電 磁 波 Electromagnetic waves 22 章 電　磁　波 Electromagnetic waves

22.1 加速電荷產生電磁波 靜止的點電荷只產生電場 ;等速度移動的電荷則同時產生電場和磁場。做加速度運動之電荷則也產生電磁波。 電磁波 ── 乃是由離開加速電荷向外行進的振盪電場和磁場所組成。 常見的產生電磁波 的方法乃是由振盪的電偶極矩所產生;變化的電場感應出變化的磁場，同樣的變化的磁場亦會感應出變化的電場。

圖22.1　(a) 靜止電偶極所產生的電場線；(b) 振盪偶極所產生的電場和磁場線。迴線代表位於紙平面上的電場線。圓點和交叉符號代表穿過紙平面的磁場線；磁場線為封閉迴線。場線離開偶極之後以電磁波的形式向外傳播。

22.2 馬克士威方程式 安培 - 馬克士威定律 馬克士威方程式 : 高斯定律 磁場高斯定律 法拉第定律

安培 - 馬克士威定律 藉由觀察一交流電路中由電容器所產生之電場,要不產生矛盾，此電場必會產生一磁場， 因此就必須對安培定律做一些修正。 安培 - 馬克士威定律：沿著一個封閉路徑的磁場環流量會和路徑內側的電流及電通量變化率有關。 安培 - 馬克士威定律 (22-1)

圖22.2　(a) 帶有固定電流I的圓柱型長導線，電荷在導線間隙表面堆積；(b) 環繞著導線的圓形迴路，圖中並畫出了在安培定律中可使用的兩個表面，兩個表面均由圓形迴路所圍繞。綠色表面沒有通過導線，而是通過間隙。然而，間隙中的電場線切過綠色表面。

馬克士威方程式 高斯定律：通過一封閉面的電通量(或是離開這個面的淨場線數目)正比於此封閉表面內部的淨電荷 磁場高斯定律：通過一封閉面的磁通量(或是離開這個面的淨場線數目)為零。 法拉第定律：沿著一個封閉路徑的電場環流量等於通過此路徑內側的磁通量變化率的負值。 安培 - 馬克士威定律：電流和變化的電場兩者均為磁場的場源。沿著一個封閉路徑的磁場環流量會和路徑內側的電流及電通量變化率有關。

馬克士威方程式 高斯定律： (16-8) 高斯定律： (22-2) 法拉第定律： (20-6) 安培-馬克士威定律： (22-1)

電磁波方程式

And Then There Was Light

電磁波

22.3 天　線 電偶極天線由排成一線的兩根金屬棒所組成 。金屬棒從中央部分饋入振盪電流而產生一振盪的電偶極。場的振幅在沿著天線中心軸的方向為最小，而在與天線垂直的方向為最大。 其電場垂直於波的傳播方向，磁場同時垂直於電場和傳播方向。 電偶極天線亦可用作電磁波接收器或偵測器，另一種形式的天線是磁偶極天線。 要提高發射效率，天線的長度不能小於波長的一半。而所發射的波長則取決於振盪的頻率，這使得實際天線所發射的波長都相當長。

圖22.3　電偶極天線中的電流

圖22.4　(a)通過電偶極天線的電磁波 ( 畫成正弦曲線，各個點的E場以向量的箭號來表示)。天線中有振盪電流在流動；(b)當天線和電場不平行時，天線中的電流較小。只有E中平行於天線的分量可以讓電子沿著天線的長度方向加速 (為了清楚起見，只有畫出E場，但磁場亦同時存在)

22.1 電偶極天線 位於原點的電偶極天線長度為84 cm。它是當作沿著 方向傳播的電磁波接收器使用。電磁波中的電場恆為沿著 方向，且隨著時間成正弦變化。在天線處之電場為 其中電場的振幅 (最大值) 為 。(a) 欲得到最佳接收狀態，天線應朝向何處？(b) 當天線的方向正確時，天線中的電動勢為多少？

解答：(a) 我們希望電磁波中的電場對天線中的自由電子施加一個沿著天線長度方向的力。電場恆為沿著 方向，所以天線應該要指向 軸方向。 (b) 電場E將電荷q沿著天線方向移動時所做的功為 電動勢是對單位電荷所做的功： 由於電場是振盪的，電動勢會隨著時間改變。電動勢的時間函數為 因此，這是一個成正弦變化的電動勢，其頻率與電磁波相同。電動勢之振幅為

