第三章 刚体力学基础 习 题 课

刚体的运动——平动和转动. 定轴转动 —— 整个转轴相对参考系静止. 线量与角量的关系: 力矩 转动定律 转动惯量的定义式: 平行轴定理 转动惯量取决于刚体的质量、质量分布以及转轴的位置.

转动动能 重力势能 力矩功率: 力矩的功 刚体定轴转动的动能定理 刚体定轴转动的功能原理 若 刚体机械能守恒 按选定的系统, 确定机械能是否守恒.

质点的角动量 刚体对定轴的角动量 刚体定轴转动的角动量定理 称为dt 时间内刚体所受合外力矩的冲量矩. 刚体的角动量守恒定律 物体系的角动量守恒：

质点直线运动和刚体的定轴转动物理量对比 位移 x 速度 加速度 功 角位移  角速度 角加速度 质量 m 转动惯量 动能 转动动能 动量 角动量 功率 角功率

例1:求一质量为m,长为 l 的均匀细棒的转动惯量. (1) 转轴通过棒的中心并与棒垂直. (2) 轴通过棒的一端并与棒垂直. 解: 在棒上取质量元,长为dx, 离轴 O 为 x . 棒的线密度为: dm对转轴的转动惯量为: (1) 解为: (2) 解为: (原点O在棒的左端点)

例2: 一质量为m, 半径为R的均匀圆盘, 求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量. 解： r dr R o

挂钟摆锤的转动惯量 (杆长为l, 质量为m1, 摆锤半径为R, 质量为m2) :

例3: 如图,一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联, 绳子质量可以忽略, 它与定滑轮之间无滑动 例3: 如图,一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联, 绳子质量可以忽略, 它与定滑轮之间无滑动. 假设定滑轮的质量为m0 ,半径为R, 其转动惯量为m0R2/2, 滑轮轴光滑. 试求该物体由静止开始下落的过程中, 下落速度与时间的关系. 解: 由牛顿第二定律和刚体定轴转动定律: 对m: (1) 对m0: (2) (3) 恒矢量,与时间无关. 联立(1),(2),(3)解得: 由初始条件 ,得

例4: 一半径为R, 质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上. 若它的初始角速度为0, 绕中心O旋转, 问经过多长时间圆盘才停止 dr r 解：

例5: 一质量为m, 长为l的均质细杆, 转轴在O点, 距A端l/3 例5: 一质量为m, 长为l的均质细杆, 转轴在O点, 距A端l/3. 今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动,求: (1)水平位置的角速度和角加速度. (2)垂直位置时的角速度和角加速度. 解: 平行轴定理 O B A C 质心 转动惯量: (1)

例5: 一质量为m, 长为l的均质细杆, 转轴在O点, 距A端l/3 例5: 一质量为m, 长为l的均质细杆, 转轴在O点, 距A端l/3. 今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动,求: (1)水平位置的角速度和角加速度. (2)垂直位置时的角速度和角加速度. 解: (2) O B A C 质心

例6: 一质量为M, 半径R的圆盘, 盘上绕由细绳, 一端挂有质量为m的物体. 问物体由静止下落高度h时, 其速度为多大？ 解1: 由动能定理: M T m mg 解得：

解2: 将地球、圆盘、物体作为一个系统. 机械能守恒 mg T M m 解得：

例7: 已知: 如图滑块质量为m, 滑轮半径为R, 转动惯量为J,弹簧劲度系数为k, 斜面角度为. 不计摩擦 求(1)滑块下滑x时的加速度; (2) 下滑的最大距离. O x  R m k 解: (能量微分法) 以A,B,C,地球,斜面为系统, 机械能守恒. 沿斜面建立坐标, 以A的初始 位置为原点. (1) 设原点为势能零点. A下滑x时: 对t求导: 可得:

例7: 已知: 如图滑块质量为m, 滑轮半径为R, 转动惯量为J,弹簧劲度系数为k, 斜面角度为. 不计摩擦 求(1)滑块下滑x时的加速度; (2) 下滑的最大距离. O x  R m k 解: (2) 设滑块由静止释放沿斜面 下滑的最大距离为S, 则以A,B,C 为系统, 其机械能守恒. 原点为势能零点. 得

解: 人和盘组成系统.人走动时系统对轴的合外力矩为0,因此系统角动量守恒. 例8: 一质量为M, 半径为R的转台, 可绕中心轴转动. 设质量为m的人站在台的边缘上. 初始时人、台都静止. 若人相对于台沿边缘奔跑一周, 问: 相对于地面而言, 人和台各转过了多少角度? 解: 人和盘组成系统.人走动时系统对轴的合外力矩为0,因此系统角动量守恒.

例8: 一质量为M, 半径为R的转台, 可绕中心轴转动. 设质量为m的人站在台的边缘上. 初始时人、台都静止

例9: 一半径为R, 质量为M的实心橡胶轮以角速度0绕轴转动, 另一半径为r, 质量为m的小橡胶轮静止. 现使小轮与大轮接触 解: 由角动量定理: M R m r F F´ 注意: 此题两圆柱分别绕自身轴转动, 不满足角动量守恒定律.

例10: 已知m = 20g, M = 980g, v0=400m/s, 绳不可伸长. 求m射入M 后共同的 v =? O m M 解: 分析哪些物理量守恒. m、M系统水平方向Fx =0, 所以水平方向动量守恒. 而竖直方向绳子的冲力不能忽略, 动量不守恒. m、M系统, 对O轴角动量守恒(外力矩和为零), 有 绳换为棒, 情况如何?

