第四章 平稳过程

在随机过程的大家族中，有一类随机过程，它的统计特性或者说统计变化规律与所选取的时间起点无关。或者说，整个随机过程的统计特性不随时间的推移而变化。 例如，飞机在某一水平高度h上飞行时，由于受到气流的影响，实际飞行高度H(t)总是在理论设计高度h水平上下随机波动，此时飞机的实际飞行高度H(t)是一个随机过程，显然此过程可看作不随机推移面变化的过程，这个随机过程，我们把它看作是平衡的随机过程。

此外当我们知道一个随机过程是平稳过程时，它应不随时间的推移而变幻无常。例如当我们要测定一个电阻的热噪声的统计特性，由于它是平稳过程，因而我们在任何时间进行测试都能得到相同的结果。

§4.1 定义和例子 定义严平稳随机过程：对于任意的t，随机过程X(t)的任意n维概密度都有 则称X(t)为严平稳随机过程。 §4.1 定义和例子 定义严平稳随机过程：对于任意的t，随机过程X(t)的任意n维概密度都有 则称X(t)为严平稳随机过程。 研究平稳过程的意义在于：该过程在任何时刻计算它的统计结果都是相同的。由定义知平稳随机过程的n维概度密度函数不随时间而变化，这一特性具体反映在随机过程的一、二维概率密度及数字特征方面具有如下性质：

性质4.1 若X(t)为平衡过程，则它的一维概率密度与时间无关 证 设X(t)的一维概率密度函数为 ，由于X(t)为平稳过程 ∴ 令 则 由此我们可求平稳过程X(t)的均值、均方值、方差。

显然，X(t)的均方值、方差都与时间t无关 。 由此知，当随机过程为平稳过程时，该过程的所有 样本函数总是它们均值——水平直线上下波动，样 本曲线偏离水平直线的幅度正好是 。

如图4.1所示，图中细实线表示随机过程的样本函数，粗实线表示随机过程的数学期望，虚线表示随机过程对数学期望的偏差。

性质4.2 平稳过程X(t)的二维概率密度只 与 的时间间隔有关，而与时间起点无关。 证：设X(t)的二维概率密度函数为 由于X(t)为平稳过程，所以对任意 有 若令 ，则 而 正是随机过程二维概率密度函数的时间间隔，令 ，则：

此式表明，平稳随机过程的二维概率密度函数仅依赖于 ，而时间的个别值 无关。由此，我们可以进一步来讨论平稳过程X(t)的协方差函数应具有什么样的表达形式。 又∵ ∴

顺便指出，由一个随机过程的平稳性研究可推广到关于两个随机过程的平稳性研究，可以这样说，若两个随机过程的联合概率密度函数不随时间的平移而变化，与时间的起点无关，则可称这两个随机过程是联合平衡的，或称平稳相依。

从上面介绍的严平稳随机过程的定义知，要判断一个随机过程是否是严平稳，需要确定该随机过程的任意n维概率密度函数族，它的变化是否与时间的平稳无关，这本身就是一个十分困难的工作，然而在工程上根据实际需要，我们往往只在所谓的相关理论范围内考虑随机过程的平稳性问题，这里所指的相关理论，就是指随机过程的数字特征，即数学期望、相关函数和今后要介绍的功率普密度等。当在相关理论又可指研究随机过程的一、二阶矩理论。

前面已经介绍过，对于一个随机过程X(t)，我们当然希望能建立起它的多维分布函数，因为随机过程的多维分函数能较完整地描述随机过程的统计特性，但是要建立多维分布函数往往很困难，因此我们一般在相关理论范围内也就是用数字特征来描述过程的重要特性，这种用数字特征来描述过程X(t)统计特性变化规律，对很多实际问题往往已能获得很好的效果，可以提取到所需的参数。

定义宽平稳过程：给定随机过程X(t)，如果 常数 且 则称X(t)为宽平稳过程（广义平稳过程）。 显然由宽平稳定义可知，要求 就要考虑X(t)的一维概率密度函数 和二维概率密度函数 。

