第七章 二次型与二次曲面 二次型讨论的对象是多元二次齐次函数，这种函数在物理、统计、规划、极值等问题中有广泛的应用． 例如在三维空间的几何问题中，一般二次曲面在直角坐标系下表示为三元二次函数，通过对二次型的讨论，可以研究二次曲面的分类. 本章主要讨论： 1．  二次型的理论； 2．  空间曲面与曲线； 3. 二次曲面的分类．

7.1 实二次型 7.1.1 二次型的定义及矩阵表示 1．定义7.1 n个变量 的二次齐次函数 称为 n 元二次型，简称二次型. 当 为实数时，称 为实二次型， 为复数时 为复二次型，本书只讨论实二次型．

2．矩阵形式： 则二次型的矩阵形式为 为二次型 的矩阵, 为二次型 的秩． 3．二次型 对称阵 注：讨论二次型问题，首要的问题是给定二次型能准确地写出二次型的矩阵，反之，给定一个对称阵，会写出以它为矩阵的二次型. 这里的关键概念是二次型的矩阵是一个对称矩阵.

例1 设二次型 试写出二次型 的矩阵.（ 为三元二次型） 解：将交叉项 的系数 即平均分配给 及 的二次型的系数矩阵 为 .

例２ 将二次型 写成矩阵形式. 解： 是一个四元二次型，先写出二次型的矩阵

例３ 设 ，试写出以 为矩阵的二次型. 分析： 是一个3阶对称阵，对应的三元二次型，把 与 合并后写出二次型. 解：设

7.1.2 合同矩阵 1．定义7.2（合同）二个 阶方阵 和 ， 可逆阵 ，使 ，则称 与 合同（Congruent）记成 . 矩阵合同的定义与矩阵相似的定义很相似，也是 阶方阵之间的一种等价关系. 即 2．合同 等价，合同 等秩，反之都不成立．但不等秩，则一定不合同. 3．合同关系具有以下性质： （1）自反性： . （2）对称性： 则 . （3）传递性： ，则 . （4） 与 合同，则 . 可逆， .

4．（二次型的变换）合同二次型 设二次型 ，经可逆线性变换 （ 可逆） 其中 ，即 与 合同， 仍是对称阵. 所以经可逆线性变换后，二次型的对应矩阵是合同的. 也可以说：合同的矩阵是同一二次型关于不同变量的矩阵[我们教材是将变量看成 个基下的坐标， 是一个基到另一个基的过渡矩阵，合同阵是不同基下的矩阵]. 5．实对称阵 （不但和对角阵相似，也与对角阵合同）. 由于实对称可正交相似对角化. 所以存在正交阵 ，使 所以实对称阵 都与对角阵合同. 换句话说，就是任意实二次型都可通过一个适当的可逆线性变换化成只有平方项 而没有混合项 . 这就引出了二次型的标准形的概念.

例4. 与矩阵 既相似又合同的矩阵是（ ） （A） . （B） . （C） . （D） . 分析： 是实对称矩阵，所以 正交阵，使它和一个对角阵既相似又合同，对角阵的对角元恰是 的特征值.

解： 的特征值是 ，与 既相似又合同的矩阵是 ，所以应选（D）.

7.2 化实二次型为标准 1．标准二次型：只含有平方项的二次型 称为 元二次型的一个标准型. 不惟一. 线性变换为 设 （1） 令 （1）可变为 . 但不惟一. （2） 当 是可逆阵时. （1）式是可逆线性变换.

注1º 的秩 的标准形中系数不为0的平方项的个数. 2º 任一个实二次型都可通过可逆线性变换化为标准形. 元二次型的标准形不惟一，有三种方法化标准形. 7.2.1 用正交变换化实二次型为标准形 对于实二次型，最实用的方法是正交变换法，即所作的可逆线性变换中可逆矩阵 不只是可逆，还是正交矩阵. 这个正交阵的存在是由实对称矩阵的性质决定的，值得注意的是这种方法仅限于实二次型. 定理7.1 对 元实二次型 ， 正交线性变换：（不惟一） ，使二次型 化为标准形. 是 的 个特征值.

