第九章 均數檢定

概說 在進行各種統計假設檢定時，我們通常將要否定（棄卻）之事實當作虛無假設（null hypothesis，以H0代表）。既然希望它是不對，以將其否定，那就表示會有一個希望它是對的對立假設（alternative hypothesis，以H1或Ha代表）。 當檢定結果，得否定該虛無假設時，就等於接受對立假設。注意，虛無假設與對立假設間必須是週延且互斥，其間絕無重疊的模糊地帶；也無任何無法涵蓋的真空地帶。

假設檢定之類型與單/雙尾檢定 假設檢定之類型與應使用單尾或雙尾檢定有： 等於與不等於之雙尾檢定 H0：μ1＝μ2 H1：μ1≠μ2 無論檢定統計量之觀察值落在左側或右側之危險域（或稱棄卻域、拒絕域），均表示μ1≠μ2。更詳細一點，若落在左側之危險域，表示μ1＜μ2；若落在右側之危險域，表示μ1＞μ2。

等於與大於之右側單尾檢定 H0：μ1≦μ2 H1：μ1＞μ2 或 H0：μ1＝μ2 當檢定統計量之觀察值落右側之危險域，均表示μ1＞μ2。

等於與小於之左側單尾檢定 H0：μ1≧μ2 H1：μ1＜μ2 或 H0：μ1＝μ2 當檢定統計量之觀察值落左側之危險域，均表示μ1＜μ2。

檢定的步驟 設定虛無假設H0 設定對立假設H1 決定顯著水準（α） 選擇適當的檢定統計量（z、t、F、…），以及決定危險域（棄卻域之臨界點） 計算所選之檢定統計量的觀察值 結論：當檢定統計量的觀察值落入危險域，棄卻虛無假設H0；反之，無法棄卻虛無假設H0（接受虛無假設）

單一母體平均數檢定 單一母體，若母體標準差σ已知，其各項檢定所使用之檢定統計量為 若處理對象為大樣本（n>30），且母體標準差σ未知，則可使用樣本標準差S來替代： 於未使用電腦的情況，我們是查附錄二之『標準常態分配表』，若Z值大於查表所得之臨界值（critical value），則棄卻虛無假設。

若樣本為抽自常態母體之小樣本（n≦30），且母體μ與σ均未知。其各項檢定所使用之檢定統計量為：（T分配之自由度為n-1） 於未使用電腦的情況，我們是根據其自由度查附錄三之『t分配的臨界值』，若t值大於查表所得之臨界值（critical value），則棄卻虛無假設。

由於，t分配是取決於樣本大小(n)；當樣本數超過30(n>30)，t-分配就頗接近常態分佈。 且於同一個顯著水準下，t值大於等於z值，故其檢定結果會較為嚴格一點。 所以，SPSS就只提供一個可以大小通吃的T檢定，無論是大樣本或小樣本的平均數檢定，均以T檢定來處理。

雙尾檢定 如，自全班隨機抽取幾位學生之成績： 75 85 78 70 80 80 54 78 85 88 85 85 80 85 56 82 75 85 78 70 80 80 54 78 85 88 85 85 80 85 56 82 25 85 78 75 78 82 47 83 60 80 78 70 82 78 60 75 80 88 78 83 90 90 49 82 於α=0.05之顯著水準，是否可接受全班成績為70分之假設？其處理步驟為：

設定虛無假設H0 H0：μ＝70 設定對立假設H1 H1：μ≠70，為雙尾檢定 決定顯著水準（α） α=0.05 選擇適當的檢定統計量，以及決定危險域 由於是大樣本，以Z檢定統計量，採雙尾檢定，應查α=0.025之表。 查附錄二之『標準常態分配表』，累積機率為0.475時，其棄卻域之臨界點為1.96。所以，若Z檢定統計量＜-1.96或＞1.96，就應該棄卻虛無假設。

