數學領域命題實務

談些什麼 命題架構 命題常出現的錯誤 選擇題命題原則 命題程序和步驟 試題觀摩和討論

命題架構

臺北市數學學力檢測命題架構 數 學 內 容 數 學 能 力 程序知識 概念了解 應用解題 整 數 分 數 小 數 量 與 實 測 關 係 數 學 內 容 整 數 分 數 小 數 量 與 實 測 關 係 幾 何 統 計 與 機 率 代 數 程序知識 數 學 能 力 概念了解 應用解題

學生數學的能力(數學認知) Bloom的認知目標分類 美國教育進展評量(NAEP) 數學能力分類

Bloom的認知目標分類 知識:包括記憶名詞.事實.規則和原理原則。 理解:只能把握所學過的知識或概念。 三角形內角和是( ) 度。 三角形內角和是( ) 度。 小於90度的角叫做( )角。 理解:只能把握所學過的知識或概念。 一盒巧克力有4顆，畫圖表示5/2盒。 將甲角的兩個邊延長形成乙角，哪一個角比較大? 甲 乙

Bloom的認知目標分類 應用:將所學到的規則.方法.步驟.原理.原則.概念，應用到新的情境。 分析:將所學的概念或原則，分析為各個構成的部份，或找出各部份間的相互關係。 有一個角柱共有七個面，這個角柱共有幾個邊？(能從面的個數推算是幾角柱，再算出有幾個邊) 例題:有一個三角形，小明把其中的一個角撕去後，結果如下圖。請問小明撕去的角是幾度？把你的做法寫下來。(可以使用量角器來幫助你作答)

Bloom的認知目標分類 綜合:將所學到的片段知識.概念.原理原則與事實等統合成新的整體。 評鑑:依據某項標準作價值判斷的能力。 學生知道三角形內角和為180度，四邊形內角和為360度…學生能自行歸納出多邊形的內角和為 (邊數-2) ×180度 評鑑:依據某項標準作價值判斷的能力。 給學生幾種做法或說明，讓學生從中判斷何者是最佳做法。　

美國教育進展評量(NAEP) 數學能力分類 程序性知識 概念性了解 應用解題

學生數學的能力 1.程序性知識 程序性知識包含數學上各種的計算算則，此算則是作為一種工具，創造有效率的需求。 在臺北市數學檢測中，將閱讀與製作圖表，幾何作圖，及執行一些非計算技能，如四捨五入法、排序也都被認為是程序性知識。 學生要能選擇及應用適當的正確程序，驗證與判斷程序的正確性，來展示他們的程序性知識。

程序性知識試題編擬示例 ~六年級數學檢測 畫出下列各三角形底邊上的高 底 底 底

學生數學的能力 2.概念性瞭解 概念性了解為有意義執行程序上所不可缺少且與解題有密切的連結。 學生展示概念性了解有許多不同的方式，包含產生一般的範例及反例，使用模式、圖形與符號，辨認與使用原理，知道與應用事實及定義，建立不同表徵模式的連結，比較、對照、及統整概念，解釋與應用符號去表示概念。

概念性瞭解試題編擬示例 題 目：「8個人平分3個喜餅，每個人可以分到幾個喜餅？」請畫圖表示怎麼分，並寫出作法及答案。

「8個人平分3個喜餅，每個人可以分到幾個喜餅？」請畫圖表示怎麼分，並寫出作法及答案。 學生解題(正確) 「8個人平分3個喜餅，每個人可以分到幾個喜餅？」請畫圖表示怎麼分，並寫出作法及答案。

「8個人平分3個喜餅，每個人可以分到幾個喜餅？」請畫圖表示怎麼分，並寫出作法及答案。 學生解題(正確) 「8個人平分3個喜餅，每個人可以分到幾個喜餅？」請畫圖表示怎麼分，並寫出作法及答案。

「8個人平分3個喜餅，每個人可以分到幾個喜餅？」請畫圖表示怎麼分，並寫出作法及答案。 學生解題(錯誤) 「8個人平分3個喜餅，每個人可以分到幾個喜餅？」請畫圖表示怎麼分，並寫出作法及答案。

學生數學的能力 3.應用解題 應用解題包含在新情境中使用已累積的數學知識的能力。 學生展示解題技能有辨認及形成數學問題，決定是否充分與一致性的資料，使用策略、數據、模式、及相關的數學，使用推理(空間、歸納、演繹、統計、比例)及判斷答案的合理性與正確性。

應用解題試題編擬示例 依下表，哪一台車行駛速率較快？ (1)甲車 (1)保時捷 (2)乙車 (2)BMW (3)丙車 (3)賓士 (4)丁車 840 5 甲車 乙車 丙車 (1)保時捷 (2)BMW　 (3)賓士 (4)不一定 (1)甲車 (2)乙車　 (3)丙車 (4)丁車