圖22.5 用作磁偶極天線之導線迴路。當電磁波向右傳播時，通過迴路的磁通量發生變化，使得迴路中產生感應電流。 圖22.5　用作磁偶極天線之導線迴路。當電磁波向右傳播時，通過迴路的磁通量發生變化，使得迴路中產生感應電流。

22.4 電磁頻譜 電磁波可以以任何波長或頻率存在。雖然說所有電磁波在真空中的速度均相同，但不同波段之電磁波有不同之名稱。這些波段間的界線很模糊，甚至是有點主觀認定的。

圖22.6　電磁頻譜的各個波段

可見光 可見光是電磁頻譜中可以被人眼看見的部分。可見光的波長介於700 nm(紅光)~400 nm (紫光) 。人眼進化到對於陽光中具有最大強度的電磁波段最為敏感。 燈泡、火焰、太陽和螢火蟲是幾種可見光光源。我們看見的大部分事物並非光源，我們會看見它們是因為它們反射了光。

圖22.7 地球大氣層上方之陽光對於波長之相對強度 ( 每單位面積之平均功率 ) 圖。 圖22.7　地球大氣層上方之陽光對於波長之相對強度 ( 每單位面積之平均功率 ) 圖。

紅外線 紅外線 的波長介於 780 nm 到大約 1 mm之間.接近室溫的物體所發出的熱輻射主要是紅外線;越高的溫度下，輻射功率增加，而其峰值波長降低。

紫外線 紫外線的波長範圍是從最短的可見波長 ( 約為380 nm) 到10 nm左右。太陽輻射中含有大量的紫外，它對人類皮膚造成的效應包括曬黑、曬傷，以及皮膚癌。部份的昆蟲可以看見較長波長之紫外線。

無線電波 波長較 30 cm 長的電磁波稱為無線電波; AM和FM無線電、VHF和UHF電視廣播，以及無線電火腿族所使用的指定頻帶即屬於電磁頻譜中的無線電波部分。

微波 微波的波長介於約 1 mm 至30 cm; 其被用來做通訊及微波爐當中。除此之外,宇宙微波背景輻射是宇宙形成時 ── 即大霹靂 ── 所留下的。宇宙微波背景輻射的研究可使得我們對宇宙初誕生期能有所了解。

圖22.10　一台微波爐。微波是在磁控管中所產生的；磁控管是一個可產生振盪電流的共振腔，此振盪電流將產生所需頻率的微波。由於金屬是微波的良好反射體，一金屬波導將微波導引至轉動的金屬攪動器，攪動器會將微波反射至許多方向，使微波分布在整個爐內 (此種反射特性就是為何不能在微波爐中使用金屬容器和鋁箔的原因；微波無法到達金屬容器和鋁箔中的食物)。爐體內壁用金屬包覆起來，以便將微波反射回爐內並減少外漏。爐門的金屬片上有很多小洞可以讓我們看到微波爐內部，由於這些洞比微波的波長還小，所以金屬片仍可反射微波。

X射線和  射線 比UV的頻率更高、波長更短的是x射線和射線 , 一般而言, 射線較x射線波長為短.但這兩種電磁波頻率有相當程度的重疊，所以時至今日它們的分界仍是有些主觀的。

圖22.11　電腦輔助斷層攝影術掃描所使用的裝置

22.5 真空和物質中的電磁波速 電磁波可以在真空中傳播；它們不需要一種傳播介質。 22.5 真空和物質中的電磁波速 電磁波可以在真空中傳播；它們不需要一種傳播介質。 所有頻率電磁波在真空中的速率均相同, 以符號c來表示。此速率乃馬克士威方程式的直接結果 。

圖22.12　菲左在1849年用來測量光速的裝置

真空中的電磁波速率 (22-3)

22.2 來自鄰近超新星的光傳播時間 超新星是一種爆炸中的星體；超新星比一般的星體亮了幾十億倍。大多數的超新星出現於遙遠的星系，無法用肉眼觀察到。最近兩個可以用肉眼觀察到的超新星出現於1604和1987年。超新星SN1987a 出現在離地球 m處。爆炸是何時發生的？

解答：光以速率c行進一段距離d所需的時間為 欲得到更清晰的概念，我們將秒轉換為年 討論：當我們看著星星時，我們看到的光實際上是星星在很久以前發射出來的。在望向遙遠的星系時，天文學家其實是瞥見了過去的宇宙。除了太陽之外，距離地球最近的恆星有4 ly ( 光年 ) 之遙，意味著光從那個恆星到達我們這裡要花上4年的時間。目前可以觀察到的最遠星系距離約為 ；當望向這些星系時，我們看見的是100億年前的過去。

