數學與文化:以數學小說閱讀為進路 洪萬生 台灣師範大學數學系退休教授 【本著作除另有註明外，採取創用CC「姓名標示－非商業性－相同方式分享」台灣3.0版授權釋出】

邏輯–哲學大戰 1911年，《數學原理》第一冊出版 維根斯坦成為羅素的學生 數學實在（mathematical reality）存在與否？ 維根斯坦與懷海德的兒子從軍！ 1914年，第一次世界大戰爆發，羅素開始反徵兵 羅素因反戰被監禁6個月 維根斯坦《邏輯哲學論》(1922)：「科學真相不足以讓我們瞭解這世界的意義。你必須跳脫這個世界！」（p. 267）

不完整（完備）的系統 希爾柏特：「 Wir mussen wissen. Wir werden wissen.」(我們必須知道，我們將會知道) 哥德爾發表不完備定理（incompleteness theorem)，粉碎希爾柏特「終將知道」的美夢！ 維也納學派領袖舒力克被納粹狂熱份子槍殺！ 羅素創立皮肯‧希爾教改學校失敗告終！

完結篇 希臘悲劇《奧瑞斯提亞》vs.《基礎探尋》 前者者靠著理性的雅典娜發明的新民主制度，打破了殺戮循環！ 復仇女神的意義？

數學邏輯與實在 重現羅素的一生：蒐集龐大資料，從中選擇、刪減、簡化、解釋，甚至自創。 儘可能貼近事實，但敘事連貫深入更優先考量。 虛構數學家的會面

附講：數學小說閱讀與 Alex Kasman 推薦書目 幼兒（For children） 1. The Dot and the Line: A Romance in Lower Mathematics（無可救藥愛上你：點與線的愛情習題）by Norton Juster 2. The Man Who Counted: A Collection of Mathematical Adventures（數學天方夜譚）by Malba Tahan 青少年（For young adults） 1. Logicomix（數學邏輯奇幻之旅）by Apostolos Doxiadis / Christos Papadimitriou 2. The Man Who Counted : A Collection of Mathematical Adventures（數學天方夜譚）by Malba Tahan 3. Math Girls（數學女孩）by Hiroshi Yuki 4. A Certain Ambiguity: A Mathematical Novel（爺爺的證明題）by Gaurav Suri / Hartosh Singh Bal

Alex Kasman 推薦書目 數學主修生、數學系研究生甚至是數學教授（For math majors, math grad students (and maybe even math professors)）  1. A Certain Ambiguity: A Mathematical Novel（爺爺的證明題）by Gaurav Suri / Hartosh Singh Bal 2. Letters to a Young Mathematician （給青年數學家的信）by Ian Stewart 3. Logicomix（數學邏輯奇幻之旅）by Apostolos Doxiadis / Christos Papadimitriou 4. The Man Who Counted: A Collection of Mathematical Adventures（數學天方夜譚）by Malba Tahan 5. Math Girls（數學女孩）by Hiroshi Yuki 6. The Parrot's Theorem（鸚鵡定理）by Denis Guedj 7. Uncle Petros and Goldbach's Conjecture（遇見哥德巴赫猜想）by Apostolos Doxiadis

Alex Kasman 推薦書目 科幻小說迷（For hardcore fans of science fiction） 1. Contact（電影：接觸未來）by Carl Sagan  一般讀者（For literati） 1. The Curious Incident of the Dog in the Night-time（深夜小狗神秘習題）by Mark Haddon 2. The Devotion of Suspect X [Yôgisha X no kenshin]（嫌疑犯X的獻身）by Keigo Higashino 3. Flatland: A Romance of Many Dimensions（平面國）by Edwin Abbott Abbott 4. Gulliver's Travels（格列佛遊記）by Jonathan Swift 5. The Housekeeper and the Professor (Hakase No Aishita Sushiki)（博士熱愛的算式）by Yoko Ogawa 6. Proof（電影 / 舞台劇：證明我愛你）by David Auburn (playwright) 7. Uncle Petros and Goldbach's Conjecture（遇見哥德巴赫猜想）by Apostolos Doxiadis

導讀《博士熱愛的算式》 洪萬生 台灣數學博物館策展志工

問題與討論 小說 vs. 傳記 小說家如何向人物傳記取經？ 數學小說 vs. 數學家傳記 小說 vs. 電影 日本文學教授 Stephen Snyder的進路

小說 vs. 傳記 參考《數字愛人》（保羅‧艾狄胥傳記） 人物原型：猶太天才數學家保羅‧艾狄胥 (Paul Erdos)，他始終由母親照顧生活起居，寡母去世後，改由葛立恆、金芳蓉夫婦接手。 打招呼的獨特方式：初見面時，保羅習慣的寒暄：「你什麼時候到的？」亦即你什麼時候出生？又，他稱小孩子為ε等等。(pp. 5-6)

