2.2.1 条件概率 临沂第二十四中学高二数学备课组 2013-5-6

复习引入： 3.若 为不可能事件,则说事件A与B互斥. 事件概率加法公式： 若事件A与B互斥，则. 注: 和事件,记为 (或 ); 2.事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件,记为 (或 ); 3.若 为不可能事件,则说事件A与B互斥.

三张奖券中只有一张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两位小？ 探究： 三张奖券中只有一张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两位小？ 解：记“最后一名同学中奖”为事件B Ω 为所有结果组成的全体

一般地，我们用W来表示所有基本事件的集合，叫做基本事件空间（或样本空间） 一般地，n(B)表示 事件B包含的基本 事件的个数 一般地，我们用W来表示所有基本事件的集合，叫做基本事件空间（或样本空间）

思考1： 如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？ “第一名同学没有抽到中奖奖券”为事件A “最后一名同学抽到中奖奖券”为事件B 第一名同学没有抽到中奖奖券的条件下，最后一名同学抽到中奖奖券的概率记为P(B|A）

P(B |A)相当于把Ａ看作新的样本空间求AB发生的概率 二、内涵理解: 样本空间不一样 为什么上述例中P(B|A) ≠ P(B)？ P(B)以试验下为条件,样本空间是 P(B|A)以A发生为条件,样本空间缩小为A P(B |A)相当于把Ａ看作新的样本空间求AB发生的概率 A B

条件概率的定义： 一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，则 在原样本空间的概率 称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。 一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率。 注意： （1）条件概率的取值在0和1之间，即0≤P(B|A) ≤1 （2）如果B和C是互斥事件，则 P(B∪C |A)= P(B|A)+ P(C|A)

(通常适用古典概率模型) (适用于一般的概率模型)

条件概率 Conditional Probability 1、定义 一般地,设Ａ，Ｂ为两个事件, 且Ｐ（A）＞０， 称 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． 一般把 P（B︱A）读作 A 发生的条件下 B 的概率。

2.条件概率计算公式: P(B |A)相当于把Ａ看作新的 基本事件空间求Ａ∩Ｂ发生的 概率

反思 求解条件概率的一般步骤： （1）用字母表示有关事件 （2）求P(AB），P(A)或n(AB),n(A) ( 3 )利用条件概率公式求

基本概念 3.概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系

例1：在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率； 解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题 为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB. （1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为

例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率； 解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题 为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.

（3）在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率。 例1：在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率； （3）在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率。

法一：由（1）（2）可得，在第一次抽到理科题 的条件下，第二次抽到理科题的概率为 法二：因为n(AB)=6，n(A)=12，所以 法三：第一次抽到理科题，则还剩下两道理科、两道文科题，故第二次抽到理科题的概率为1/2

例2 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0—9中任选一个。某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求： （1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率。

解 练习：设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率； (2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率． 解 设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则 （1）因为100 件产品中有 70 件一等品， （2）方法1： 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 70 95 5 方法2：

反思 求解条件概率的一般步骤： （1）用字母表示有关事件 （2）求P(AB），P(A)或n(AB),n(A) ( 3 )利用条件概率公式求

设A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝ B={出现的点数是奇数} ＝｛１，３，５｝ 例题2 在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益 而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一 颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条件下再 出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中 方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？ 解1： 设A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝ B={出现的点数是奇数} ＝｛１，３，５｝ 5 2 1 3 4,6 只需求事件 A 发生的条件下， 事件 B 的概率即Ｐ（B｜A） 广东省阳江市第一中学周如钢 解法一（减缩样本空间法）

某家第一个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率 例 2 考虑恰有两个小孩的家庭. （1）若已知 （2）若已知 （假定生男生女为等可能） 某一家有一个女孩，求这家另一个是男孩的概率； 某家第一个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率 例 3 设P(A|B)=P(B|A)= ,P(A)= ,求P(B).