光在物質中的速率 電磁波在物質中行進時，其傳播速率小於c。 折射率n之定義為真空中之光速c與介質中之光速v之比。折射率通常大於1 ，空氣之折射率相當接，因此大多數情況下，我們可以用來代表空氣中的光速。 當電磁波在物質中行進時其波長會改變，因為其波速會改變，但其頻率不變。其在物質中之波長等於真空中之波長除以折射率。

圖22.14 當弦波到達波速發生變化的邊界時，波長會改變 圖22.14　當弦波到達波速發生變化的邊界時，波長會改變

(22-4) 折射率 介質中的波長 (22-5)

22.3 由玻璃至水中的波長變化 玻璃的折射率為1.5，水的折射率為1.33。若在玻璃中波長為285 nm的光進入水中，試問在水中的波長是多少？ 對策：解題的關鍵是記住當波從一個介質傳到另一個介質時，其頻率不變。

解答：頻率、波長和速率的的關係為 求解頻率， 。由於頻率是相同的， 光在材料中的速率為 。求解 並代入 可得

色 散 電磁波在材料中的行進速率會和頻率有關。因此，對一特定物質而言，折射率並非常數，而是頻率的函數。 色　散 電磁波在材料中的行進速率會和頻率有關。因此，對一特定物質而言，折射率並非常數，而是頻率的函數。 波速隨頻率改變的現象稱為色散。色散使得白光通過玻璃稜鏡之後分散為彩色的光 。

22.6 電磁波在真空中的特性 真空中的電磁波行進速率為c，與頻率無關。波速亦與振幅無關。 22.6 電磁波在真空中的特性 真空中的電磁波行進速率為c，與頻率無關。波速亦與振幅無關。 電場和磁場以相同頻率振盪。因此，電磁波中的電場和磁場頻率f 和波長 相同。 電場與磁場之相位一致。也就是說，在任一瞬間，電場和磁場會在一組相同的位置上具有最大值。同樣地，在任一瞬間，電場和磁場也會在一組相同的位置上強度為零。 電磁波為橫波；也就是說電場和磁場均垂直於波的傳播方向 在任一位置， 恆在波的傳播方向上。 在任一位置上，電能密度等於磁能密度。電磁波所攜帶的能量中恰好有一半是儲存在電場中，另一半則儲存在磁場中。

電磁波在真空中的特性 電場和磁場振幅成正比，其比值為 ： (22-6) 電場和磁場振幅成正比，其比值為 ： (22-6) 因為電場與磁場同相，且其振幅成正比，所以在任一位置上兩種場的瞬間值成正比 (22-7)

22.4 行進電磁波 在真空中，電磁波電場之 和 分量為 (a) 波的傳播方向為何？(b) 找出 的值；(c) 寫出電磁波中磁場各分量的表示式。

解答：(a) 由於電場與x值有關，但與y或z值無關，故波的移動方向平行於軸。想像我們坐在波峰上 ── 即位於 則 其中為某個整數。在一個短暫的時間之後，t稍微變大，故x必須稍微變小，以便使 仍等於 。因為隨著時間過去，波峰的x座標值變小，故波沿著-x方向移動。 (b) 和x相乘的常數 與波長有關。因為波在距離 之後會重覆，而餘弦函數每隔 弳度會重覆，故 必須比 大上弳度 ：

或 所以，波數為 。波的速率為 。由於任一週期波在時間內T的行進距離為 ， (c) 因為波沿著-x方向移動而電場為 方向，故磁場為 方向，這樣三個方向才會互相垂直。由於磁場和電場同相位，並且具有相同的波長和頻率，所以它的形式為

振幅成正比： 最後一步要決定哪個符號才是正確的。當 x=t=0時，電場為-y方向。 必須為-x方向 ( 傳播方向 )。所以 在採用右手定則試驗兩種可能性之後( 圖22.16) ，我們發現 在x= t=0時為+z方向。故磁場可寫成

圖22.16

22.7 電磁波之能量傳遞 電磁波和所有的波一樣，均攜帶能量。地球上的生命得以存在是因為來自太陽的電磁輻射可以被綠色植物所利用，這些綠色植物藉由光合作用將部分光能轉變為化學能。

圖22.17 (a) 內華達山脈中的太陽電池板農場；(b) 太陽能熱水系統

能量密度 光的能量儲存在波的振盪電場和磁場中。對於真空中的電磁波而言，這兩個能量密度恰好相等。因此我們就可以寫下電磁波的總能量密度。

能量密度 電磁波總能量密度: (22-8) (22-9) 平均能量密度可以用場量的rms值來表示： (22-10) (22-11)