取材之證據 柏拉圖主義：主要是第1章〈出自天書〉，第5章〈上帝創造整數〉，還有本書其他章內容。 柏拉圖主義者哈代 (G. H. Hardy) 喜歡板球，「他用解數學題與打板球進行類比，來為他的數學論文添加佐料。」(p. 71) 魯斯－ 阿倫數對 (pp. 163-164) 費馬最後定理與谷山－ 志村猜想 (pp. 177-181)

取材之證據 洞察力 (insights) 與聯繫 (connections)： 1. 高斯等差級數求和公式「出自天書」(p. 189)； 2.「數學就是發現聯繫，尋找特殊問題和一般結果之間、一個概念和另一個概念貌似無關但實際上相互聯繫的概念之間的關係。任何有意義的數學概念都不是孤立的。」(pp. 189-190)；

取材之依據 3.「e 是甚麼？就像π一樣，e也是一個無限非循環小數。歐拉將e的值計算到小數點後的第23位：2.718281828459045235326028…，該數可由下列無窮級數產生：(1/1!)+(1/2!)+(1/3!)+…+(1/n!)+… 表面上看來，e這個數並不怎麼『自然』，其所以有這種叫法，是因為它在諸如生長和衰亡這些基本過程的數學模型中經常出現，……如果數學的成功是用揭示貌似無關的概念之間的深層聯繫來衡量的話，那麼歐拉應該拿頭獎。

取材之依據 3.（續）歐拉注意到e的πi次方加上1等於0，這樣他大筆一揮就將π, e, i（虛數，-1的平方根）和最基本的數字0和1聯繫在一起，這恐怕是數學中最精鍊和最著名的公式了。請注意歐拉公式在表現形式上是多麼的美，多麼地簡潔，它不僅充滿了數學的美感，而且還富有神秘的魅力。」(pp. 191-193)

從數學敘事到文學敘事 敘事：數學 vs.小說 / 數學家（或科普作家）vs.小說家

小川洋子如何敘事 上帝筆記本：pp. 57-61 造物主創造了數字。（p. 31） 針對管家問他數論研究是發現正整數之間的關係嗎？博士回答：「沒錯是發現，不是發明。我要找出在我還沒有出世的遙遠過去，就已經不為人知地在某個地方存在的定理。就好像一字一句地抄下記錄在上帝筆記本中真理一樣。誰都沒有辦法預知這本筆記本到底在哪裡，什麼時候會打開。 在我想像的世界中，宇宙的造物主在遙遠的天際編織著蕾絲。是用上等真絲編織的，可以穿透任何微弱光線的蕾絲。只有造物主知道蕾絲的圖案，誰都無法搶走，也無法預測下一個圖案。」（p. 164）

柏拉圖主義：「我在和數字相愛的時候，你這樣魯莽地闖進來，比偷看人家上廁所更沒有禮貌。」（p. 17） 「真正的直線在哪裡？只有在這裡。」 博士把手放在胸口，和教我虛數一樣。 「永恆的真實是肉眼看不見的，也不會受到物質、自然現象和感情的影響，但數學可以解開真實的奧秘，也可以用數學來表現真實，任何東西都無法阻擋。」（小川洋子，2004，頁153）

有關魯斯－阿倫數對，小川洋子的敘事如下： 當發現他（按：即博士）和根號的座位分別是7-14和7-15時，就立刻說起這兩個數字的意義，根本忘了坐下來。 「714是貝比‧羅斯在一九三五年創下得全壘打紀錄。一九七四年四月八日，漢克‧亞倫從道其隊的阿爾‧道手上擊出第715支全壘打，打破了這個紀錄。 714和715的積等於最小七個質數的積。 714×715＝2×3×5×7×11×13×17＝510510 還有，714的質因數的和，與715質因數的和相等。 714＝2×3×5×7×17 715＝5×11×13 2＋3＋7＋17＝5＋11＋＋13＝29

具有這種性質的連續正整數很罕見。20000以下只有二十六組，叫做魯斯－亞倫數對。和質數一樣，當數字越大時，出現的積率就越小。最小的數對就是6和5。要證明這種數對是否有無數個，又是另一個傷腦筋的問題。但最重要的是，我的座位是7-14，根號的座位是7-15 絕對不能換位置，因為新人要打破紀錄，這是世間的邏輯。」