例5 用正交线性变换化实二次型为标准形. 化成标准形. 解：（1）二次型 的矩阵为 （2）由 ， 得 的特征值为 . （3）对 时，解 . 即

所以得同解方程组为 得基础解系为 . 正交化： ∥

单位化： 当 时，由方程组

即 得基础解系为 ，单位化为 .

得正交阵 . 则 注：正交变换不惟一，但正交变换得到的标准形是惟一的.（不考虑对角元的次序时）

7.2.2 用配方法化二次型为标准形 如果不考虑正交变换，可以用可逆线性变换把二次型 化为标准形，得到标准形不是惟一的. 例6 用配方法将二次型化为标准形 分析：这是只有交叉项没有平方项的二次型，先对 用平方差公式. 解：令 （1） 则

再令 （2） 则 所作可逆线性变换为 （2）代入（1）得

可逆. 为可逆线性变换. 7.2.3 用初等变换法化二次型为标准形 矩阵的初等变换法是对二次型矩阵 ，构造一个 的矩阵 ，对 交替作初等行变换和相应的初等列变换， 对 作列变换时，同时对 作相同的列变换，当 化作标准形时， 就化作了 . 这就是作可逆线性变换那个可逆矩阵. 对角阵.

例7 用初等变换法将下列二次型化为标准形，并求可逆线性变换 分析：由于左上角的元素为0，而主对角线上第二个元素不为0，将第一列和第二列变换，同时将第一行和第二行交换，使得左上角元素不为0. 解：

由此得标准形 所用的可逆线性变换为 所以 7.3 正定实二次型 7.3.1 实二次型的惯性定律 我们知道 元二次型都可以通过一个可逆线性变换化为标准形，标准形不唯一，因为用不同的可逆线性变换把同一个实二次型 化为标准形时，这些标准形中的系数一般说是不同的. 但在实可逆线性变换下，同一个实二次型的标准形中的正系数、负系数及零系数的个数是不变的，（实可逆线性变换可以不同），这就是实二次型的惯性定律.

定理7.2 设 元实二次型 经实可逆线性变换 分别化成标准形 及 则 中正数的个数，负数的个数及0的个数都与 中正数的个数，负数的个数及0的个数相同，正数的个数称为 的正惯性指数，记为 负数的个数称为 的负惯性指数，记为 . 7.3.2 正定二次型 对于实二次型有一个特别重要的性质——正定性. 1．定义7.3 设有 元实二次型 ，如果对 且 ，都有 ，则称 为正定（负定、半正定、半负定）二次型. 的矩阵称为正定（负定、半正定、半负定）矩阵.

2．正定阵 实对称阵，但反之不一定. 3．二次型正定的充要条件： 定理7.3 实二次型 正定 正惯性指数 （标准形中 个系数全为正）. 证：设 ，经实可逆性变换 化为 . 反证：若 某个 取 ，而 而

与 正定矛盾，正惯性指数 . 维实向量 ，由 可逆知 故 为正定二次型.

推论 7.1 实二次型 正定 的矩阵 的特征值全大于 . 证 是实二次型，由定理7.1知 正交变换 ，使 由定理7.3知， 正定 其中 . 推论7.2 实二次型 正定 实可逆阵 使， . 证 维实向量 可逆， . 所以 是正定二次型. 已知 是正定二次型，由推论7.1知， 正交阵 ，使 ，

令 ， 则 所以 由 可逆及 可逆，知 可逆.

定理7.4 实对称阵 为正定的 的各阶顺序主子式都大于零. 即 总结：二次型正定的充要条件 实二次型 正定 的正惯性指数 . 的特征值全大于 实可逆阵 ，使 . 的各阶顺序主子式全 与 合同 注：当 正定时，可证 ，正定. 负定 正定. 的奇数阶主子式 ，偶数阶主子式 .

