矩 陣 1-1 聯立方程式 1-2 矩陣的定義 1-3 矩陣的運算 1-4 基本列運算 1-5 反矩陣 1-6 行列式

1-1 聯立方程式 m個線性方程式、n個變數x1,x2,…,xn所構成的系統 (1-1) 1-1 聯立方程式 m個線性方程式、n個變數x1,x2,…,xn所構成的系統 (1-1) 稱為線性系統(linear system)或聯立線性方程式。若(x1 , x2 ,……, xn )=(s1, s2,……,sn )能滿足聯立方程式(1-1)時，我們稱(s1, s2,…, sn)為聯立方程式(1-1)的解(solution)。

1-2 矩陣的定義 1-1 由 mn 個實數所構成的 m 列(row) n 行(column)長方形數列，稱為 m  n 階(order)矩陣(matrix) A。 (1-2)

1-1 為簡便計，m  n 矩陣常以符號 A = [aij]mn，或更 簡單的[aij]來表示。在矩陣 A 中第 i 列、第 j 行位 置的 aij 稱為矩陣 A 的(i, j)元素(element, or entry)。

下面我們介紹幾種具有特殊型態的矩陣。設A為 m  n 矩陣： 若m = 1，矩陣 A 只有一列，稱為列矩陣(row matrix)或列向量(row vector)。如 A = [3, 2, 1]。若 n = 1 時，則稱 A 為行矩陣(column matrix)或行向量(column vector)。

當 m = n 時，矩陣 A 稱為 n 階方陣(square matrix of order n)。其中對角線元素a11, a22, ……, ann 構成主對角線(main diagonal)。 若 n 階方陣中，對角線之外的元素皆為0，即aij = 0，當 i  j ，則稱此矩陣為對角矩陣(diagonal matrix)。

若對角矩陣 A 中對角線元素皆為1，則稱 A 為單位矩陣(identity matrix)。通常以符號 In 表之。 若對角矩陣 A 中，對角線元素皆相等，即 aii = c, i = 1,…, n，則稱矩陣 A 為純量矩陣(scalar matrix)。

若 n 階方陣 A 中，aij = 0，當 i > j 時，則 A 稱為上三角矩陣(upper triangular matrix)。

若 aij = 0，當 i < j 時，則稱 A 為下三角矩陣(lower triangular matrix)，例如 元素皆為 0 的矩陣稱為零矩陣(zero matrix)，以符號 O 或 Om  n 表之。

1-3 矩陣的運算 1-2 若矩陣 A = [aij] 與矩陣 B = [bij] 皆為 m  n 矩陣，且aij = bij ，1  i  m， 1  j  n ，則稱矩陣 A 和矩陣 B 相等(equal)。並寫成 A = B。

加法運算(matrix addition) 1-3 加法運算(matrix addition) 若 A = [aij]， B = [bij] 皆為 m  n 矩陣，則 A 與 B的和(sum) C = [cij] 亦為 m  n 矩陣，且 即 C 是一個由 A 與 B 中相對應的元素相加而得的 m  n 矩陣，或寫成 C = A + B。

乘法運算(matrix multiplication) 1-4 乘法運算(matrix multiplication) 若 A = [aij] 為 m  n 矩陣，B = [bij] 為 n  p 矩陣，則 A 和 B 的乘積(product) C = [bij] 為 m  p 矩陣，其中

若以符號表示，可寫成 C = AB  第 j 行

(1) A + B = B + A 交換律(commutative property) 1-1 矩陣加法性質 設 A、B、C、O 為同階矩陣，則 (1) A + B = B + A　交換律(commutative property) (2) A + (B + C) = (A + B) + C　結合律(associative 　　 property) (3) A + O + O + A = A　同一律(identity property) 這裡，零矩陣O所扮演的角色正與實數中的零 一樣。