下面我们来分析一下严平稳和宽平稳之间的关系。对于一个随机过程X(t)，如果它是严平稳的，且它的二阶矩存在及均方有界 ，则由严平稳 双因严平稳的一维概率密度与时间无关，即 ∴ 常数 又因严平稳的二维概率密度只与时间间隔有关，即

∴ 综上所述，严平稳一定是宽平稳 反之不一定成立，除非是高斯过程（正态过程）。 类似地，我们还可以给出两个随机过程联合宽平稳 定义。 定义联合宽平稳：对于平稳过程 若 则称 联合宽平稳。

顺便指出，今后凡提到“平稳过程”，通常是指宽平稳过程。 例4.1 设Y是随机变量，试分别考虑随机过程 的平稳性。 解 ∵Y是随机变量，∵ 这一过程是一个与时间无关的特殊的过程，它的任何n维概率密度函数 与时间无关，所以是一个严平稳。 ∵ 是严平稳 , ∴只要 则X1(t)是宽平稳。对于

都与时间 有关，所以 为非平稳。 例4.2 设 是一周期为T的函数， 是（0,T）上具有均匀分布的随机变量，称为 随机相位周期过程，试讨论它的平稳性。 解 由题设知 的概率密度函数为

要讨论X(t)的平稳性，由宽平稳定义知，需要求 。 当取定 为一随机变量 的函数 ，由求随机变量函数的数学期望公式知 当取定 为一随机变量 的函数 ，由求随机变量函数的数学期望公式知 ∵ 令 ，则 常数

又∵ 令

§4.2 遍历性定理 1. 各态历经问题的提出 对于一个随机过程X(t)，我们当然希望知道它们的分布函数，但很困难，于是我们退而求其次，考虑求它的数字特征即数学期望、相关函数等。但要求X(t)的数字特征，首先需要知道它的一、二维概率密度函数，即 这实际上又很难办，进而为我们求数字特征又带来困难。怎么解决这个问题呢？实际上，在工程中，要求X(t)的数字特征，我们自先是通过试验来产生一族时间样本函数

X(t)或者是做试验产生一个样本函数x(t)，然后再对样本函数x(t)取不同时刻，如 ，得所对应的结果 ，即此时随机过程可表示为 。 对任意指定时刻 的数学期望可近似表示为 协方差函数可近似表示为 来计算，显然这种用近似计算的方法来估计随机过程的数学期望及协方差函数要求n很大，即样本函数xk(t)很多。但这在实际工程又常常又很难做到，于是人们自然想到能不能够通过测试一个样本函数如

用一个样本函数xi(t)的均值和相关函数来近似随机过程的均值和相关函数，如果能，这为我们求随机过程的数学特征就带来了很大方便。 这里提出一个问题：怎样表示一个样本函数如x1(t)的均值呢？我们以下式来表示 显然x1(t)不同其积分结果一般不同。 于是对一个随机过程， ，其样本函数的积数结果可能不同。此时显然用一个样本函数的数字特征如 ，近似 是不正确的。但是如果当时间区间T充分大时，如果X(t)的绝大多数样本函数的均值

都有 则我们可用其中一个样本函数的均值 作 为 [X(t)]的近似，即 定义随机过程的时间均值和时间相关函数：称 为随机过程的时间相关函数。

注意：定义中 一般都是随机变量（常数可看作特殊的随机变量）。 由上述分析可知，是不是任何一个随机过程 ，它的数学期望、相关函数都可用其中的一个样本函数的均值和协方差函数来近似呢，显然不一定，一个自然的问题是X(t)在什么条件下可用一个样本函数的均值和协方差函数作为整个过程X(t)的均值，协方差函数的近似呢？

以概率1成立，则称随机过程X(t)均值具有各态历经性这里依概率1成立是指对X(t)的所有样本函数即 2. 平均随机过程的各态历经性 要回答上述的问题，我们设当X(t)为平稳过程且满足一定条件时，可用一个样本函数的均值和协方差函数作为过程X(t)的数字特征近似，为此我们给出如下定义： 定义：设X(t)是一个平稳过程 （1）若 以概率1成立，则称随机过程X(t)均值具有各态历经性这里依概率1成立是指对X(t)的所有样本函数即