重点与难点：在实二次型（或实对称阵）中，合同是一种分类的办法，正定性是另一种分类的方法，重点是正定二次型（或正定矩阵）. 注：说 或 是正定的，已经包涵了 实对称， ， 可逆 ， 及 . 利用 的正定性，来证明其他的问题，则是一个难点，要具体问题具体分析. 1．正定阵（正定二次型的判断） 例8 判别二次型 的正定性. 解 二次型的对应矩阵为

， 和 具有相同的正定性，故判定 的正定性即可（将分数运算化成参数运算）

的全部顺序主子式都大于0. 正定， 正定.

例9 判断 阶 矩阵 是否正定阵. . 解法1 顺序主子式： ， 正定.

解法2 求 的特征值. 得 的特征值为 全 . 故 正定. 2．矩阵（二次型）正定性的证明

例10 设 是 阶正定阵，证明 也正定. 证 因为 正定,所以 是实对称，即 ， 可逆， 也是实对称. 证1 用正定阵 全部特征值 . 已知 正定， 的 个特征值 都 . 又 的特征值为 都 , 正定. 证2 正定 实可逆阵 使 . 求逆 令 为实可逆阵，所以 正定.

例11 设 是 阶实对称阵，其中 正定, 试证当实数 充分大时， 也正定. 证 由 正定， 可逆阵 ，使 ，即 ，令 . 仍是对称阵，故 正交阵 ， 使 ，其中 是 的特征值.

正定（由Th7.3）. 当 时， 全 ， . 由Th7.3知 正定，从而 正定，（ 实对称显然）.

例12 设 为实 ，证明 是正定的 . 证 是实对称阵. 若 正定，则 . 又 . 设 ，则齐次方程组 只有0解. 对 ，有 ，设 . 由二次型定义知， 正定.  

在3. 3节已熟悉了平面和空间的直线与三元一次方程之间的关系，现在在前两节研究二次型的基础上，本节重点又从代数转向几何，主要是讨论二次曲面 在3.3节已熟悉了平面和空间的直线与三元一次方程之间的关系，现在在前两节研究二次型的基础上，本节重点又从代数转向几何，主要是讨论二次曲面.与平面、直线一样，曲面和曲线也可以看成是满足某种条件的点的集合. 在坐标系下，这个条件表现为方程. 7.4 曲面与曲线

下面对几何特征很明显的几种常见的曲面和曲线建立它们的方程. 在空间直角坐标系下，若曲面和三元方程有下述关系：曲面上的任一点的坐标都满足方程；坐标满足方程的点都在曲面上，则称方程为曲面的方程，也称为方程的图形. 下面对几何特征很明显的几种常见的曲面和曲线建立它们的方程.

7.4.1 球面 已知球心在点 ，半径为 ，求该球面的方程. 在球面上，有 ， 该球面方程为 （*） 如果球心在坐标原点，球面方程为 7.4.1 球面 已知球心在点 ，半径为 ，求该球面的方程. 在球面上，有 ， 该球面方程为 （*） 如果球心在坐标原点，球面方程为 将（*）展开，得 这个方程的特点是： （1）是三元二次方程 （2）二次项 的系数相同 （3）没有交叉项.

满足这三个条件的方程一般说来图形也是球面, 可将其 配方为 时，表示球心在 ,半径为 的球面； 时，球面收缩为一点（点球面）； 时，无图形（虚球面）． 例1. 配方得 表示球心为 的球面.

平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 形成的轨迹叫做柱面，定曲线 叫做柱面的准线，动直线 叫做柱面的母线. 7.4.2 柱面 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 形成的轨迹叫做柱面，定曲线 叫做柱面的准线，动直线 叫做柱面的母线. 设柱面的母线 轴，准线 是平面 上的 曲线 ，则此柱面方程为 . 一般地，含有两个变量的方程在平面上表示一条曲线，在空间里表示一个柱面, 母线平行于不出现的那个变量对应的坐标轴，同理 表示母线平行于 轴的柱面， 表示母线平行于 轴的柱面.

7.4.3 旋转曲面 例2 表示母线平行于x 轴的双曲柱面. 例3 表示母线平行y 轴的平面. 7.4.3 旋转曲面 平面曲线C绕平面一直线 L 旋转一周，所成的曲面叫做旋转曲面. 曲线C 称为母线，L称为旋转轴. 设在面 yOz上，给定曲线C ： 将其绕轴z旋转一周，求此旋转曲面方程.