(1) m M (2) m M 注意: 区分两类冲击摆 质点 柔绳无切向力 水平方向: Fx =0 ， px 守恒 mv0 =(m + M)v 对 o 点: , 守恒 mv0l = (m+M)v l (1) o l m M 质点 柔绳无切向力 质点 定轴刚体（不能简化为质点） o l m M Fy Fx (2) 轴作用力不能忽略, 动量不守恒, 但对 o 轴合力矩为零, 角动量守恒

讨论: 当两个力作用在一个有固定转轴的刚体上下列说法正确吗? (1) 这两个力都平行于轴作用时它们对轴的合力矩一定为零; (正确) (2) 这两个力都垂直于轴作用时它们对轴的合力矩可能为零; (正确) (3) 这两个力矢量和为零时,它们对轴的合力矩一定为零; (不正确) (4) 这两个力对轴的合力矩为零时,它们的矢量和一定为零; (不正确)

 M与同方向 讨论: 一圆盘可绕垂直于盘面且通过盘心的中心轴OO’以角速度沿顺时针方向转动. v  O O' (1) 在同一水平直线以相反方向同时射入两颗质量相同,速率相等的子弹,并留在盘中,盘的角速度如何变化? 答: 盘的角速度减小,因为角动量L=J不变, 但转动惯量J加大了.  O O' F F' (2) 两大小相等,方向相反但不在同一直线上的力沿盘面同时作用在盘上,盘的角速度如何变化? 答: 盘的角速度增大,因为转盘受到同向的力矩. M与同方向

答: A由水平下摆至垂直,机械能守恒. 以地面为零势点 A与B碰撞对O点角动量守恒: B向右滑动,根据动能定理: A向上摆动机械能守恒: 讨论: 如图,已知A: m,l, 质量均匀,开始时水平静止. B: m ,  , A竖直时被碰, 然后滑行距离S. m O A B l 问: 碰后A的质心可达高度h. 思考:几个过程,各有何特点? 答: A由水平下摆至垂直,机械能守恒. 以地面为零势点 A与B碰撞对O点角动量守恒: B向右滑动,根据动能定理: A向上摆动机械能守恒: 可解得:

例题: 解: 麦秆、甲虫系统角动量守恒. 甲虫沿杆爬行速度 麦秆的角速度为 碰撞 t 时刻

例题: 质量为m的小圆环套在一长为l质量为M的光滑均匀杆上,杆可以绕过其A端的固定轴在水平面上自由旋转 例题: 质量为m的小圆环套在一长为l质量为M的光滑均匀杆上,杆可以绕过其A端的固定轴在水平面上自由旋转. 开始时杆旋转的角速度为0而小环位于A处, 当小环受到一微小扰动后, 即沿杆向外滑行. 求: 小环脱离杆时环的速度大小和方向？ 解: 角动量守恒: 机械能守恒: 相对运动:

例题: 杆(m,l )与球(m‘,v0)弹性碰撞, 求碰撞后球和杆的速度、角速度. 解: 杆与球的系统对轴的角动量守恒 弹性碰撞  机械能守恒 解上二式

例题: 均质细杆长2l, 以垂直于杆的速度v在瞬时与支点A碰撞. 求: (1) 碰撞后杆的角速度. (2) 碰撞后机械能损失多少? 由角动量守恒

大作业题解 一. 选择题 C

C A

D 合外力矩矢量和为0 合外力可以不为0 J 不变 B

C

B

A

二、填空题 1． 一物体作定轴转动的运动方程为 （SI），则物体在 t =0时的角速度 ；物体在改变转动方向时的角加速度为 。 400rad·s-1 8000rad·s-2

2 0.15m·s-2 1.26m·s-2

点C，如图所示。则下抛初速度v0= ，在最低 点 B 时，细杆对球的作用力为 。 3．一根质量为 M，长为 l 的匀质细杆，一端连接一个质量 为 m 的小球，细杆可绕另一端 O 无摩擦地在竖直平面内转 动。现将小球从水平位置 A 向下抛射，使球恰好能通过最高 点C，如图所示。则下抛初速度v0= ，在最低 点 B 时，细杆对球的作用力为 。 填空题3图

7．设有一均匀圆盘形转台，其质量为M，半径为R，可绕竖直中心轴转动，初始时角速度为0。然后，有一质量也为M的人以相对园盘转台以恒速率u沿半径方向从转台中心轴处向边缘走去，则转台的角速度与时间t的函数关系 为 。

三、计算题 1．如图所示，两个匀质圆盘，一大一小，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮，小圆盘的半径为r，质量为m；大圆盘的半径为r¹=2r，质量m¹=2m。组合轮可绕通过其中心且垂直于盘面的水平固定轴O转动，整个组合轮对O轴的转动惯量为J=9mr2/2。两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，细绳的下端分别悬挂质量皆为m的物体A和B，这一系统从静止开始运动，绳与盘无相对滑动，绳的长度不变，且不计一切摩擦。已知r=10cm。求： （1）组合轮的角加速度； （2）当物体A上升h=40cm时，组合轮的角速度。 计算题1图 解： （1）

（2）物体A上升h时，组合轮转过的角度 由运动学方程： 得组合轮在该时刻的角速度：

2． 如图所示，两物体A和B的质量分别为m1和m2，滑轮质量为m，半径r，已知物体B与桌面间的滑动摩擦系数为，不计轴承摩擦，求物体A下落的加速度和两段绳中张力。 计算题2图 m2 m1 解：

设两轮之间没有相对滑动时的角速度分别为1和2， 则： 解： 由转动定律：

代入 解得：

解：（1） （2）