第 7 章 应力、应变状态分析 上讲回顾 §7 各向同性材料的应力应变关系 §8 复杂应力状态下的应变能 §9 复合材料的应力应变关系简介 §1 引言 §2 平面应力状态应力分析 §3 应力圆 §4 平面应力状态的极值应力与主应力 §5 复杂应力状态的最大应力 §6 平面应变状态应变分析 §7 各向同性材料的应力应变关系 §8 复杂应力状态下的应变能 §9 复合材料的应力应变关系简介 上讲回顾

 平面与空间应力状态 仅在微体四侧面作用应力，且应力作用线均平行于微体的不受力表面－平面应力状态 平面应力状态的一般形式  平面与空间应力状态 仅在微体四侧面作用应力，且应力作用线均平行于微体的不受力表面－平面应力状态 平面应力状态的一般形式 微体各侧面均作用有应力－空间应力状态 空间应力状态一般形式

平面应力状态应力分析 解析法—— 截面应力 符号规定： 1）切应力 t － 以企图使微体沿  旋转者为正 3）方位角 a － 以 x 轴为始边、 者为正 1）切应力 t － 以企图使微体沿  旋转者为正 2）正应力 — 以拉应力为正；

图解法——绘制应力圆 上述关系式是建立在静力学基础上，因而所得结论既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向异性、非线弹性与非弹性问题

 例 题 例 4-1 用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位 解：1. 解析法

2. 图解法

讨论 若按公式

§5 复杂应力状态的最大应力  三向应力圆  最大应力  例题

 三向应力圆 三向应力圆 与任一截面相对应的点，或位于应力圆上，或位于由应力圆所构成的阴影区域内

 最大应力 最大切应力位于与 s1 及 s3 均成45的截面

 例题 例 5-1 已知 sx = 80 MPa，tx = 35 MPa，sy = 20 MPa，sz = -40 MPa， 求主应力、最大正应力与最大切应力 解： 画三向应力圆

§6 平面应变状态应变分析  任意方位的应变  应变圆  最大应变与主应变  例题

 任意方位的应变 平面应变状态特点 微体的变形均在同一平面内 如：重力坝

平面应变状态任意方位应变 定义： 1） 方位角 a： 以 x 轴为始边，为正 2） 正应变：OB向正应变 拉应变为正 3） 切应变：直角BOD的改变量，增大为正 问题：已知应变 ex , ey与 gxy，求 a 方位的应变 ea 与 ga

分析 分析方法要点：叠加法，切线代圆弧

综合

结论  任一方位应变：  互相垂直方位切应变： 互垂方位的切应变 数值相等、符号相反 上述分析建立在几何关系基础上，所得结论适用于任何小变形问题，而与材料的力学特性无关

 应变圆

 最大应变与主应变

切应变为零方位的正应变－主应变 主应变位于互垂方位 主应变表示：e1 e2  e3

 例题 例 6-1 图示应变花，由实验测得0º, 45º与 90º方位的应变分别为e0 , e45 与e90 ，求 ex , ey 与 gxy 解：

§7 各向同性材料的应力应变关系  广义胡克定律  主应力与主应变的关系  例题

 广义胡克定律 广义胡克定律（平面应力状态） 适用范围：各向同性材料，线弹性范围内

广义胡克定律（三向应力状态） 适用范围：各向同性材料，线弹性范围内

 主应力与主应变的关系  主应变与主应力的方位重合  最大、最小主应变分别发生在最大、最小主应力方位  主应力与主应变的关系  主应变与主应力的方位重合  最大、最小主应变分别发生在最大、最小主应力方位  最大拉应变发生在最大拉应力方位 如果 s1  0，且因 m < 1/2，则

 例题 例 7-1 对于各向同性材料，试证明： 证：  根据几何关系求e45。  根据广义胡克定律求 e45。  比较

例 7-2 边长为a =10 mm的正方形钢块，放置在槽形刚体内，F = 8 kN，m = 0.3，求钢块的主应力 解：

§8 复合材料应力应变关系简介  正轴应力应变关系  偏轴力学特性

 基本概念 1、复合材料： 由良种或两种以上性能不同的材料所构成的材料。 2、分类： 3、单层板： 4、层合板壳：  基本概念 1、复合材料： 由良种或两种以上性能不同的材料所构成的材料。 2、分类： 纤维增强（树脂）复合材料：层合、编织、缝纫； 颗粒增强 薄片增强 3、单层板： 单向纤维在树脂基体中呈扁平形式的层片——预浸带。 4、层合板壳： 单层板以不同角度铺设后经高温固化而成的板或壳。 5、特点： 比强度、比刚度大，可设计，等等。

 单层板正轴应力应变关系 E1－纵向弹性模量 E2－横向弹性模量 m12－纵向泊松比 m21－横向泊松比 G12－纵向切变模量

 单层板正轴应力应变关系

 偏轴力学特性  拉伸与剪切之间存在耦合效应  应力主轴与应变主轴不重合  弹性常数具有方向性

§9 复杂应力状态下的应变能  应变能密度一般表达式  体应变  畸变能密度

 应变能密度一般表达式 单位体积内的应变能－应变能密度 对各向同性材料

 体应变 微体的体积变化率－体应变

 畸变能密度 体积改变形状不变 形状改变体积不变 相应的应变能密度－畸变能密度 vd 由 得