设为 曲面上任一点，位于曲线 上点 的转动轨道（圆周）上，显然 ， 且由 到轴 的距离相等，有 ， 所以旋转曲面方程为 设为 曲面上任一点，位于曲线 上点 的转动轨道（圆周）上，显然 ， 且由 到轴 的距离相等，有 ， 所以旋转曲面方程为 . 同理曲线 绕 轴转一周得旋转曲面方程为： 总之，在坐标面上的曲线绕其上一个轴转动得到的旋转曲面方程可以这样写处：将曲线方程中与转轴相同的变量不动，而把另一个变量换为它自己的平方与方程未出现的变量的平方和的平方根即可.

例4直线 绕 轴转动得到的曲面为 即 ，或 . 图称为圆锥面，其半顶角 的正为 . 例4直线 绕 轴转动得到的曲面为 即 ，或 . 图称为圆锥面，其半顶角 的正为 . 例5 椭圆 绕 轴旋转得到旋转椭球面：

一般地说：在一个方程中，若有两个变量以平方和的形式出现，它就是旋转曲面的方程. 例6 双曲线 绕 轴旋转得旋转单叶双曲面 例7 抛物线 绕轴旋转得旋转抛物面 一般地说：在一个方程中，若有两个变量以平方和的形式出现，它就是旋转曲面的方程.

一、空间曲线的一般方程 空间曲线可以看作两曲面 ， 的交线 称为空间曲线 的一般方程. 注：由于过曲线 的曲面有无穷多，所以 的方程不唯一. 7.5 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 空间曲线可以看作两曲面 ， 的交线 称为空间曲线 的一般方程. 注：由于过曲线 的曲面有无穷多，所以 的方程不唯一. 例如，以原点为球心，1为半径的球面 与 面的交线，是 平面上的以原点为圆心的单位圆，其方程为

例8 方程组 表示怎样的曲线. 解 为平行于 轴的圆柱面, 为平行于 轴的平面，方程组表示平面与圆柱面的交线. 例8 方程组 表示怎样的曲线. 解 为平行于 轴的圆柱面, 为平行于 轴的平面，方程组表示平面与圆柱面的交线. 例9 方程组 表示怎样的曲线. 解 第一个方程表示以原点为球心，a为半径的球的上半球面. 第二个方程表示准线为 的面上的圆 且母线平行于 轴的圆柱面. 方程组为上半球面与圆柱面的交线. 也称为维维亚尼曲线.

例10 曲面 与坐标面的交线是什么?. 解 : ①与 面的交线： 即曲线是椭圆； ②与 面的交线： 是双曲线； ③与 面的交线： 是双曲线

二、空间曲线的参数方程 与平面曲线一样，空间曲线 也可由参数方程表示， 上的动点 为参数 的函数，给定 得 上的一点 随 的变动便得到 c 的全部点. 即 为曲线 的参数方程.

例11 在圆柱面 上有一动点M以角速度w 右旋绕轴转动同时又以匀速v沿母线上升， 求M点的 运动轨迹方程. 解 取时间t为参数，当t=0时，点M位于 处，经过时间t ，动点由 运动到 M在面 上的投影为 角速度是 则参数方程变为 螺旋线在实践中常用到，例平头螺钉的缘曲线就是 螺旋线，螺旋线上升的高度与速度成正比， 当 转过一周时， 上升的高度 在工程 技术上称 为螺距.

三、空间曲线在坐标面上的投影 以空间曲线 为准线，作母线平行于 轴（或 轴、或 轴）的柱面，这个柱面与坐标面 （或 、 ）的交线称为曲线 在坐标面 （或 、 ）上的投影（曲线）.

求空间曲线的投影是很重要的，若已知曲线 的 方程为 从这个方程组中，消去 所得到的方程，就是 以 为准线，母线平行于 轴的柱面 方程 ，故 在 面上的投影为 同样从 的方程中消去 或 ，可得到 在 和 面上的投影.

