第五章分析力学 牛顿力学强调力与运动变化的关系，以矢量分析为主要的数学工具。 在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。它是研究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达朗伯原理相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程——拉格朗日方程。它给出了动力学问题一个普遍、简单而又统一的解法，是分析力学中最重要的动力学方程。哈密顿函数、哈密顿正则方程将分析力学发展到一个新的阶段。而数学工具是变分法。 第五章

第五章分析力学 §5–1 约束与广义坐标 §5–2 虚位移原理 §5–3 拉格朗日方程 §5–4 小振动 §5–5 哈密顿正则方程 §5–1 约束与广义坐标 §5–2 虚位移原理 §5–3 拉格朗日方程 §5–4 小振动 §5–5 哈密顿正则方程 §5–6 泊松括号与泊松定理 §5–7 哈密顿原理

§5 -1 约束 与广义坐标 一、约束及其分类 限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。（constraint) §5 -1　约束 与广义坐标 一、约束及其分类 限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。（constraint) 将约束的限制条件以数学方程来表示，则称为约束方程。 根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通常按如下分类： 1、几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为；几何约束。(Geometric constraint)

例如： 曲柄连杆机构 平面单摆 平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制条件都是几何约束。 当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约束条件称为运动约束。(Kinetic constraint) 例如：车轮沿直线轨道作纯滚动时。

几何约束: 运动约束： 2、定常约束和非定常约束（time dependent constraint） 当约束条件与时间有关，并随时间变化时称为非定常约束。 约束条件不随时间改变的约束为定常约束。 前面的例子中约束条件皆不随时间变化，它们都是定常约束。 重物M由一条穿过固定圆环的细绳系住。初始时摆长 l0 , 匀速v拉动绳子。x2+y2=( l0 -vt )2 约束方程中显含时间 t ,是不定常约束。

定常约束 非定常约束 x2+y2=( l0 -vt )2

3、完整约束和非完整约束（Nonholonomic constraint) 如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束）而且方程中的这些导数不能经过积分运算消除，即约束方程中含有的坐标导数项不是某一函数全微分，从而不能将约束方程积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。一般地，非完整约束方程只能以微分形式表达。 如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程中虽有坐标对时间的导数，但这些导数可以经过积分运算化为有限形式，则这类约束称为完整约束。(holonomic constraint)

完整约束

非完整约束

非完整约束

例如：车轮沿直线轨道作纯滚动， 是微分方程，但经过积分可得到 （常数），该约束仍为完整约束。 例如：车轮沿直线轨道作纯滚动， 是微分方程，但经过积分可得到 （常数），该约束仍为完整约束。 几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。 非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。 4、单面约束和双面约束 在两个相对的方向上同时对质点或质点系进行运动限制的约束称为双面约束。只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单面约束。 刚杆 x2+y2=l2 绳 x2+y2 l2

双面约束

单面约束

双面约束的约束方程为等式. x2+y2= l2 单面约束的约束方程为不等式。 x2+y2 l2 我们只讨论质点或质点系受定常、双面、完整约束的情况，其约束方程的一般形式为（s为质点系所受的约束数目，n为质点系的质点个数）

二、自由度和广义坐标 1、自由度（Degrees of freedom) 由于有约束方程的存在，描述质点系位形的3n个坐标相互不独立。如果k个约束方程是独立的话，坐标阵q中有s =3n－k个是独立坐标，则称质点系的自由度为s。 2、广义坐标（generalized coordinates) 独立坐标不一定为原坐标阵q中的坐标，可定义另外s个相互独立的变量作为独立坐标，这些独立坐标又称为广义坐标。如果坐标阵q总可以表为这些独立坐标的函数，写成 可缩写成 常用的广义坐标有线量和角量两种。例如，对约束在空间固定曲线上运动的质点，可用自始点计量的路程s作广义坐标；用细杆约束在竖直平面内摆动的质点，可用杆与铅垂线的夹角θ作广义坐标。广义坐标对时间的导数称广义速度。

例题1 分析并确定一端被约束在水平面上运动的长为l的细杆AB 的自由度。 解： 细杆两端的坐标 和 确定了细杆的位置。因 存在着两个约束方程 故确定杆的位置只需4个坐标， 自由度

§5-2 虚功原理 一、虚位移 在质点系运动过程的某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小位移，称为质点系（在该瞬时）的虚位移。 虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号 表示虚位移。 M

虚位移与真正运动时发生的实位移不同。 实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实际发生的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的。 实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。 实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的概念，完全与时间无关。 在定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一。而在非定常约束下，微小实位移不再是虚位移之一。

