考研辅导 概率论与数理统计

一、随机事件与概率 考试内容 随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验

（一）随机实验和随机事件 1.试验：为了研究随机现象, 就要对客观事物进行 观察.观察的过程称为试验. 特点: 在相同的条件下试验可以重复进行; 每次试验的结果具有多种可能性, 而且在试验之前可以明确试验的所有可能结果; 在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一种结果.

2.样本空间 给定一个试验, 所有可能的结果的全体构成 一个集合, 这个集合称作样本空间, 用大写的希 腊字母表示, 这个样本空间中的每一个元素也称 作此样本空间的一个样本点, 可以用小写的希腊 字母表示.

试验和样本空间的例子 1)掷一次硬币为一个试验, 则有两个可能的试验结果, 正面和反面, 则 ={正面, 反面} 2) 掷一次骰子为一个试验, 则有六个可能的试验结果, 1点, 2点, 3点, 4点, 5点和6点, 因此样本空间为 ={1点, 2点, 3点, 4点, 5点, 6点}

3)掷两次硬币作为一次试验, 将两次试验结果排序, 则共有四种可能的结果: (反, 反), (反, 正), (正, 反), (正, 正) 因此样本空间 ={(反, 反), (反, 正), (正, 反), (正, 正)}

4)掷两次骰子作为一次试验, 将两次试验结果排序, 则共有36种可能的结果:  ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} ={(x,y)|x,y =1,2,3,4,5,6}

3.随机事件 事件就是样本空间的子集, 或者说事件就是试验结 果的集合, 通常用大写英文字母A, B, C, …等表示. 例如, 掷两次硬币这个试验, 事件A=“至少一次正面朝上”包括三个样本点(正,反),(反正),(正正). 也可以表示为 A={(正,反),(反,正),(正正)} 掷两次骰子的试验, 事件B=“两次点数相同”, 则B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}

几个特殊的事件 基本事件: 只包括一个样本点, 或者说一个 试验结果的事件称为基本事件. 必然事件: 包括整个样本空间的所有元素 的事件, 或者就用表示, 则每次试验必然发 生, 因此称为必然事件. 不可能事件: 不包括任何元素的空集, 即 每次试验一定不会发生, 称为不可能事件, 用表示, 则={ }.

4.事件间的关系及其运算 (1)事件的包含：BA或AB (2)事件的相等：A=B

(3)事件的并(和)：A+B 或 AB 即A、B中至少有一个发生. 易知 A +  =  A +  = A (4)事件的交(积)：AB或AB 即A、B同时发生. 易知A   = A A   = 

(5)对立事件 (6)事件的差 AB

(7)互不相容事件 AB= 对立事件一定互不相容, 但互不相容,事件未必对立.

(8)完备事件组 若事件A1,A2,…,An为两两互不相容事件, 并且A1+A2+…+An=,称构成一个完备事件组或构成一个划分. 最常用的完备事件组是 某事件A与它的对立事件

事件的运算律 交换律： 结合律： 分配律： 德.摩根律：

（二）事件的概率及其性质 1.概率的统计定义：频率的稳定值 在不变的条件下, 重复进行n次试验, 事件A发生 的频率稳定地某一常数p附近摆动, 且一般说来, n越大, 摆动幅度越小, 则称常数p为事件A的概率, 记作P(A). P(A)满足下列条件： (3) 可列可加性

2.事件的性质： (2)如果BA, 则P(B－A)=P(B)－P(A) 广义加法法则 (3)P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB) 若A与B互斥，则P(A＋B)=P(A)+P(B) 推广为有限可加性 P(A)=1－P(A)

3.概率公式 (1)条件概率公式 (P(A)>0) 乘法法则 P(AB)=P(A)P(B|A) (若P(A)>0) P(AB)=P(B)P(A|B) (若P(B)>0) 推广: P(A1A2…An)=P(A)P(A2|A1)P(A3|A1A2)… …P(An|A1A2…An-1)

事件的独立性 若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A和B是独立的. 即一个事件的发生，不影响另一个事件的发生 A、B相互独立,则 P(B|A)=P(B)或P(A|B)=P(A) 若 相互独立，则

(2) 全概率公式 全概率定理 如果事件A1,A2,…构成一个完备事件组, 并且都具有正概率, 则对任意一事件B有  A1 A2 A3 A4 B 全概率定理的图形理解 事件B的面积为B与各个 事件Ai相交的面积之和.