計算所選之檢定統計量的觀察值 將以計算機所求算之樣本均數與樣本標準差 =75.55、S=13.54及已知之μ=70，代入Z檢定統計量之公式 結論 檢定統計量Z=2.592＞1.96之臨界值，已落入危險域，故應棄卻虛無假設H0：μ＝70。也就是應接受其對立假設H1：μ≠70。所以，無法接受全班成績為70分之假設。

但若使用SPSS，先將資料輸入到『SPSS範例\Ch09\單一母體平均數檢定.sav』： 續以下示步驟執行檢定： 執行「分析(A)/比較均數法(M)/單一樣本T檢定(S)…」

選『成績』，按 鈕，將其送到右側之『檢定變數(T)』方塊 於『檢定值(V)』處，輸入70（已知μ=70）

按〔確定〕鈕，可查知均數與標準差分別為75.55與13.54，檢定結果之t值2.592恰等於我們先前所算之Z值。

判斷檢定結果時很簡單，於雙尾檢定只須看此『顯著性（雙尾）』是否小於所指定之α值；於單尾檢定則看此『顯著性（雙尾）』除以2是否小於所指定之α值。 如本例係雙尾檢定，『顯著性（雙尾）』為0.013<α=0.05，即表示在α=0.05時，此檢定結果要棄卻虛無假設，接受對立假設。故應棄卻H0：μ＝70。也就是應接受H1：μ≠70。所以，無法接受全班成績為70分之假設。

單尾檢定 假定，五年前大學生每週平均運動時間為75分鐘，『SPSS範例\Ch09\運動時間.sav』內本年度之資料，是否可顯示本年度運動時間已經明顯增加（α=0.05）？

以前節之操作步驟，執行「分析(A)/比較均數法(M)/單一樣本T檢定(S)…」，檢定『運動時間』是否超過75：

獲致

解： H0：μ≦75 H1：μ＞75，為右尾單尾檢定 α=0.095，右尾單尾檢定，只須看此『顯著性（雙尾）』除以2是否小於所指定之α值 『顯著性（雙尾）』0.095除以2為0.0475＜α=0.05 結論：棄卻虛無假設，接受本年度每週運動時間均數超過75分鐘之對立假設。

馬上練習 假定，某報宣稱大學生一週平均飲料花費已≧100元。以問卷調查蒐集範例『飲料花費』之資料，是否可否定該結論（α=0.05）？

H0：μ≧100 H1：μ＜100，左尾單尾檢定 α=0.05，左尾單尾檢定，以『顯著性（雙尾）』除以2是否小於所指定之α值進行判斷 結論：『顯著性（雙尾）』0.004除以2為0.002<α=0.05，應棄卻虛無假設，可以否定該結論。接受大學生一週平均飲料花費不超過100元之對立假設，平均數為83.23元。

馬上練習 本校去年學生平均通學距離為11.8公里，今年因商學院搬往另一校區，以『SPSS範例\Ch09\通學距離.sav』內容，是否可證明今年學生平均通學距離大於去年？（α=0.05）

H0：μ≦11.8 H1：μ＞11.8 α＝0.05 採右尾單尾檢定，以『顯著性（雙尾）』除以2是否小於所指定之α值進行判斷 『顯著性（雙尾）』0.002除以2為0.001<α=0.05，應棄卻虛無假設H0：μ≦11.8；也就是接受其對立假設H1：μ＞11.8。所以，今年學生平均通學距離大過去年。樣本平均數為21.045公里。

獨立樣本T檢定 獨立樣本T檢定，適用於對兩樣本平均數的檢定，旨在比較變異數相同的兩個母群之間平均數的差異，或比較來自同一母群之兩個樣本之均數的差異。其檢定方式，隨變異數是否相同，又可分為兩種： 兩獨立小樣本均數檢定（變異數相同） 兩獨立小樣本均數檢定（變異數不同）

獨立小樣本均數檢定（變異數相同） 若兩母群體之變異數相同（σ12=σ22），是採用匯總變異數t檢定(pooled-variance t test)。其相關公式為：式中，Sp2 即是匯總變異數