設A、B、C為三個矩陣，並設其加法與乘法的運算均能符合定義的要求。 (1) A(BC) = (AB)C 結合律 1-2 矩陣乘法性質 設A、B、C為三個矩陣，並設其加法與乘法的運算均能符合定義的要求。 (1) A(BC) = (AB)C　結合律 (2) A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC　分配律(distributive property) (3)若 A 為 m  n 矩陣，則 AIn = Im A = A 這裡，單位矩陣在矩陣乘法運算中所扮演的角 色與實數中的 1 相同。

1-5 若以一實數 r 乘以矩陣 A = [aij]，則矩陣 rA 可由 A 中每一元素乘以 r 而得。這種運算，我們稱之為純量乘法運算(scalar multiplication)。 設 A = [aij] 為 m  n 矩陣，則矩陣 AT = [aji] 為 n  m 矩陣，稱為 A 的轉置矩陣(transpose of A)。 1-6

純量乘法性質 設 r、s 為實數，A、B 為同階矩陣，則 (1) r (sA) = (rs)A (2)(r + s) A = rA + sA 1-3 純量乘法性質 設 r、s 為實數，A、B 為同階矩陣，則 (1) r (sA) = (rs)A (2)(r + s) A = rA + sA (3) r (A + B) = rA + rB (4) A (rB) = r (AB) = (rA) B (5) oA = O (6) rO = O

矩陣轉置性質 設 r 為一實數，A、B 為矩陣，則 (1)(AT)T = A (2)(A + B)T = AT + BT 1-4 矩陣轉置性質 設 r 為一實數，A、B 為矩陣，則 (1)(AT)T = A (2)(A + B)T = AT + BT (3)(AB)T = BTAT (4)(rA)T = rAT

設 AT = A，則矩陣 A 稱為對稱矩陣(symmetric matrix)。 值得注意的是，對稱矩陣必為一方陣，且aij = aji。 1-7 設 AT = A，則矩陣 A 稱為對稱矩陣(symmetric matrix)。 值得注意的是，對稱矩陣必為一方陣，且aij = aji。

1-4 基本列運算 聯立方程式(1-1)若以矩陣符號表示，則可寫成 AX = b (1-3) 其中 1-4 基本列運算 聯立方程式(1-1)若以矩陣符號表示，則可寫成 AX = b　　　　　　　　　　　(1-3) 其中 稱為係數矩陣(coefficient matrix)。

X = [x1, x2, ……xn ]T 為 n  1 矩陣，而 b = [b1, b2, …… bn]T 為 m  1 矩陣，又 稱為擴張矩陣(augmented matrix)。

對於一個矩陣，可用下列三種不同的列運算，稱為基本列運算(elementary row operations)。 1-8 對於一個矩陣，可用下列三種不同的列運算，稱為基本列運算(elementary row operations)。 (1)交換矩陣中的第 r 列與第 s 列(以符號 Rr  Rs 表之)。 (2)將矩陣中的第 r 列乘以一不為零的實數 c (以符 號 cRr 表之)。 (3)將矩陣中的第 r 列乘以一不為零的實數 c 後， 再加到第 s 列上(以符號 cRr + Rs 表之)。

若矩陣 A，經過一連串的基本列運算後變成矩陣 B，則稱矩陣 A 和 B 為列同義(row equivalent)。可寫成 A ~ B。 1-9 若矩陣 A，經過一連串的基本列運算後變成矩陣 B，則稱矩陣 A 和 B 為列同義(row equivalent)。可寫成 A ~ B。 A ~ A 若A ~ B ，則B ~ A (即A與B是列同義的) 若A ~ B 且 B ~ C ，則 A ~ C

若矩陣滿足下列的條件，則稱為簡化列梯形矩陣(reduced row echelon form)。 1-10-1 若矩陣滿足下列的條件，則稱為簡化列梯形矩陣(reduced row echelon form)。 (1)任何一列的第一個不為零元素必須是 1，並稱該元素為該列的首項(leading entry) ; (2) 而且含有此元素 1 的這一行，其他元素必須為零。 (3) 每一列第一個不為零的元素，必須位於前一列第一個不為零元素的右側。 (4)若有某列之元素全部為零，則此列必位於矩陣的最下端。

