性。我和助教也都適時的加入他們的討論，或者提出問題來讓他們體會矛盾，進而澄清思緒。 擺錘大小與重量：由於公式裡沒有擺錘的大小與重量，所以學生大都堅信週期和擺錘大小與重量無關，並認為擺錘的大小和重量沒有測量的必要。 根據我們所使用的計時器機型，次數應該是按2。次數按1，量到的是半週期；次數按3，量到的是一個半週期。在和學生討論的過程中，我會引導他們去注意，如果光電閘不是擺在擺錘來回震盪的路徑的正中心，那次數按1時，量到的就不會剛剛好是1/2週期，當然也就不能直接把數據乘2當作一週期，但是次數按2的，卻不會影響週期的測量。 這個是一個很有深度及廣度的問題，我會鼓勵他們思考，但是牽涉到轉動慣量及複擺觀念的部分，我會在進行那個單元時提出。我們用的擺錘有二種，單數組用圓的，直徑25公釐，質量66公克，雙數組用尖的，長得像子彈，質量61公克，分配到尖擺錘的組別，到最後會很努力在那裡量或計算擺錘的重心位置，以使擺長能量得更精確。

數據檢查與實驗誤差：實驗過程的細節都注意了，最後還是會有實驗誤差。我要求學生根據數據檢查單上的內容，算好數據，讓我檢查之後才能在離開實驗室。學生常常在算數據時才發現，有些事項沒注意到或沒量到或是量錯，如果回去才算，通常學生就很難找出原因，而歸咎到誤差去了。這個實驗，絕大多數的學生的精密度都相當不錯，從這裡他們可以很真實的體會標準偏差的意義。在討論準確度時，學生通常會把誤差歸咎於空氣阻力、人為誤差（如放手時力量控制不好、手會抖、眼睛會花等）等 每個實驗我都會設計一張數據檢查單，指定要算哪些部分的數據，除此之外，也會有一些問題要他們思考或討論。要強調的是，數據檢查單上，不會有事先畫好的表格要學生填。以A部分實驗為例，我要學生選第31～60個數據，用計算機算出平均值、標準偏差等，並問『你們的精密度好嗎？何以得知？準確度好嗎？何以得知？』。 根據我多年的教學經驗，學生的誤差最多是來自計時器的次數按錯和擺長量錯、其次是擺角大所造成公式的不適用，但他們通常都不會自動想到。 如前面所述，很多組學生是在我檢查數據的時候，才被我質疑擺長量的不對。曾經還有一組學生，算出來的重力加速度是7點多，但他們的100個數據都很接近（精密度很好）。我告訴他們，實驗技術再差也不會差這麼多，一定是哪裡量錯了。他們找了好久終於找到原因：量擺長時，把尺上的『吋』當作『公分』了。 擺角較大時，sinθ≒θ不能成立， 就會不夠正確，而要用更精確一點的公式，並寫在C部分的講義上，學生在做A部分時，很少會翻到C部分看，或者是看了也不會想到要去用。

擺角較大時，sinθ≒θ不能成立， 就會不夠正確，而要用更精確一點的公式，並寫在C部分的講義上，學生在做A部分時，很少會翻到C部分看，或者是看了也不會想到要去用。