兩獨立小樣本均數檢定（變異數不同） 若兩母群體之變異數不同（σ12≠σ22），則將用個別變異數的t統計量(Cochran ＆ Cox法)。其相關公式為： 請注意，其自由度已不再是兩母群體之變異數相等時簡單的d.f. = N1+N2-2，依此處公式計算之自由度可能會含小數。

不過，這些都不重要！因為SPSS會自動幫我們檢定兩母群體之變異數是否不同？我們只要會讀報表結果就好了！ 以『SPSS範例\Ch09\男女之飲料花費.sav』為例：（性別1=男、2=女）

試檢定男/女平均一週飲料花費是否存有顯著差異？（α=0.05） 本例之虛無假設與對立假設分別為： H0:μ1－μ2＝0 H1: μ1－μ2≠0 或簡化成 H0:μ1＝μ2 H1: μ1≠μ2 此為一雙尾檢定，以『顯著性（雙尾）』是否小於所指定之α值進行判斷。

其處理步驟為： 執行「分析(A)/比較均數法(M)/獨立樣本T檢定(T)…」

選『飲料花費』，按 鈕，將其送到右側之『檢定變數(T)』方塊 選『性別』，按 鈕，將其送到右側之『分組變數(G)』方塊。其後括號內會顯示兩個問號，等待定義組別

按 鈕，獨立樣本T檢定，只能處理兩組均數之檢定，我們的性別也恰為兩組，故於『組別1』與『組別2』處，分別輸入1、2

按〔繼續〕鈕，回上一層對話方塊。『性別』後括號內會顯示1與2

按〔確定〕鈕，可得知男/女樣本數分別為73與127；其一週平均飲料花費分別為93.29與77.44。

判讀底下之T檢定結果，首先應先看左半部之F檢定的結果，它是用來檢定兩母群體之變異數是否不同？其虛無假設與對立假設分別為： H0: σ12＝σ22 H1: σ12≠σ22 若F檢定之顯著性＜0.05，應棄卻虛無假設，接受兩母群體之變異數不等，故應讀『不假設變異數相等』列之T檢定結果；反之，若F檢定之顯著性＞0.05，應接受兩母群體變異數相等之虛無假設，故應讀『假設變異數相等』列之T檢定結果。

本例F檢定之顯著性為0. 752＞0. 05，應接受兩母群體變異數相等之虛無假設，故應讀『假設變異數相等』列之T檢定結果。即t=1

馬上練習 以『SPSS範例\Ch09\男女運動時間.sav』內容（單位：分，性別1=男、2=女），檢定男生平均運動時間是否大過女生？（α=0.05）

馬上練習 『SPSS範例\Ch09\地區所得』資料內容：（地區1=甲、2=乙），是否表示乙地區之所得明顯高過甲地區：（α=0.05）

量表檢定-兩組 通常，我們問卷上的評價量表，絕不會是少數的幾個評價項目而已。對於如： 請就下列有關洗面乳之產品屬性勾選其重要程度。 非常重要 重要 普通 不重要 非常不重要 1)抗痘 □ □ □ □ □ 2)去油 □ □ □ □ □ 3)美白 □ □ □ □ □ 4)保濕 □ □ □ □ □ 5)去角質 □ □ □ □ □ 6)緊緻毛孔 □ □ □ □ □ 7)卸妝 □ □ □ □ □

之評價量表（非常重要=5、非常不重要=1），我們也經常得以性別進行分組檢定。看對某屬性之注重程度，是否會因性別而有顯著差異？其資料存於『SPSS範例\Ch09\洗面乳屬性.sav』：