试 试 验 验 2 B 1 … 全概率定理解题的思路 从试验的角度考虑问题, 一定是将试验分为两 步做, 将第一步试验的各个结果分为完备事件组 A1, A2,…, An, 然后在这每一事件下计算或给出某个 事件B发生的条件概率, 最后用全概率公式. A1 试 验 2 试 验 1 A2 B … An

（3）逆概公式（贝叶斯公式） 贝叶斯定理 若A1,A2,…,构成一个完备事件组, 并且它们都具有正概率,则对于任何一个概率不为 零的事件B, 有 贝叶斯公式是信息论中的一个重要公式

试 试 验 验 1 2 B … 贝叶斯定理解题的思路 贝叶斯定理解题的题型与全概率定理的题型完 全一样, 不过所求的是一个条件概率, 即在二次 试验后, 观察者只能看到最后的结果事件B,却要 根据结果来推断第一步试验的哪个事件发生了的 条件概率. A1 试 验 1 试 验 2 A2 观察者 B … An

（三）几种常见的概型 1.等可能概型（古典概型） 样本空间 只包含有限个样本点（基本事件） 且每个样本点出现的可能性相同. A中基本事件数 样本空间 只包含有限个样本点（基本事件） 且每个样本点出现的可能性相同. P(A)= A中基本事件数 中基本事件总数 2.几何概型(概率的几何意义) 样本空间 为几何空间中的一个有界区域(可为 多维),且每个样本点出现的可能性相同. P(A)= A的度量(长度,面积或体积） 的度量(长度,面积或体积）

3. 伯努利概型 （1）定义 只考虑两个对立的结果A(成功)和 (失 败)的试验称为伯努利概型或伯努利试验.将其独立 重复n次就称为一个n重伯努利试验（概型）,简称 伯努利概型. （2）伯努利概型（二项概率）的计算公式 设P(A)=p,则n次试验中A发生k次的概率为 例 若每次击中概率为p=0.8,则5次射击中有3次 击中的概率为

考点与例题分析 考点一 事件的表示和运算 事件是样本空间的子集,要正确理解样本空间 和事件间的关系. 考点一 事件的表示和运算 事件是样本空间的子集,要正确理解样本空间 和事件间的关系. 注意事件间的运算与集合运算相对应,切忌与 数的运算相混淆.

例1 从一批产品中每次取出一个产品进行检验(每次取出的产品不放回), 事件Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3) 三次都取到了合格品; 三次中至少有一次取到合格品; 三次中恰有两次取到合格品; 三次中最多有一次取到合格品.

解 三次全取到合格品: A1A2A3 三次中至少有一次取到合格品: A1+A2+A3 三次中恰有两次取到合格品: 三次中至多有一次取到合格品:

例2 一名射手连续向某个目标射击三次，事件Ai 表示该射手第i次射击时击中目标(i=1,2,3). 试用文字叙述下列事件:

解

例3 如果x表示一个沿 解 由图可见 数轴做随机运动的质 点的位置,试说明下列 各事件的关系. ACD, BE 解 由图可见 ACD, BE D与B, D与E互不相容 C与E为对立事件, B与C, B与A, E与A相容, 显然A与C, A与D, C与D, B与E也是相容的. A={x|x20}； B={x|x>3}； C={x|x<9}; D={x|x<-5}； E={x|x9}.