高斯等差級數求和公式 小川運用了兩種方法講解，其一是經由博士運用三角數（pp. 91-95），其二是管家和根號共同提出解法（pp. 49-65, 68-73, 76-78）。博士問根號1加到10如何運算？一般的作法是 (1＋10)=11，11×5=55。管家花很多天來思考。兒子告訴她，學校裡上體育課時，老師喊出「各排，向中間靠攏」。管家想到了「中間」的概念：

小川洋子的小說創作：《博士熱愛的算式》 歐拉公式：

歐拉公式 沈重的書本讓我的手麻痺了，我甩了甩手，重新翻開書本，腦海裡想著這位十八世紀最偉大的數學家，雷奧哈德爾‧歐拉。我雖然對他一無所知，但手拿這個公式，我覺得自己可以感受到他的體溫。歐拉用了這個極不自然的概念，編織出一個公式。他從這些看似毫無關係的數字中，發現了彼此之間自然的關聯。e 的π和 i 之積的次方再加上1 就變成了0。 我重新看著博士的紙條。永無止境地循環下去的數字，和讓人難以捉摸的虛數畫出簡潔的軌跡，在某一點落地。雖然沒有圓的出現，但來自宇宙的π飄然地來到 e 的身旁，和害羞的i 握著手。他們的身體緊緊地靠在一起，屏住呼吸，但有人加了1以後，世界就毫無預警地發生了巨大的變化。一切都歸於0。

管家的中庸之道 我把10寫在角落，將1到9寫成一排，並在5上畫了圈。 毫無疑問，5成為這九個數字的中心。前面有四個數字，後面也有四個數字追隨著。5昂首挺胸，自豪地向空中伸出雙手，似乎在向世人宣告，自己才是正確的目標。(小川洋子，2004，頁72-73) 管家把10拿掉 — 跟別的數字不一樣的兩位數 — 然後求取中間值（平均數），最後再把10加進來。她對待自己的人生亦復如此，差異與極端的部分且擱置一旁，先求取中間值：「向中間靠攏」。她不強調也不抱怨單親身份，而是訴諸於普遍性的母愛。

歐拉公式就像是暗夜中閃現的一道流星；也像是刻在漆黑的洞窟裡的一行詩句。我被這個公式的美深深地打動了，再度將紙條放進票夾。 走下圖書館的樓梯時，我回頭看了一下，數學書籍區仍然沒有一個人影，一片寂靜，沒有人知道那裡隱藏著多麼美的事物。(小川洋子，2004，頁167-168)

自然對數的底e=2.71828182845904523536028… 管家也認為這是上帝的旨意： 這個所謂的自然對數，一點都不自然。如果不用符號表示的話，即使用再巨大的紙，也無法把它寫完，用這種無法看到盡頭的數字為底，簡直太不自然了。就像螞蟻隨心所欲地大排長龍，嬰兒隨便亂堆的積木一樣，這個沒有規律永無止境的數列，竟然具備了合乎情理的意志，讓人無從著手。上帝的旨意太莫測高深了，然而，還是有人發現了上帝的旨意。但包括我在內的所有人，並沒有對這些人表示出應有的感謝。（小川洋子，2004，頁166-167）

如何閱讀？ 小說導讀：文學家的進路 小說版 vs.改編的電影版：敘事者何以改變？

英譯者 Stephen Snyder 「問題討論」（共有11則） 第1則：本書中的角色都沒有名字（根號只是一個暱稱）。當作者選擇在她的書中不給名字，這是什麼意思？身為一位讀者，這會改變你與他們的關係嗎？名字真有那麼重要嗎？ 第4則：博士告訴管家：「數學基於它的絕對性與無矛盾，已經證明了上帝的存在；然而，魔鬼也必定存在，因為我們無法證明它。」這一弔詭也可以應用到數學以外的其他任何事物嗎？或許記憶？愛？

第7則：1到10的總和不難求出，然而，博士堅持要根號找出特別的方法。最後，根號與管家攜手獲得答案。請問他們的解法具有主題式的重要性 (thematic importance) 嗎？一般來說，小川洋子如何利用數學例證來說明一個整體的世界觀 (a whole worldview)？ 第8則：棒球是一個充滿統計學的遊戲，因而也包含了一堆數目。討論根號和博士兩人喜好此一遊戲的迥異方式。

第10則：小川洋子選擇書寫實際的數學問題，而不是抽象地書寫數學。在某個意義上，她邀請讀者順著書中人物學習數學。你認為她為何這樣書寫？或許這是為了增強你對這些人物的同理心？ 第11則：數目（number）在本書的結構中是否負載任何意義？考慮本書有11章之事實。所有事物都可以量化嗎？又，所有數目都充滿了詩意的可能性 (poetic possibility) ？