由於性別僅兩組，故也是以「分析(A)/比較平均數法(M)/獨立樣本T檢定(T)…」來進行檢定。其處理步驟為： 於左側，以拖曵滑鼠一次選取『抗痘～卸妝』等變數

按 鈕，將其送到右側之『檢定變數(T)』方塊 選『性別』，按 鈕，將其送到右側之『分組變數(G)』方塊。其後括號內會顯示兩個問號，等待定義組別

按 鈕，於『組別1』與『組別2』處，分別輸入1、2

按〔繼續〕鈕，回上一層對話方塊。『性別』後括號內會顯示1與2

按〔確定〕鈕，獲致

於整體分析時，我們尚需要全體受訪者對各屬性之評價均數。故續以下示步驟求得： 執行「分析(A)/描述性統計(E)/描述性統計量(D)…」 於左側，以滑鼠拖曵一次選取『抗痘』～『卸妝』等變數，按 鈕，將其送到右側之『變數(V)』方塊

按 鈕，設定僅要求得平均數

按〔繼續〕鈕，回上一層對話方塊 按〔確定〕鈕，獲致

轉入Word撰寫報告 前節之分析結果，分散於幾個不同之報表，還是得轉入Excel，加以整理，將其均數、適當之t值、顯著性以及全體均數等，彙總到Word表格，並安排其注重程度的排名，才比較容易撰寫報告。

取得男/女對各屬性之注重程度均數 首先，先取得男/女對各屬性之注重程度均數，其處理步驟為： 於『組別統計量』報表物件上，單按滑鼠右鍵，續選取「複製(C)」，記下組別統計量內容

轉入Excel，切換到『常用』索引標籤，按『剪貼簿』群組之 『貼上』鈕，將內容貼到Excel

於A2輸入『屬性』字串 按第一列之標題按鈕，選取該列，續按Ctrl+－鍵，將該列刪除 按住Ctrl鍵，續按C、E、F欄之標題按鈕，選取不連續之三欄，續按Ctrl+－鍵，將這幾欄刪除

於C1、D1輸入『男』、『女』字串，作為男女均數欄之標題 按A欄之標題按鈕，選取該欄，續按Ctrl+＋鍵，插入一空白新欄

於A1輸入『編號』字串，A2輸入數字1，A3輸入數字2

選取D2:D15之數字資料，按『數值』群組之 『減少小數位數』鈕，將小數調整為2位 選取D3:D15之數字資料（D3為女性對『抗痘』屬性注重程度的均數）

按『剪貼簿』群組之 『複製』鈕，記下所選取之內容 停於E2，按『剪貼簿』群組之 『貼上』鈕，將選取內容複製到E2以下 按『剪貼簿』群組之 『複製』鈕，記下所選取之內容 停於E2，按『剪貼簿』群組之 『貼上』鈕，將選取內容複製到E2以下 對照一下，可發現編號為奇數（有屬性名稱者）之各列，D與E欄之內容，恰為男/女對各該屬性注重程度的均數。如，原男/女性對『抗痘』屬性注重程度的均數4.02與3.91，是分別擺於不同列之D2:D3，目前已安排於同一列之D2:E2。

點按B欄之任一格（如：B2），切換到『資料』索引標籤，按『排序與篩選』群組之

按住第9列之標題按鈕，往下拖曳到第15列，選取這幾列，續按Ctrl+－鍵，將其等刪除。等於刪除了所有C欄為女之所有內容，別擔心，其資料已複製到E欄。目前之問題是，B欄屬性之順序並非原問卷上排列之順序。還好，我們有A欄之編號！

點按A欄之任一格（如：A2），再按 『從最小到最大排序』鈕，可將整個表格資料依『編號』遞增排序，即可還原成原問卷上排列之順序，且也分別取得男/女對各屬性注重程度的均數

取得對各屬性之注重程度全體均數 接著，再來處理各屬性之注重程度之全體均數。 轉回SPSS，於『敘述統計』報表物件上，單按滑鼠右鍵，續選取「複製(C)」，記下敘述統計內容