定義1-10-1中，若只滿足上述條件的(1)、(3)、(4)的矩陣，則稱為列梯形矩陣(row echelon form)。 1-10-2 定義1-10-1中，若只滿足上述條件的(1)、(3)、(4)的矩陣，則稱為列梯形矩陣(row echelon form)。

1-11 若 A 為 m  n 矩陣，矩陣 C 為 A 經過一連串基本列運算後所得之簡化列梯形矩陣，則 C 中不全為零的列的個數，稱為矩陣 A 的秩(rank)，以 r (A)表示。

考慮聯立方程式 AX = b，A 為 m  n 矩陣， (1)若 r (A) = r ([A  b]) = n 則 AX = b有唯一解 1-5 考慮聯立方程式 AX = b，A 為 m  n 矩陣， (1)若 r (A) = r ([A  b]) = n 則 AX = b有唯一解 (2)若 r (A) = r ([A  b]) < n 則 AX = b有無限多解 (3)若 r (A) < r ([A  b])，則 AX = b 無解

即若[A  b]與[C  d]為列等價，則這兩組方程式具有相同的解。 1-5-1 在解聯立方程式 AX = b 時，我們進行一連串的基本列運算，將 [A  b] 轉換成與其列同義的矩陣[C  d] 或 CX = d，因此 AX = b 與 CX = d 具有相同的解。 即若[A  b]與[C  d]為列等價，則這兩組方程式具有相同的解。 若[C  d]為列梯形矩陣，稱為高斯消去法(Gaussian elimination) 。 若[C  d]為簡化列梯形矩陣，稱為高斯-喬登簡化法(Gauss-Jordan reduction) 。

範例一： 使用高斯-喬登簡化法，解下列的線性方程組。

範例二：

範例三

若聯立方程式(1-3)中的 b 為零向量，即 b = 0， AX = 0　　　　　　　　　　　(1-4) 為齊次線性聯立方程式(homoeneous system of linear equations)。 若 b  0，則稱(1-3)為非齊次線性聯立方程式(nonhomogeneous system of linear equations)， 若x1 = 0, x2 = 0, ……, xn = 0為(1-4)的明顯解，稱之為自然解(trivial solution)。 若存在xi  0，則稱之為非自然解、非明顯解(non-trivial solution)

設 A 為 m  n 矩陣。若 m < n，則齊次線性聯立方程式 AX = 0必有無限多解。 1-6 設 A 為 m  n 矩陣。若 m < n，則齊次線性聯立方程式 AX = 0必有無限多解。

範例四：

1-5 反矩陣 首先考慮聯立方程式 AX = b，A 為 n 階方陣。 1-5 反矩陣 首先考慮聯立方程式 AX = b，A 為 n 階方陣。 假設有一矩陣 B，可使得 BA = In，則在 AX = b 兩邊的前端同時乘以 B，可得 BAX = Bb InX = Bb 或　 X = Bb 換言之，聯立方程式 AX = b 的解即為 X = Bb。對於這個 B 矩陣，我們稱它為 A 的反矩陣。

1-12 設 A 為一 n 階方陣。若存在一 n 階方陣 B，使得AB = BA = In，則稱 A 為非奇異矩陣(nonsingular matrix)或可逆矩陣(invertible matrix)，並稱 B 為 A 的反矩陣。反之，若沒有這種B矩陣的存在，則稱 A 為奇異矩陣(singular matrix)或不可逆矩陣(noninvertible matrix)。