版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 2 《邏輯哲學論》，路德維希‧維特根斯坦著(王平復譯)， 2維根斯坦《邏輯哲學論》：科學真相不足以讓我們瞭解這世界的意義。你必須跳脫這個世界！」 《邏輯哲學論》，路德維希‧維特根斯坦著(王平復譯)， 中國社會科學出版社，2009年12月01日出版，頁267。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。 3 Wir mussen wissen. Wir werden wissen David Hilbert，1930年希伯特接受 Konigsberg 贈予榮譽市民時發表的演說最後兩句話。為本作品屬公共領域之著作。 11 打招呼的獨特方式：…又，他稱小孩子為ε等等。 《數字愛人》，保羅.霍夫曼著(米緒軍、章曉燕、繆衛東譯)， 台灣商務出版社，2001年2月13日出版，第5~6頁。 12 柏拉圖主義者哈代 …，來為他的數學論文添加佐料。」 台灣商務出版社，2001年2月13日出版，第71頁。

版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 13 《數字愛人》，保羅.霍夫曼著(米緒軍、章曉燕、繆衛東譯)， 數學就是發現聯繫，…。任何有意義的數學概念都不是孤立的。」 《數字愛人》，保羅.霍夫曼著(米緒軍、章曉燕、繆衛東譯)， 台灣商務出版社，2001年2月13日出版，第180~189頁。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。 14-15 e 是甚麼？…，那麼歐拉應該拿頭獎。 台灣商務出版社，2001年2月13日出版，第191~193頁。 16 歐拉注意到e的πi次方加上1等於0，…，而且還富有神秘的魅力。」 17 沒錯是發現，…，也無法預測下一個圖案。 《博士熱愛的算式》，小川洋子著(王蘊潔譯)，麥田出版社， 2008年10月1日出版。第164頁。

版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 18 《博士熱愛的算式》，小川洋子著(王蘊潔譯)，麥田出版社， 在和數字相愛的時候，你這樣魯莽地闖進來，比偷看人家上廁所更沒有禮貌 《博士熱愛的算式》，小川洋子著(王蘊潔譯)，麥田出版社， 2008年10月1日出版，第17頁。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。 我可以感受到自己站著地面是由更深層的世界所支撐著，…，言語似乎已經失去了意義 2008年10月1日出版，第111頁。 「真正的直線在哪裡？只有在這裡。」… 永恆的真實是肉眼看不見的，…，任何東西都無法阻擋。 2008年10月1日出版，第153頁。 19-20 當發現他… 715＝5×11×13 2＋3＋7＋17＝5＋11＋＋13＝29 具有這種性質的連續正整數很罕見…，你同意嗎? 2008年10月1日出版，第117頁。

版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 21 《博士熱愛的算式》，小川洋子著(王蘊潔譯)，麥田出版社， 小川運用了兩種方法講解，…。管家想到了「中間」的概念： 《博士熱愛的算式》，小川洋子著(王蘊潔譯)，麥田出版社， 2008年10月1日出版，第70頁。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。 22 我把10寫在角落，將1到9寫成一排，並在5上畫了圈。…，自己才是正確的目標。 2008年10月1日出版，第72~73頁。 管家把10拿掉 — 跟…，而是訴諸於普遍性的母愛。 2008年10月1日出版，第73頁。 24 沈重的書本讓我的手麻痺了，…。e 的π和 i 之積的次方再加上1 就變成了0。 2008年10月1日出版，第163頁。

版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 24 《博士熱愛的算式》，小川洋子著(王蘊潔譯)，麥田出版社， 我重新看著博士的紙條。…。一切都歸於0。 《博士熱愛的算式》，小川洋子著(王蘊潔譯)，麥田出版社， 2008年10月1日出版，第163頁。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。 25 歐拉公式就像是暗夜中閃現的一道流星；…，沒有人知道那裡隱藏著多麼美的事物。 2008年10月1日出版，頁167~168。 26 這個所謂的自然對數，一點都不自然。…，並沒有對這些人表示出應有的感謝。 2008年10月1日出版，第167~168頁。 28 第1則：本書中的角色都沒有名字…或許記憶？愛？ The Housekeeper and the Professor. Ogawa, Yoko/ Snyder, Stephen (TRN) . St Martins Pr. 2009. 02. 03. 譯者Snyder, Stephen 之文末導讀。

版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 29 第7則：1到10的總和不難求出，… ，討論根號和博士兩人喜好此一遊戲的迥異方式。 The Housekeeper and the Professor. Ogawa, Yoko/ Snyder, Stephen (TRN) . St Martins Pr. 2009. 02. 03. 譯者Snyder, Stephen 之文末導讀。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。 30 第10則：小川洋子選擇書寫實際的數學問題，…又，所有數目都充滿了詩意的可能性 (poetic possibility) ？