虚位移与实位移

虚位移与实位移

质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关系,确定这些关系通常有两种方法： (一) 几何法。由运动学知，质点的位移与速度成正比，即 因此可以用分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系。 (二) 解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数（ q1,q2,……,qk），广义坐标分别有变分 ，各质点的虚位移 在直角坐标上的投影可以表示为

例题 1 分析图示机构在图示位置时，点C、A与B的虚位移。 (已知 OC=BC= a， OA=l ) 解：此为一个自由度系统，取OA杆与x 轴夹角为广义坐标。 1、几何法 vA、vB和vC分别是A、B和C三点的虚速度

各点虚位移在相应坐标轴上的投影： 2、解析法 将C、A、B点的坐标表示成广义坐标 的函数，得

2、解析法 对广义坐标  求变分，得各点虚位移在相应坐标轴上的投影：

二、虚功 三、理想约束 力虚位移中所作的功称为虚功，记为 。 力虚位移中所作的功称为虚功，记为 。 三、理想约束 如果在质点系的任何虚位移上，质点系的所有约束力的虚功之和等于零，则称这种约束为理想约束。 质点系受有理想约束的条件：

理想约束的典型例子如下： 2、光滑铰链 1、光滑支承面 3、无重刚杆 4、不可伸长的柔索 5、刚体在粗糙面上的纯滚动

四、虚位移原理（虚功原理）virtual work principle 具有定常、理想约束的质点系，其平衡的必要与充分条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所作的虚功之和等于零。即 虚功方程 解析式：

证明：(1) 必要性：即质点系处于平衡时，必有 ∵质点系处于平衡 ∴选取任一质点Mi也平衡。 对质点Mi 的任一虚位移 ，有 对整个质点系： 由于是理想约束 所以

(2) 充分性：即当质点系满足 ，质点系一定平衡。 若 ，而质点系不平衡，则至少有第i个质点不平衡。 在 方向上产生实位移 ，取 ，则 对质点系： (理想约束下， ) 与前题条件矛盾 故 时质点系必处于平衡。

五、虚功原理的应用 1、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系； 2、求系统在已知主动力作用下的平衡位置； 3、求系统在已知主动力作用下平衡时的约束力； 4、求平衡构架内二力杆的内力。

例题2 曲柄连杆机构静止在如图所示位置上，已知角度φ和ψ。不计机构自身重量，求平衡时主动力 FA 和 FB 的大小应满足的关系。 r FB O A B φ ψ r FA FB

解： 以δrA 和δrB 分别代表主动力 FA 和 FB 作用点的虚位移，如图所示。 δrA r 从而解得 因 AB 是刚杆，两端位移在 AB 上的投影应相等，即 FB O φ FA ψ 可见 A，B 两点的虚位移大小之比等于 根据虚位移原理的平衡方程，有

例题3 均匀杆oA，重P1,长为l1,能在竖直平面内绕固定铰链o转动。此杆的A端用铰链连另一重P2，长为l2的均匀杆AB。在AB杆的B端加一水平力F。求平衡时此杆与水平线所成的角度及。

解： 两个自由度，选α及β为两个广义坐标。写出虚功关系 但

例题4 由三根杆教练而成之结构，AC的连线和杆DE都是水平的，在B点作用于一铅垂力P，求DE杆的约束力。 600 E D l 解： 虚功原理中只含有主动力，但可以 解除约束，带之以约束力，并视为 主动力，解除DE杆，用作用力N代之 有一个自由度，取φ=∠BAC为广义坐标。 由虚功原理， N A B C E D y φ x

平衡时， 负号表示与所设方向相反，为拉力。

应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤和要点： 1、正确选取研究对象： 以不解除约束的理想约束系统为研究对象，系统至少有一个自由度。若系统存在非理想约束，如弹簧力、摩擦力等，可把它们计入主动力，则系统又是理想约束系统，可选为研究对象。 若要求解约束反力，需解除相应的约束，代之以约束反力，并计入主动力。应逐步解除约束，每一次研究对象只解除一个约束，将一个约束反力计入主动力，增加一个自由度。 第五章

画出主动力的受力图，包括计入主动力的弹簧力、摩擦 力和待求的约束反力。 2、正确进行受力分析： 画出主动力的受力图，包括计入主动力的弹簧力、摩擦 力和待求的约束反力。 3、正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系。 4、应用虚功原理建立方程。 5、解虚功方程求出未知数。 第五章

作业： P.268-282 P.362: 5.1)，5.2)，5.3) 第五章