例12 已知两球面的方程为 ①和 ②求它们的交线在 面上的投影方程 解 先求母线平行 轴过曲线 的柱面方程，从①②中 消去 ，①-②化简得 再以 代入①或②得柱面方程为 两球面交线在 面上的投影是

7.6 二次曲面 在第五节我们讲了空间曲面的概念，建立了球面方程和各种柱面方程等.这节我们要专门讨论二次曲面，在平面几何中我们研究了二次曲线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等，在空间解析几何中我们将三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面，平面称为一次曲面. 7.4节讲过球面、圆柱面、抛物面和双曲面，这些都是二次曲面在那节里我们只是粗略地描绘它们的图形. 平面解析几何中有时用描点法研究它的图形，对于三元方程所表示的曲面的形状，显然难以用描点法得到，这节我们用截痕法来研究常用的二次曲面，即用坐标和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌）.

一、椭球面 由方程 （1） 所确定的曲面叫做椭球面, 称为椭球面的半轴， 由（1）知 ， 即 椭球面（1）完全包含在以原点为中心的长方体内. 为了知道这一曲面的形状，我们先求出它与三个坐标面 的交线

这些交线都是椭圆，再看这曲面与平行于 面的平面 的交线 这些交线都是椭圆，再看这曲面与平行于 面的平面 的交线 这是 平面内的椭圆，它的两个半轴分别为, 当 由小变大时，椭圆的截面由大到小，最后缩成一点，且这一系列椭圆的中心都在 轴上，同样用平行于 面和平行于 面的平面截椭球面，分别可得类似的结论. 根据这些截痕，就可以知道椭球面的形状. 特殊地：当 时，方程（1）变为球面 ，当 时，（1）变 为 ，是由 绕 轴旋转的旋转椭球面.

由方程 （ 与 同号），所表示的曲面叫做椭圆抛物面，不妨设 ，用截痕法来考察它的 二、抛物面 由方程 （ 与 同号），所表示的曲面叫做椭圆抛物面，不妨设 ，用截痕法来考察它的 形状, （1）用坐标面 与这曲面相截，截得一点为原点 ，即为曲面的顶点，用 截曲面，其交线为 这是 平 面上椭圆，中心在 轴，两个半轴为 ， 当 变动时，这种椭园的中心都在 轴上， 面 与这曲面不相交.

（3）同理用 （ 面）去截，或 去截得交线都是抛物线. （2）用 坐标面 截这曲面所得截痕为抛物线 对称轴是 轴，顶点 , 开口 向上，若用平面 去截时，得抛物线 对称轴平行于 轴，顶点为 开口向上. （3）同理用 （ 面）去截，或 去截得交线都是抛物线.

综上所述，椭园抛物面的形状就很清楚了，若 异号，即 （ 与 同号），所表示的曲 面叫做双曲抛物面，或（鞍形曲面） 时，方程 综上所述，椭园抛物面的形状就很清楚了，若 异号，即 （ 与 同号），所表示的曲 面叫做双曲抛物面，或（鞍形曲面） 时，方程 变为 为旋转抛物面 绕z轴旋转得到的.

三、单叶双曲面 1．由方程 （3）所确定的 曲面叫做单叶双曲面. 2．由方程仿照前面的讨论，可得出形状. 所表示的图形称为双叶双曲面.

四、二次锥面 由方程 （4） 所确定的曲面叫做二次锥面 （1）先看曲面与 的交线 , 是一个原 由方程 （4） 所确定的曲面叫做二次锥面 （1）先看曲面与 的交线 , 是一个原 点，称为锥面顶点，用 平面去截曲面，交线为 这是 平面上的椭圆， 半轴是 .

（1）锥面与面 的交线各为一对直线 当 时，方程（4）称为圆锥面，指出下列方程表示怎样的曲面， （1）锥面与面 的交线各为一对直线 当 时，方程（4）称为圆锥面，指出下列方程表示怎样的曲面， （1） 椭球面. （2） ， 椭圆抛物面.

（3） 双叶双曲面. （4） 锥面. （5） 双曲抛物面 （6） 椭圆抛物面.