设A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝ B={出现的点数是奇数} ＝｛１，３，５｝ 例题2 在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益 而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一 颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条件下再 出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中 方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？ 解2： 设A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝ B={出现的点数是奇数} ＝｛１，３，５｝ 只需求事件 A 发生的条件下， 事件 B 的概率即Ｐ（B｜A） 5 2 1 3 4,6 广东省阳江市第一中学周如钢 由条件概率定义得： 解法二（条件概率定义法）

探究： 思考1？ 一般地，在已知另一事件A发生的前提下，事件B发生的可能性大小不一定再是P(B).即 条件的附加意味着对样本空间进行压缩. 三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回的抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小。 思考1？ 如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？ 已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？ 一般地，在已知另一事件A发生的前提下，事件B发生的可能性大小不一定再是P(B).即 条件的附加意味着对样本空间进行压缩.

引例: 掷红、蓝两颗骰子,设事件A=“蓝色骰子的点数为3或6” 事件B=“两颗骰子点数之和大于8” 求(1)P(A)，P(B)，P(AB)

思 考 对于上面的事件A和事件B，P(B|A)与它们的概率有什么关系呢？ P(B |A)相当于把Ａ看作新的 基本事件空间求Ａ∩Ｂ发生的 概率

基本概念 1.条件概率 对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的条件概率”，叫做条件概率。 记作P(B |A). 2.条件概率计算公式:

基本概念 3.概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系

例1在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 的依次抽取2道题 （1）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科 题的概率.

例1在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 的依次抽取2道题 （1）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科 题的概率.

1、5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回的取两次，求： 练习、 1、5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回的取两次，求： （1）第一次取到新球的概率； （2）第二次取到新球的概率； （3）在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率。 3/5 3/5 1/2 2、盒中有25个球，其中白球若干个，黄球5个，黑球10个，从盒中任意取出一个球，已知它不是黑球，试求它是黄球的概率。

条件概率计算中注意的问题 1、条件概率的判断： （1）当题目中出现“在……前提（条件）下”等字眼，一般为条件概率。 （2）当已知事件的发生影响所求事件的概率，一般也认为是条件概率。 2、相应事件的判断： 首先用相应的字母A、B表示出相应的事件，然后分析清楚在哪个事件发生的条件下求哪个事件的概率。

例 2 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0—9中任选一个。某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求： （1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率。

例 3 甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问： （1）乙地为雨天时，甲地为雨天的概率为多少？ （2）甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为多少？ 解：设A=“甲地为雨天”， B=“乙地为雨天”，则 P（A）=0.20，P（B）=0.18，P（AB）=0.12

练一练 1.某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。 解 设A表示“活到20岁”(即≥20)，B表示“活到25岁” (即≥25) 则 0.56 所求概率为 0.7 5

2.抛掷一颗骰子,观察出现的点数 B={出现的点数是奇数}＝｛１，３，５｝ A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝ 若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是奇数的概率 解：即事件 A 已发生，求事件 B 的概率　也就是求：Ｐ（B｜A） 5 2 1 3 　　A B 都发生，但样本空间缩小到只包含A的样本点

3. 设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率． 解 设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则 （1）因为100 件产品中有 70 件一等品， （2）方法1： 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 70 95 5 方法2：

解 4、一批产品中有 4% 的次品，而合格品中一等品占 45% .从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率． 　4、一批产品中有 4% 的次品，而合格品中一等品占 45% .从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率． 解 设Ａ表示取到的产品是一等品，Ｂ表示取出的产品是合格品， 则 于是

　5、一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放回地每次任取１只，连取２次，求 (1) 第一次取得白球的概率； (2) 第一、第二次都取得白球的概率； (3) 第一次取得黑球而第二次取得白球的概率． 解 设Ａ表示第一次取得白球, Ｂ表示第二次取得白球, 则 （1） （2） （3）

6、全年级100名学生中，有男生（以事件A表示）80人，女生20人； 来自北京的（以事件B表示）有20人，其中男生12人，女生8人；免修英语的（以事件C表示）40人中，有32名男生，8名女生。求

7、甲，乙，丙3人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有4个是难题签，按甲先，乙次，丙最后的次序抽签。试求1）甲抽到难题签，2）甲和乙都抽到难题签，3）甲没抽到难题签而乙抽到难题签，4）甲，乙，丙都抽到难题签的概率。 解 设A，B，C分别表示“甲、乙、丙抽到难签” 则

课堂小结 1. 条件概率的定义. 2. 条件概率的计算. 公式:

乘法法则