考点二：概率的性质、事件间的关系和运算 例4 (1992年研究生入学考试题) 求事件A,B,C全不发生的概率.

例5 (1990年研究生入学考试题) 解 由已知得: （熟记）

例6 (1998年MBA试题) C (A)0.4; (B)0.6; (C)0.7; (D)0.8; (E)0.9 解 根据德.摩根定理

考点三：古典概型与几何概型 例7(1993年考研题,3分) 一批产品有10个正品和 2个次品, 任意抽取两次, 每次抽一个, 抽出后不 放回, 则第二次抽出的是次品的概率为_ 2/12._ 解 例8 (1997年考研题,3分) 袋中有50个乒乓球, 其中 20个是黄球, 30个是白球. 今有两人依次随机地从 袋中各取一球, 取后不放回, 则第2个人取得黄球的 概率是____. 解 因共有50个乒乓球, 20个黄球, 因此答案是2/5.

例9 在线段AD上任取两点B、C ，在B、C处折断 的概率 分析 所求概率与三条线段的长度有关，但由于 总长度是确定的，从而等可能自由取值的线段只 有两条，于是问题归结为平面上的几何概型. 解 设AD长为l，折断后的第一条线段长x,第二段 长为y,则第三段长为l-x-y,于是样本空间为 因三角形两边之和大于第三边，故

由图， 的面积 D的面积 故 D

考点四：条件概率与积事件概率的计算以及 事件的独立性 例10 (00403) 设A,B,C三个事件两两独立, 则A,B,C 相互独立的充分必要条件是 (A) A与BC独立; (B) AB与AC独立 (C) AB与AC独立; (D) AB与AC独立 注意多个事件: 相互独立 两两独立 解 应选(A), 因为P(ABC)=P(A)P(BC)=P(A)P(B)P(C) 其余三个条件推不出上式.

例11(99103) 设两两相互独立的三事件A、B和C 满足条件：ABC=, P(A)=P(B)=P(C)< 且已知P(ABC)= 则P(A)=_______. 1/4 解 P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB) －P(AC)－P(BC)+P(ABC) =3P(A)-3P2(A)=9/16. 解得P(A)=3/4或P(A)=1/4, 但P(A)<1/2, 故应填1/4.　

例12 (1998MBA试题) 5人以摸彩方式决定谁得1张电影票. 今设Ai表示第i人摸到(i=1,2,3,4,5), 则下列结果中有一个不正确, 它是( )

解 摸彩即是做5张彩票, 其中1张写“有”, 其余4张写“无”，则P(A3|A1A2)是指在前两个人没有抽到条件下第3个人抽到的事件, 则第3个人抽时只有三张彩票, 则抽中的条件概率当然是1/3.因此选项(A)正确. 此外, 每个人抽中的无条件概率显然是1/5, 因此选 项(D)正确. 选项(B)和(E)可由乘法法则求得为 因此选项(C)不正确, 答案为(C)

例13已知0<P(B)<1, P[(A1+A2) B]=P(A1 B)+ P(A2 B), 则下列选项成立的是( ) B 解 (0<P(B)<1)

考点五：全概公式和贝叶斯公式 例14(1999年MBA试题)甲盒内有红球4只, 黑球2只, 白球2只; 乙盒内有红球5只, 黑球3只; 丙盒内有黑球2只, 白球2只, 从这3只盒的任意一只中取出1只球, 它是红球的概率是( ) (A) 0.5626 (B) 0.5 (C) 0.45 (D) 0.375 (E) 0.225 解 假设A1，A2，A3为取到甲,乙,丙盒的事件, 这是第一步试验的各事件, 构成完备事件组. 假设B为最后取出的是红球的事件.