命題常出現的錯誤

命題常出現的錯誤 一.比例問題 各單元配分不均。 Q:製作雙向細目表是在命題前還是命題後? 題目普遍偏難或偏易。 試題雙向細目表分析 同一教學目標，命題要兼顧不同層次(程序.概念.應用解題)

命題常出現的錯誤 二.與教學目標的關係 超出範圍，以致難度太高 命題無法精準呼應教學目標，無法反映學生的學習 命題時，要參考課本內容，不要以測驗卷上學生錯誤最多的題目來命題。 思考什麼樣的題型才能測學生的能力

舉例說明~ 命題無法精準呼應教學目標 教學目標:會使用量角器 例1:使用量角器測量角度時量角器的中心點要先對齊角的（ 起點  頂點 終點  始點） 例2:量量看，角ㄅ是幾度? 針對教學目標，評量方式操作題為佳。 例1和例2哪一個較能精準呼應教學目標?

命題常出現的錯誤 三.敘述問題 與生活經驗脫節情境 超出學生認知理解的情境 數字不合理例子 題意不清 選項不具誘答力 題目有爭議性

舉例說明~ 與生活經驗脫節且超出學生認知理解的情境

舉例說明~ 題意不清 一張長方形的色紙，剪去一個角之後，還剩下多少個角？ (1)3個　　　(2)4個 (3)5個　　　(4)以上皆非

舉例說明~ 選項不具誘答力 (1)●○○ (2)○●○ (3)○○● (4)○○○ 選項(4)不具誘答力

舉例說明~ 題目有爭議性 ( )小蓉跑得比小瑄快，所以在跑步時， 小蓉會跑比較遠。 並未說明時間一樣

命題常出現的錯誤 四.其他 命題和光碟試卷雷同。 連鎖題的子題關係太密切，以致扣分太多 題目太多或計算太繁複，作答時間不足。 1.修改佈題情境和數字 2.圖檔修改(運用電子書中的圖片資料庫) 1.子題關係不要太密切 2.降低配分 命題老師親自做做看，調整題數和配分。

選擇題的命題原則

認識題幹和選項 題幹：指試題中陳述問題的部分。 選項：指所有試題所列的備選答案。 （1）3 （誘答選項） （2）3 （誘答選項） 例子:蝸牛每分鐘爬行3 公尺，4分鐘爬行多少公尺？ 選項：指所有試題所列的備選答案。 （1）3　 （誘答選項） （2）3 （誘答選項） （3）12 （誘答選項） （4）15 （正確答案）

選擇題的命題原則 (1)題意完整明確、提供足夠解題資訊且切合評量目標 (2)試題的文字敘述應簡潔、明白，避免出現跟答案無關的內容。 (3)取材需為課程中重要觀念且情境自然合理，符合學生的生活經驗。 (4)圖示一般以參考為主，但不宜與事實差距太大。(必要時查閱網路資訊) (5)題幹避免用否定敘述，如須以否定句陳述問題，則需強調否定用字(下方加線)。 (6) 儘可能將共同的用字移到題幹上。

選擇題命題原則(續) (7)選項要具有誘答力，宜依某種邏輯次序排列。(一個有誘答力的選項，會吸引概念不正確或不具備該能力的學生選擇。) (8)答案明確唯一，不會引起爭議。 (9)正確答案隨機變化位置，且其出現在各選項的機率應大致相等。 (10)不要將四個是非題拼湊成一個選擇題，以致缺少一個明確的中心問題。(例如:下列哪一個正確?) (11)不要過度使用「以上皆是」或「以上皆非」的選項

選擇題命題原則(續) (12)選項不要放在題幹中間，以免題幹分裂為二。 例如:有一條緞帶長2.45公尺，作美勞用去1.9公尺，還剩下(0.55 2.26  55 226)公分。

命題程序和步驟

命題的程序 確定施測單元 分析單元目標 設計雙向細目表 編擬試題 編輯測驗 審題及修正測驗 完成測驗

命題的步驟 1.確定考哪些單元和節數，依據單元節數來配分。 2.確定各單元單元目標，命題必須涵蓋每一項單元目標。

每一個單元目標都必須命題 一 整數四則 6 21 二 三角形 5 17 三 四 小數 20 五 時間 單元名稱 單元目標 單元 節數 合計 分數 合計 一 整數四則 6 1.解決生活情境中的兩步驟整數四則問題。 21 2.以括號區分兩步驟問題的計算順序。 3.將生活中的兩步驟整數四則問題記成併式，並能用逐次減項的方法記錄解題過程。 4.經驗加法的結合律。 二 三角形 5 1.認識三角形的構成要素。 17 2.認識正三角形和等腰三角形及其性質。 3.認識直角三角形和等腰直角三角形及其性質。 4.認識全等圖形。 5.認識全等三角形(對應點、對應邊、對應角) 。 三 1.認識真分數、假分數、帶分數的意義。 2.了解假分數、帶分數和整數的互換。 3.解決分數加減的問題。 4.解決分數乘以整數的問題。 四 小數 1.認識二、三位小數，並以二、三位小數描述具體的量 20 2.二、三位小數的化聚與位值。 3.二、三位小數的大小比較；小數的生活應用。 五 時間 1.認識時刻與時間。 2.解決時刻與時間量的加減問題。 3.解決複名數的時間和時刻的加減問題。 每一個單元目標都必須命題