若矩陣 A 有反矩陣，則僅有一個反矩陣。(唯一性) 證明：設 B 與 C 皆為 A 的反矩陣，則 BA = AB = In 1-7 若矩陣 A 有反矩陣，則僅有一個反矩陣。(唯一性) 證明：設 B 與 C 皆為 A 的反矩陣，則 BA = AB = In CA = AC = In 因此 B = BIn = B(AC) = (BA)C = InC = C。 習慣上，我們用符號 A1 表示 A 的反矩陣。 即　　AA1 = A1 A = In

若 A 為一 n 階非奇異矩陣，則 A ~ In；反之，若 A ~ In，則 A 必為非奇異矩陣。 矩陣 A 與 A1 應滿足關係式 1-8 若 A 為一 n 階非奇異矩陣，則 A ~ In；反之，若 A ~ In，則 A 必為非奇異矩陣。 矩陣 A 與 A1 應滿足關係式 AA1 = In (1-5) 若將 A1 及 I 分別用行向量表示成 [X1,……,Xn] 及 [E1,……,En]

其中 則(1-5)式可改寫成 AX1 = E1,……, AXn = En　　　　　　(1-6)

也就是 X1, X2, ……, Xn 分別是下列 n 組聯立方程式的解 AX = E1, AX = E2, ……, AX = En (1-7) 這 n 個聯立方程式的擴張矩陣為 [A  E1], [A  E2], …… , [A  En] (1-8) 若利用基本列運算和定理1-8及(1-6)，可將(1-8)化成列同義的擴張矩陣 [In  X1], [In  X2],~…… ,[In  Xn] (1-9)

今將(1-8)與(1-9)中各矩陣，以更精簡的符號表示，可得 [A  In] ~ [In  A1] 　　(1-10) 因此，我們若能利用基本列運算將矩陣 [A  In] 轉換成 [In  B] 的型式，則 B 必為 A 的反矩陣。

(1)若 A 為非奇異矩陣，則 A1 亦為非奇異矩陣， 且(A1) 1 = A。 1-9 (1)若 A 為非奇異矩陣，則 A1 亦為非奇異矩陣， 且(A1) 1 = A。 (2)若 A，B 皆為非奇異矩陣，則 AB 亦為非奇異矩陣，且(AB) 1 = B 1A 1 。 (3)若 A 為非奇異矩陣，則 AT 亦為非奇異矩陣，且(AT) 1 = (A1) T。

線性方程組與反矩陣 在解線性方程組 AX = b 時，若A為非奇異矩陣，則A1存在，且X = A1 b 為該線性方程式組的解 InX = A1 b  X = A1 b

以下敘述皆為同義的 A是非奇異的。 x=0為Ax=0的唯一解。 A列等價於In 。 對於n1階矩陣b，線性方程組 AX = b只有唯一解A1 b 。

1.6 行列式 若 為一 n 階方陣，則其行列式為一實數，記為 |A| 或det(A)。

(1)若 A 為一階方陣，即 A = [a11]，則定義 |A| = a11。 1-13 (1)若 A 為一階方陣，即 A = [a11]，則定義 |A| = a11。 (2)若 A 為二階方陣，即　　　　　　　，則定義 |A| = a11a21  a12a22。

而 (1)i + j |Mij| 則稱為 aij 的餘因式(cofactor)，以Aij 表示。 1-14 若 A = [aij] 為 n 階方陣，令 Mij 為 A 中除去第 i 列及第 j 行後的 n1 階子矩陣，則子矩陣 Mij 的行列式 |Mij| 稱為元素 aij 的子行列式(minor)。 而 (1)i + j |Mij| 則稱為 aij 的餘因式(cofactor)，以Aij 表示。

若 A = [aij] 為 n 階方陣，則行列式 (1-11) 1-15 若 A = [aij] 為 n 階方陣，則行列式 (1-11) 定義1-15中的行列式 |A|，可視為依第 i 列將 n1 階餘因式展開的結果。亦即，先固定某一列 i，對第 i 中元素求取對應之 Aij , j = 1, ……, n，乘上 aij後再加總起來。當然也可以先固定某一行 j，對第 j 行中各元素求取 Aij，乘以 aij 後，再依 i = 1, ……, n 相加起來。故 (1-12)