则 由全概公式 ，得

例15 假定某工厂甲乙丙3个车间生产同一种螺钉, 产量依次占全厂的45%,35%,20%. 如果各车间的 次品率依次为4%, 2%, 5% 例15 假定某工厂甲乙丙3个车间生产同一种螺钉, 产量依次占全厂的45%,35%,20%. 如果各车间的 次品率依次为4%, 2%, 5%. 现在从待出厂产品中检查出1个次品, 试判断它是由甲车间生产的概率. 解 设事件B表示"产品为次品", A1,A2,A3分别表示"产品为甲,乙,丙车间生产的", 显然, A1,A2,A3构成一完备事件组. 依题意, 有 P(A1)=45% P(A2)=35% P(A3)=20% P(B|A1)=4% P(B|A2)=2% P(B|A3)=5%

则由贝叶斯公式得

考点六：伯努利试验 例16 某人向同一目标独立重复射击，每次击中目 标的概率为p(0<p<1),则此人4次射击命中二次，且 是连中的概率为( ) A

例17 假设一工厂生产的每台仪器以概率0.7可以 直接出厂，以概率0.3需进一步测试，经调试后 以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不 可以出厂，现该厂新生产了n台仪器（假设生产 过程相互独立），求恰好有k台能出厂的概率. 分析 n台仪器可看作做了n次独立重复试验，而 每次试验的结果为：仪器能出厂（“成功”）与不 能出厂（“失败”），关键在求“成功”发生的概率， 然后代二项概率计算公式.

解 设A={需调试}，B={能出厂}，则 于是

考研题与练习题 1. (01403) 对于任意二事件A和B, 与AB=B不等价的是( ) 答案: 应选(D)

2. (考研000303) 在电炉上安装了4个温控器,其 显示温度的误差是随机的. 在使用过程中,只要有 两个温控器显示的温度不低于临界温度t0, 电炉就 断电. 以E表示事件“电炉断电”, 而T(1)T(2)T(3) T(4)为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度 值, 则事件E等于( ). (A){T(1)t0} (B) {T(2)t0} (C) {T(3)t0} (D) {T(4)t0} 答案: 应选(C), 这是因为当T(3)t0时就至少有T(3), T(4)两个温控器显示的温度不低于临界温度值t0了.

3. (1998MBA试题) 甲乙两选手进行乒乓球单打比赛,甲发球成功后, 乙回球失误的概率为0.3, 若乙回球成功, 甲回球失误的概率为0.4, 若甲回球成功, 乙再回球时失误的概率为0.5, 试计算这几个回合中, 乙输掉一分的概率. 解 设Ai为甲在第i回合发(回)球成功的事件, Bi为乙在第i回合回球成功的事件(i=1,2), A为两个回合中乙输掉一分的事件, 则

4.（0701,04）某人向同一目标独立重复射击， 每次击中目标的概率为p(0<p<1),则此人第4次射击 恰好第2次命中目标的概率为( ) C 答：前三次击中一次，故有3p(1-p)2,第四次击中， 故选C.

5. (061)设A,B为随机事件,且P(B)>0,P(A︱B)=1, 则必有 解 选（C）. 考查：条件概率，概率的加法公式.

6.(0713)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两个数 之差的绝对值小于1/2的概率为_________. 考查：几何型概率 解 用X,Y表示随机抽取的两个数,则0<X<1,0<Y<1, X,Y取值的所有可能结果对应的集合为以1为边长 的正方形 其面积为1.“两个数之差的绝对值”对 应图中阴影部分A的面积,即 故所求概率为

7. (03304) 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}, A2={掷第二次出现正面}，A3={正、反面各出现一次}，A4＝{正面出现两次}，则事件(C ). (A) A1,A2,A3相互独立; (B) A2,A3,A4相互独立; (C) A1,A2,A3两两独立; (D) A2,A3,A4两两独立 解：应选(C)，只要是概率不为0事件，如果其积 运算是不可能事件，就一定不相互独立。上述任 意三个事件的积事件都是不可能事件，因此(A), (B)不成立。而A3A4=, 相互也不独立，因此(D) 不成立，因此只能选(C).