命題的步驟 3.根據單元目標，決定適當的題型(選擇.填充.計算.做做看.應用…) 兼顧難易度(程序.概念.應用解題) 參考習作上學生錯誤類型(平日就要蒐集錯誤類型)

命題的步驟 4.最好一個題目只測一個核心概念，才能清楚診斷學生學習問題。 例題:數的十進位結構 在「5195876」這個數中，千位的5是百萬位5的幾倍？ 10000  1000  0.0001  0.001 在「5195876」這個數中，框起來的5是畫底線5的幾倍？ 10000  1000  0.0001  0.001 (97、98年度檢測)

命題的步驟 5.參考課本和分年細目，確定命題是否超過學生學習範圍。 例如:測驗卷~下列算式中答案一樣的，在 中打ˇ 例如:測驗卷~下列算式中答案一樣的，在 中打ˇ 216 ÷ 3 ÷ 12 和 216 ÷ (3 × 12) 990 ÷ 5 × 2 和 990 ÷( 5 × 2) *分年細目:4-a-01能在具體情境中，理解乘法結合律、先乘再除與先除再乘的結果相同，也理解連除兩數相當於除以此兩數之積。

命題的步驟 6.檢查命題難易度是否適中。 Q:整份試卷難度高(非超出範圍)的配分約為多少? 7.若有連鎖題 子題關係不要太密切 若子題關係太密切，要降低配分 8.命題老師親自做一次整份試卷(預估時間) 題目是否太多? 計算是否太繁複? 約為10~20分 到底是考概念還是計算呢?

命題的步驟 9.確定整份試卷總分為100分。 10.整理雙向細目表 7 6 8 21 4 17 5 20 10 40 28 32 100 認知能力 單元名稱 程序知識 概念理解 應用解題 合計(分) 整數四則(6 節) 7 6 8 21 三角形(5節) 4 17 分數(6 節) 5 小數(6 節) 20 時間(6 節) 10 40 28 32 100

命題的步驟 11.給學年老師審題 最好在考前3週之前給學年老師審題(審題 修改需要 1~2週) 最好在考前3週之前給學年老師審題(審題 修改需要 1~2週) 修改版~命題老師將修正處用另一種顏色呈現，加快複審速度。 給審題老師的建議: 1.給建議前，先讚美。 2.清楚敘述修改的方向，不要只是圈起來。 3.試卷優劣是全學年老師一同負責，審題不要因客氣而 不給任何建議。

試題觀摩和討論

這些試題有待討論? 該如何修正?

例題1 如果一格一分，一共幾分呢?

例題2 答案是14.6 還是14…3 標題不清楚(是否需要除盡呢?)

分年細目 5-s-02 能透過操作，理解三角形任意兩邊和大於第三邊 例題3 下面哪一組竹籤可以組成一個三角形？  7公分、8公分、16公分  6公分、7公分、10公分 5公分、5公分、10公分  5公分、9公分、14公分 (96、98年度考題) 分年細目 5-s-02 能透過操作，理解三角形任意兩邊和大於第三邊 題目具爭議性，加註頂點對頂點 建議:數字不要由小到大排列，學生只需檢查一次，應該讓學生檢查三次，符合能力指標銜接國中

這些試題值得推薦

為什麼這是一個好的題目? 例題1 開放解題，可以看出學生解題歷程 題 目：有一個三角形，小明把其中的一個角撕去後，結果如下圖。請問小明撕去的角是幾度？把你的做法寫下來。(可以使用量角器來幫助你作答) 評量目的： 本試題主要在評量學生能否正確使用量角器並了解三角形內角和為180度。 開放解題，可以看出學生解題歷程

學生解題(正確)

學生解題(正確)

為什麼這是一個好的題目? 例題2 有創意(非例行性問題) 題 目：如何移動 和圖一組合成一個線對稱圖形？ 題 目：如何移動 和圖一組合成一個線對稱圖形？ A 圖一 A 例如：移動 後，組合成一個線對稱圖形如下圖，虛線為此線對稱圖形的對稱軸。 A 對稱軸 A 像上述例子，請你再畫出2個線對稱圖形，並分別標示出對稱軸。 有創意(非例行性問題)

學生解題(正確)

學生解題(錯誤)