(1)若 A 中某一行或某一列的元素全為零，則 |A| = 0。 1-10 設 A = [aij] 為 n 階方陣。 (1)若 A 中某一行或某一列的元素全為零，則 |A| = 0。 (2)若 A 中有兩行或兩列的元素完全相同，則 |A| = 0。 (3)若 A 為三角矩陣，則 |A| = a11a22 ……ann。 (4)若將 A 的某兩列(或行)相互對調而得矩陣 B，則 |B| = |A|。

(5)若 A 中某一列(或行)乘上實數 c 後而得矩陣 B，則 |B| = c |A|。 1-10 (5)若 A 中某一列(或行)乘上實數 c 後而得矩陣 B，則 |B| = c |A|。 (6)若 A 中某一列(或行)乘以實數 c 後，加到另一列(或行)上，而成矩陣 B 時，則 |B| = |A|。 (7)若 B 亦為 n 階方陣，則 |AB| = |A||B|。 (8) |AT| = |A|。 (9)若A為非奇異矩陣，則|A|  0，且　 　　 。 上述定理的結論(9)，可由(3)(7)及 A1A = In 而 得。

(1)若 A 為上(下）三角矩陣，則|A|為主對角線上所有元素的乘積。 (2)若 A 為對角線矩陣，則|A|為其對角線上所有元素的連乘積。 1-10-1 (1)若 A 為上(下）三角矩陣，則|A|為主對角線上所有元素的乘積。 (2)若 A 為對角線矩陣，則|A|為其對角線上所有元素的連乘積。 基本列(行運算)與行列式之關係 |A Rr  Rs | = - |A | |A cRr | = c |A | | A cRr + Rs |= |A |

ai1 Ak1 + ai 2 Ak2 + …… + ain Akn = 0 (1-13) 當 j  k 時， 1-11 若 A = [aij] 為 n 階方陣，則 當 i  k 時， ai1 Ak1 + ai 2 Ak2 + …… + ain Akn = 0　　 (1-13) 當 j  k 時， a1j A1k + a2j A2k + …… + anj Ank = 0　　 (1-14) 此定理說明，若行列式之任何行或列的元素乘以其他行或列所對應之餘因子並做加總，其加總值 為0。

伴隨矩陣 adj A，為矩陣A餘因子矩陣的轉置矩陣，可以用來求 A 的反矩陣。 1-16 若 A = [aij] 為 n 階方陣，則矩陣 adj A = [Aij]T 稱為 A 的伴隨矩陣(adjoint matrix of A)。 伴隨矩陣 adj A，為矩陣A餘因子矩陣的轉置矩陣，可以用來求 A 的反矩陣。

1-12 1-13 若 A 為 n 階方陣，|A|  0，則 A 為非奇異矩陣，且 若 A 為 n 階方陣，則齊次線性 聯立方程式 AX = 0 有不為零的 解之充要條件是 |A| = 0。 1-13

以下敘述皆為同義的 A是非奇異的。 x=0為Ax=0的唯一解。 A列等價於In 。 對於n1階矩陣b，線性方程組 AX = b只有唯一解A1 b 。 |A |0。

練習 令A為44的矩陣且|A |=-2 (a)試描述Ax=0的所有解 (b)若A的簡化列梯形矩陣為B，則B為何? (c)試描述Ax=b的解,其中b＝[1 2 3 4]T (d) Ax=b可能有多重解嗎?試說明之 (e) A1 是否存在？

1-14 Cramer’s rule 設有聯立方程式

且係數矩陣 A = [aij] 的行列式 |A|  0，則此聯立方程式有唯一解，其解為 其中 即 Ai 為 A 中的第 i 行以行向量 b = [b1, b2 ,……,bn]T 取代後的矩陣。 第 i 行 