轉入Excel之另一個空白工作表，切換到『常用』索引標籤，按『剪貼簿』群組之 『貼上』鈕，將內容貼到Excel

選取C3:C9之數字資料，按『數值』群組之 『減少小數位數』鈕，將小數調整為2位

按『剪貼簿』群組之 『複製』鈕，記下所選取之內容（各屬性注重程度之全體均數） 轉回上節男/女均數之工作表，點選F2，續按『剪貼簿』群組之『貼上』鈕，將各屬性注重程度全體均數，複製到F2以下。（得確定一下，是否已正確將資料抄到適當之屬性列）

刪除C欄，於E1輸入『全體』字串。完成取得各屬性注重程度全體均數之工作

計算排名 若屬性之項目較多，想一下判讀出較被注重的是那幾個屬性？其排名順序如何？實也不太容易！可以下示步驟，利用Excel的RANK()函數，計算出各屬性注重程度的排名： 續前例，於F1輸入『排名』字串，於F2輸入公式 =RANK(E2,$E$2:$E$8)

雙按F2右下角之複製控點，將公式複製到F3:F8，求算出所有屬性注重程度之排名

一般分析，並不用排名到最後一個，僅須保留前幾名即可，故我們將排名5以後者刪除

取得ｔ值與顯著水準 最後，以下式步驟，取得獨立樣本T檢定之ｔ值與顯著水準： 轉回SPSS，於『獨立樣本檢定』報表物件上，單按滑鼠右鍵，續選「複製(C)」，記下獨立樣本檢定內容

轉入Excel之另一個空白工作表，切換到『常用』索引標籤，按『剪貼簿』群組之 『貼上』鈕，將內容貼到Excel

刪除H欄以後之各欄以及第1、2與4列，雙按B欄標題按鈕，顯示其完整內容

刪除F欄 選取C2:F15之數字資料，切換到『常用』索引標籤，按『數值』群組之 『減少小數位數』鈕，將小數調整為2位

依判讀方法，按住Ctrl鍵，續以滑鼠於E與F欄，選取適當之t值與其右側之顯著性。最後，一併選取E1:F1之標題

按『剪貼簿』群組之 『複製』鈕，記下所選取之不連續內容 轉回上節處理後之工作表，點選G1，續按『剪貼簿』群組之『貼上』鈕，複製出各屬性檢定結果之t值、顯著性及標題。（得確定一下，是否已正確將資料抄到適當屬性右側）

轉成單尾並加附註 由於，是在檢定男＞女或女＜男，故得以下示步驟，將先前之『顯著性（雙尾）』除以2，求其單尾顯著性，並於其後加註是否小於α=0.05： 於I1輸入『顯著性（單尾）』，於I2輸入公式 =H2/2

按『數值』群組之 『減少小數位數』鈕，將小數調整為2位 續雙按其右下角之複製控點，將其抄到I3:I8

按『剪貼簿』群組 『複製』鈕，記下所選取之容 按『剪貼簿』群組『貼上』鈕的下拉紐，續選「貼上值(V)」，將其由公式轉為常數（以免將來H欄被刪除時，本欄會變為錯誤）

刪除H欄之雙尾顯著性，僅保留單尾顯著性

於I1輸入『<α』字串，於I2輸入公式 =IF(H2<0.05,"*","") 續雙按其右下角之複製控點，將其抄到I3:I8。可將檢定結果顯著者，於其『<α』欄加註"*"（表其＜α=0.05）