為什麼這是一個好的題目? 例題3 本試題主要是希望透過讓學生自己「擬題」的方式，來了解學生是否確實理解加、乘兩步驟的解題方法。 題 目：請你設計一個數學題目，這個題目可以用「15＋20×4」算出答案。把你設計的題目寫下來。 評量目的： 本試題主要是希望透過讓學生自己「擬題」的方式，來了解學生是否確實理解加、乘兩步驟的解題方法。 逆向命題，測出四則運算規則的理解與應用(高層次)

學生解題(正確) 15＋20×4

學生解題(正確) 15＋20×4

學生解題(錯誤) 15＋20×4

為什麼這是一個好的題目? 例題4 下面哪一個圖形的面積最小？ 甲：長12公分，寬8公分的長方形。 乙：底12公分，高8公分的三角形。 丙：底12公分，高8公分的平行四邊形。 丁：邊長12公分的正方形。  甲  乙  丙  丁 (97、98年度考題) 需要算出每一個平面圖形的面積嗎? 若數字改為四題都不相同，這樣好嗎? 年度 標準 答案 選1的 百分比 選2的 選3的 選4的 其他＊的 百分比 98 2 3.29 74.72 5.17 16.61 0.21 97 3.55 72.22 4.06 20.05 0.13 培養判斷力

例題5  0.382×8－0.182×8＝（ ）  2745×13 ＝ 35685 27.45×13 ＝（ ） 2.745×13 ＝（ ） 27.45×130 ＝（ ） 2.745×130 ＝（ ） 重點在考學生是否察覺關係數字安排巧思

例題6 歐德颱風今天午夜12時，中心位置在鵝鸞鼻 東南方25公里處，在圖上把颱風中心位置標 示出來。 結合生活

例題7 如圖，飛機上共有11排座位(A.B.C…K)，乘客按照號碼順序入座，請問： (1)150號坐在哪一排？ (2)若座位只剩下143~160號，但想選靠窗的位 置，有哪些位子是可以選的？ 結合生活

TIMSS試題改編(四年級) 例題8 下面每個小方格面積為1平方公分。請依現有的粗線條 繼續畫完此圖形，使圍起來的面積為14平方公分。 開放解題

下圖表示一個菜園，這菜園的50%種豌豆，25%種豆莢，15%種玉米，10%種紅蘿蔔。請分割這菜園並表示哪塊區域種什麼？ TIMSS試題 例題9 下圖表示一個菜園，這菜園的50%種豌豆，25%種豆莢，15%種玉米，10%種紅蘿蔔。請分割這菜園並表示哪塊區域種什麼？ 1.開放解題 2.測學生估算能力 http://books.heinemann.com/math/nature.cfm

學生解題1: 學生解題2: http://books.heinemann.com/math/nature.cfm

例題10 On the number line above, what number would be located at point P ? Answer:  _________________________ 要學生注意兩刻度間的關係

例題11 Jim made the graph above. Which of these could be the title for the graph? A) Number of students who walked to school on Monday through Friday B) Number of dogs in five states C) Number of bottles collected by three students D) Number of students in ten clubs 逆向命題，推估標題的合理性

例題12 Jan entered four numbers less than 10 on his calculator. He forgot what his second and fourth numbers were. This is what he remembered doing.  List a different pair that could have been the second and fourth numbers. ________  ,  ________ ________  ,  ________ 有創意，非例行性問題

有些試題 可以給學生動動腦 但不適合做為定期考查試題

在訓練孩子什麼能力 某一國的國王想考驗宰相的智慧，他拿了三個硬幣給宰相，其中有一個偽幣比較輕，要宰相利用天平把偽幣找出來。如果你是宰相，最少要秤幾次就一定能把偽幣找出來。 答:1次 如果上題改成六個硬幣，其中有一個偽幣比較輕，最少要秤幾次就一定能把偽幣找出來。 答:2次 推理.解決問題能力

補充:1.繪本融入教學 2.資訊融入教學

善用網路資源 課程.教材教法網頁: 國民中小學數學教師專業成長網(教學影片) http://math.naer.edu.tw/ Math seed數學領域課程與教學輔導網(數學繪本.教學設計.數學步道.教學疑難) http://mathseed.ntue.edu.tw/ 國民教育社群網(課程綱要) http://140.117.12.91/index.php

善用網路資源 教學媒材 萬用揭示板 http://163.21.193.5/ 高雄市博愛國小數學園地 http://www.paps.kh.edu.tw/aspx/math_menu/math_source.aspx

善用網路資源 數學遊戲 National Library of Virtual Manipulatives 美國猶他州立大學研發。 知名的虛擬教具網站 http://nlvm.usu.edu/en/nav/vlibrary.html 尤怪之家 http://oddest.nc.hcc.edu.tw/ 昌爸工作坊 http://www.mathland.idv.tw/

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