強　度 對於一電磁波垂直落在一個表面上，其強度等於電磁波之功率除了此面積。我們已經知道了電磁波的能量密度及其速度，因此我們又可將強度表成能量密度與波速的乘積。倘若波並沒有垂直表面，則只有垂直表面之分量對強度才有貢獻。 圖22.18　

圖22.19　一個面積為、垂直於入射波的表面和另一個面積為A、但法線與入射波成角的表面擁有相同的入射光能量。

強　度 (22-12) (22-13) (22-14)

22.5 燈泡的電磁場 在距離一個100.0 W的燈泡4.00 m處，強度以及電場和磁場的rms值是多少？假定所有消耗的電功率均轉換為電磁輻射，且輻射是各向同性的 ( 在所有方向均相等 )。 對策：由於輻射是各向同性的，強度只取決於和燈泡之間的距離。想像在距離4.00 m處有一個包圍燈泡的球。輻射能量通過球面的功率必定是100.0 W。我們可以算出強度 ( 每單位面積的平均功率 )，並據以算出場的rms值。

解答：燈泡發出的所有能量均會通過半徑為4.00 m的球面。因此，在該距離處的強度等於輻射功率除以球的表面積： 欲算出 ，我們先求強度對平均能量密度的關係，然後再求出能量密度對場的關係：

同理，對於 ，

22.8 偏　振 線性偏振 隨機偏振 偏振器 液晶顯示器 散射和反射造成的偏振 陰天時蜜蜂如何導航

線性偏振 若是一電磁波之電場總是在一個方向(好比說是 x方向，而其行進之方向為 z-方向) ，這樣的波稱之為線性偏振或平面偏振。 電偶極天線產生線性偏振。

圖22.20　三種不同偏振的橫向繩波

圖22.21 任一線性偏振波均可視為由兩個互相垂直的偏振波疊加而成，這是因為位移、電場和磁場均為向量。 圖22.21　任一線性偏振波均可視為由兩個互相垂直的偏振波疊加而成，這是因為位移、電場和磁場均為向量。

隨機偏振 倘若電場方向只是隨機的朝向垂直於其行進方向的平面,這樣的波稱為隨機偏振 或未偏振。熱輻射不管是來自燈泡、火爐 或太陽通常是未偏振。

偏振器 所謂偏振器是指無論入射波是哪種偏振狀態，都只會讓沿著一個固定方向的線性偏振波穿透的裝置。若是入射光為線偏振光，且此線偏振與偏振器呈一固定夾角時，只有平行於偏振器偏振方向之波之分量方能通過。若隨機偏振光入射於偏振器上，則無論透射軸的方向為何，透射強度均為入射強度的一半。

圖22.22　(a)垂直狹縫可讓垂直偏振波通過，但是(b)不讓水平偏振波通過。(c) 和 (d) 若入射波之偏振與垂直方向成角，則振幅為Acos之垂直偏振波將會透射。

圖22.23 一個微波偏振器。若金屬細片為垂直指向，則可讓水平偏振的微波束通過。 圖22.23　一個微波偏振器。若金屬細片為垂直指向，則可讓水平偏振的微波束通過。

偏振器 (22-15) 倘若入射波為線性偏振，入射偏振與透射軸之間的夾角 為，則 (22-16a) 透射振幅為 (22-16b)

22.6 入射在兩個偏振器上的未偏振光 強度 的隨機偏振光入射在兩個薄片偏振器上 ( 圖22.25)。第一個偏振器的透射軸是垂直的；第二個偏振器的透射軸則與垂直方向成30°。試問光在通過這兩個偏振器之後，強度和偏振狀態為何？ 圖22.25

解答：當隨機偏振光通過偏振器之後，透射強度為入射強度的一半 [ 式 (22-15)]，這是因為波的兩個垂直 ( 但無關的 ) 分量擁有的能量相等。 此時光為線性偏振，其偏振方向平行於偏振器的透射軸 ( 垂直的 )。 平行於第二個偏振器透射軸的電場分量可以通過。因此，振幅的降低因子為 ，同時，因為強度正比於振幅的平方，故強度的降低因子為 ( 馬路斯定律 )。穿透第二個偏振器的強度為 此時光的線性偏振與垂直方向成

液晶顯示器 液晶顯示器(LCD) 有兩個偏振器,當液晶未施加電壓時，它會將光的偏振旋轉，使得光可以通過第二個偏振器 。當施加一個電壓時，液晶會讓光通過，但不會改變光的偏振；第二個偏振器則會將光阻擋，使之無法穿透 。