最底下一列，B9輸入『樣本數』，C9:C10輸入男/女樣本數46與104 選取B欄～I欄，雙按任一個欄表題按鈕之右側邊框，將其調整為最適寬度。續選取B1:I8

按『剪貼簿』群組 『複製』鈕，記下所選取內容 再轉到Word文件，停於要插入表格之位置。切換到『常用』索引標籤，按『剪貼簿』群組『貼上』鈕，將選取內容複製過來

於撰寫報告時，僅需就『<α』欄加註"*"（表其＜α=0.05）之部份詳加解釋；檢定結果不顯著者，則僅解釋其重要程度之排序即可。如： 根據調查解果，受訪者較注重之洗面乳屬性，依序為：『去油』、『抗痘』、『保濕』、『美白』與『緊緻毛孔』。 經逐一以T檢定，依性別分組對其注重程度進行檢定，發現有『去油』、『美白』、『保濕』、『去角質』、『緊緻毛孔』與『卸妝』等屬性之注重程度，會隨性別不同，而有顯著差異。 這些有顯著差異之項目，除『去油』外；著重程度均是女性較男性來得高些。其原因可能是女性一般較懂得化妝且有愛美之天性，故較注重洗面乳之『美白』、『保濕』、『去角質』、『緊緻毛孔』與『卸妝』等屬性。而男性可能是經常在戶外運動，且又不化妝，故只要注重洗面乳是否能『去油』而已！

成對樣本 前面『獨立樣本T檢定』，其兩組受測樣本間為獨立，並無任何關聯。如：甲乙班、男女生、兩不同年度、都市與鄉村、……。

其相關公式為： 式中，d即同一配對之兩資料相減之差。

假定，要比較兩廠牌輪胎之壽命。抽7部車，左右使用不同廠牌輪胎，每車各由同一個人駕駛（同一駕駛習慣），經過一段時間後，獲得下示輪胎磨損之配對資料（以千分之一吋為單位），是否可證明，在α=0.05之顯著水準下，甲廠牌輪胎磨損程度較乙廠牌大？

首先，將其資料輸入到SPSS，存入『SPSS範例\Ch08\輪胎磨損.sav』： 由於是配對樣本，其虛無假設與對立假設分別為： H0:μd≦0 H1:μd>0 故此類檢定為右側單尾檢定，以『顯著性（雙尾）』是否小於所指定之α值進行判定。

接著，以下示步驟進行配對T檢定： 執行「分析(A)/比較均數法(M)/成對樣本T檢定(P)…」 選『甲廠』與『乙廠』，左下『目前的選擇』處，會將兩變數分別安排成『變數1』與『變數2』

按 鈕，將其送到右側之『配對變數(V)』方塊

按〔確定〕鈕，獲致

可看出甲廠及乙廠輪胎的平均磨損程度分別為96. 00與87 可看出甲廠及乙廠輪胎的平均磨損程度分別為96.00與87.43。由於本例是在檢定甲廠牌輪胎磨損程度是否大於乙廠牌，故為一單尾檢定。應以『顯著性（雙尾）』除以2是否小於所指定之α值進行判斷。 依此結果：自由度為6，t統計值2.299，『顯著性（雙尾）』0.06除以2為0.03＜α=0.05，故可知甲廠牌輪胎磨損程度大於乙廠牌。

馬上練習 假定，要比較一套新打字教法之效果。隨機抽取10位未經任何訓練之學生，加以訓練。『SPSS範例\Ch09\打字訓練.sav』內： 訓練前及訓練後之每分鐘打字速度（字），於α=0.05之水準下，是否表示此套訓練可讓學生每分鐘平均多打40個字：（此為單尾檢定）

本例得先以「轉換(T)/計算(C)…」計算『訓練後』-40之值為何？存入『訓練後減40』

再取『訓練前』與『後減40』進行配對T檢定。其虛無假設與對立假設分別為： H0:μd≦0 H1:μd>0 故此類檢定為右側單尾，以『顯著性（雙尾）』除以2是否小於所指定之α值進行判斷

本例為一單尾檢定。應以『顯著性（雙尾）』除以2是否小於所指定之α值進行判斷。依此結果：自由度為9，t統計值-. 547，『顯著性（雙尾）』0

馬上練習 假定，要比較一套新減肥法之效果。隨機抽取12位受測者進行測試一個月。『SPSS範例\Ch09\減肥成效.sav』內減肥前及減肥後之體重（公斤）： 於α=0.05之水準下，是否表示此套新減肥法可讓受測者至少減5公斤？

（答案：此為單尾檢定，於α=0.05之水準下，此套新減肥法至少可讓受測者平均減5公斤）

第九章 結束 辛苦啦！