线性代数 第六章 矩阵的对角化 6.3 内积和正交矩阵

§6.3 内积和正交矩阵

一、向量的内积 1. 内积的定义 定义6.3.1 设有 n 维向量 令 称为向量 与 的内积.

说明 在定义内积之前，向量之间的运算只定义了加法 与数乘；如果把3维向量空间与解析几何中3维 几何空间（或称欧式空间）相比较，会发现前者 缺少向量的几何度量性质，如向量的长度、两向 量的夹角等，但向量的几何度量性质在许多问题 中有着特殊的地位. 在定义了内积后，3维向量空间与解析几何中3维 几何空间是类似的. 3维向量空间中向量的内积类 似于3维几何空间的向量的数量积. 维向量的内 积可看作是数量积的一种推广.

向量的内积是两个向量之间的另一种运算，其结 果是一个数，用矩阵记号表示，当 与 为列向 量时，有

2. 内积的性质 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 当 时， 当 时，

二、向量的长度 1.定义6.3.2 设 n 维向量 令 称为向量 的长度（或范数）. 当 时，称 为单位向量. 说明 称为向量 的长度（或范数）. 当 时，称 为单位向量. 说明 当 时，按此定义的向量的长度与几何空 间中的向量的长度是一致的.

2. 向量的长度的性质 ⑴ 非负性 当 时， ； 当 时， ； ⑵ 齐次性 ⑶ 三角不等式 证明 说明 当 时，三角不等式的几何解释为

3. 两向量之间的夹角 与 的数量积 的长度 的长度 与 夹角余弦 设 为 维向量， 当 时，有 称为 维向量 与 的夹角.

三、向量的正交性 1. 向量正交 当 时，称向量 与 正交. 显然，若 ，则 与任何向量都正交. 说明 当 为2或3维向量时， 当 时，称向量 与 正交. 显然，若 ，则 与任何向量都正交. 说明 当 为2或3维向量时， 正交的几何解释为

2. 正交向量组 设向量组 若满足 ⑴ 都是非零向量； ⑵ 当 时， 则 称为正交向量组. 即一组两两正交的非零向量构成的向量组 称为正交向量组.

定理6.3.1 若 维向量 是一组两两正交 的非零向量，则 线性无关. 即正交向量组是线性无关向量组. 证 设存在 使 以 左乘上式两端，得 因为 两两正交，即有 所以 又 ，故 从而必有 类似可证必有

3. 标准正交向量组和标准正交基 设 维向量组 是向量空间 的一个基，若满足 ⑴ 两两正交，即 当 时， ⑵ 都是单位向量，即 则称 是 的一个标准正交基.

例如 设 就是 的一个规范正交基.

4. 施密特(Schimidt)正交化 已知 是向量空间 的一个基，要求 的一个标准正交基. 这就是把已知基规范正交化问题. 正交化： 构造正交向量组 ，且满足 与 等价. 令

单位化： 构造两两正交的单位向量组 ， 且满足 与 等价. 令 说明 上述的正交化过程称为施密特(Schimidt)正交 化过程. 由此过程得到的向量组 不仅 满足 与 等价， 而且满足 与 等价. 当向量的维数为3，向量个数也是3时，施密特 正交化的几何解释为

例6.3.1 设 试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化. 解 析：这是一道熟悉施密特正交化过程的训练题. 正交化

单位化 于是 即是所求的向量组.

例6.3.2 已知 ，求一组非零向量 ，使 两两正交. 解 析：此例与例6.3.1是同一类问题，不过这里是要把所提问题转化为求一个齐次线性方程组的正交基础解系. 具体方法是，先求出基础解系， 然后用施密特正交化过程把所得的基础解系正交化. 应满足方程 ，即 它的基础解系为

把基础解系正交化，即得所求.即

四、正交矩阵与正交变换 1. 概念的引入 设 是 维规范正交向量组，令 则有 ——正交矩阵

2. 正交矩阵 定义6.3.3 如果 阶矩阵 满足 （即 ）， 那么称 为正交矩阵，简称正交阵. 例如 矩阵 可以验证 是正交阵.

3. 正交阵的性质 ⑴ 方阵 为正交矩阵的充要条件是 的列向量 组都是单位向量，且两两正交； ⑵ 方阵 为正交矩阵的充要条件是 的行向量 组都是单位向量，且两两正交； ⑶ 若 为正交阵，则 也是正交阵； ⑷ 若 为正交阵，则 ⑸ 若 和 都是正交阵，则 也是正交阵. ⑹ 若 为正交阵，则 且

4. 正交变换 定义 若 P 为正交矩阵，则线性变换 y = Px 称为正交变换. 例 都为正交变换.

正交变换 定义 设 为正交阵，则线性变换 称为正交变换. 性质 正交变换保持向量的长度不变. 这是因为

作业： P125 11， 13, 15