圖22.26　(a) 當液晶未加電壓時，它會將光的偏振旋轉，使之通過第二個薄片偏振器；(b) 當液晶加上電壓時，沒有光線能夠穿透第二個薄片偏振器。

散射和反射造成的偏振 雖然直接的太陽光是未偏極的,但經散射和反射會造成偏振。常見的太陽眼鏡中有一個薄片偏振器，它比較會吸收從水平表面 反射的偏振光，並且可以降低空氣中散射的炫光。

圖22.29　空氣中的分子將陽光散射

22.7 大氣散射所造成的偏振光 如果在日落前一刻直接望向天空，在哪一個方向上光是偏振的？ 對策：日落前一刻，陽光朝向東方傳播(近似地)。一些光被空氣中的分子以大約 的角度散射，然後向下朝觀察者傳播。我們把來自太陽的未偏振光看作是兩種垂直偏振的混合。在分別考慮每一種偏振之後，我們可以推斷出分子將光向下散射之效率。

解答和討論：圖22.30顯示出來自太陽的光向東傳播，並且是垂直偏振和南北向偏振的混合。由於此刻關心的是向下散射的光，所以我們選擇這兩個方向，而不是同一平面上的其它兩個垂直方向。現在，我們可以分別處理這兩種偏振。 南北向電場使得分子中的電荷沿著南北軸振盪。振盪電偶極發出的輻射在垂直電偶極中心軸的方向上最強，因此分子將光向下散射，其偏振為南北向。 垂直電場使得分子中的電荷沿著垂直軸振盪。振盪電偶極發出的輻射在與電偶極中心軸近乎平行的方向上很微弱。因此，向下散射的光為沿著南北向偏振。由於並非所有的光都是正好90散射，故來自頭頂上方的光為沿著南北軸方向部分偏振。

圖22.30 向東傳播的太陽光是垂直方向偏振和南北方向偏振的混合。這兩種偏振以雙箭號表示。向下散射的光則沿著南北方向做部分偏振。 圖22.30　向東傳播的太陽光是垂直方向偏振和南北方向偏振的混合。這兩種偏振以雙箭號表示。向下散射的光則沿著南北方向做部分偏振。

陰天時蜜蜂如何導航 人類的眼睛對光的偏振不敏感，但蜜蜂的眼睛則很敏感。當陰天看不到太陽時，蜜蜂可以由散射光的偏振來推斷太陽的位置。

圖22.31　(a) 蜜蜂複眼的電子顯微鏡照片。突起部分為小眼的外表面；(b) 複眼的橫截面圖，顯示出每一個小眼面對不同的方向；(c) 在蜜蜂的眼睛中，小眼的八個細胞每個都對不同方向的入射光偏振起反應。

22.9 電磁波的都卜勒效應 當電磁波之波源及偵測器有相對運動時，電磁波之波長就會偏移，就如同聲波一樣。 22.9 電磁波的都卜勒效應 當電磁波之波源及偵測器有相對運動時，電磁波之波長就會偏移，就如同聲波一樣。 針對聲波所推導出來的都卜勒公式對於電磁波而言並不正確，必須用到愛因斯坦的相對論。 氣象學家所使用的雷達可以提供暴風系統位置的資訊。目前他們採用都卜勒雷達，這還可以提供暴風系統速度的資訊。 根據哈伯定律，都卜勒頻移可以用來決定恆星或星系與地球之間的距離。

電磁波的都卜勒效應 光的都卜勒頻移公式： (22-17) (22-18)

22.8 被雷達抓到的超速駕駛 一輛警車以38.0 m/s (85.0 mi/h) 行進，欲追上前方的超速駕駛。速限為29.1 m/s (65.0 mi/h)。警車雷達利用發出頻率為的微波並觀測反射波的頻率來“紀錄”其它車輛的速率。當反射波和出射波組合之後，產生時變率為的拍。試問超速駕駛的行進速率有多快？( 提示：先計算超速駕駛觀察到的頻率。金屬車身中的電子會以相同的頻率振盪並發出反射波。對於反射波而言，超速駕駛為波源，而警車為觀察者。)

解答：拍頻為 (12-11) 超速駕駛觀察到的頻率為 於是，超速駕駛車輛發出頻率為 的微波。警車所觀察到的頻率為 我們需要求解 。利用二項式近似可以避開求解二次方程式的問題：

求解 ， 由於兩車互相接近，超速駕駛的行進速率小於38.0 m/s。相對於道路而言，超速駕駛的行進速率為 也許這一次警察只會警告一下而已。