以概率1成立，则称X(t)的协方差函数具有各态历经性。 由此知，此时，我们可用一个样本函数的均值如 的值作为 的近似值。反之，若已知X(t)的均值各态历程，则可用一个样本函数的均值作为过程X(t)的均值。 （2）若 以概率1成立，则称X(t)的协方差函数具有各态历经性。

这里若X(t)的协方差函数各态历经，就是指我们可用过程X(t)的一个样本函数、xn(t)的时间相关函数 即 作为过程的相关函数。 （3）若X(t)的均值和协方差函数都具有各态历经性，则称X(t)是宽各态历经过程，简称X(t)为各态历经过程。 综上所述，如果X(t)是各态历经过程，则必为平稳过程，此时可用过程的一个样本函数的数字特征作为过程的数字特征近似。

例4.3 设随机过程 式中 为参数，是（0.2, ）上均匀分布随机变量。 ① 求证X(t)是宽平稳过程； ② 该过程是否是各态历经过程。 解 ①

∴ X(t)为一宽平稳过程。 ②

显然由①、②结果再由随机过程各态历经定义知 ∴ X(t)为宽各态历经过程。

如果两个随机过程X(t)，Y(t)，当它们各自都是各态历经时，并且时间互相关函数与统计相关函数以概率1相等时，我们有如下定义： 定义两个随机过程联合各态历经： 设X(t)，Y(t)各自都各态历经 则称X(t)，Y(t)为联合各态历经过程。 同理当X(t)，Y(t)联合各态历经时，可用它们的一对样本函数的数字特征作为X(t)，Y(t)的数字特征近似。

性质4.3 平稳过程X(t)的均值具有各态历经性的充要条件是 3. 随机过程成为各态历经过程的判定 从前面的分析知，如果一个随机过程能成为一个平衡过程，这对我们研究各态历经，则该过程一定是平衡过程，反之则一定成立，于是很自然提出这样一个问题，能不能给出一些判定定理，使其可以很方便地判定一个平稳过程成为各态历经过程。通过对平稳过程的分析研究，我们给出如下的几个判定定理。 性质4.3 平稳过程X(t)的均值具有各态历经性的充要条件是 式中： 为平稳过程的协方差函数； 为平稳过程的数学期望。

例4.4 已知随机电报信号X(t)，它的 ， ，问X(t)是否均值各态历经。 解 ∵ ∴ X(t)是均值各态历经的。

性质4.4 平衡过程X(t)的协方差函数具备各态历经性的充要条件是 式中 平稳过程X(t)和Y(t)的互相关函数具有联合各态历经性的充要条件（4.7）式相似，只是将（4.7）式中相应的协方差函数改为互相关函数即可。

综上所述，对一个平稳随机过程X(t)通过性质1、2判定以后，如果X(t) 各态历经了，则对于该过程的数字特征，即求 ，我们可用 性质4.5 对于高斯平稳过程，如果它的均值为零，协方差函数连续，则该过程各态历经的一个充分条件是 综上所述，对一个平稳随机过程X(t)通过性质1、2判定以后，如果X(t) 各态历经了，则对于该过程的数字特征，即求 ，我们可用

也就是当X(t)各态历经时，我们可用一个样本函数的时间均值和时间协方差函数作为过程X(t)的数学期望、协方差函数的近似。 最后顺便说明，对于许多实际问题，如果要从理论上判定一个过程是否为各态历经过程，往往是比较困难。因此工程上经常都是凭经验把各态历经性作为一种假设，在后根据实验来检验这个假设是否合理。 在实际应用一般不可能给出随机过程X(t)的样本函数x(t)的表达式，因此，确定各态历经过程的数学期望、协方差函数，有两种方法：

第一种方法用模拟协方差分析仪，自动画出协方差曲线。 这种仪器的功能是当输入样本函数时，X-Y记录仪自动描绘出协方差函数的曲线。它的工作原理如图4.2所示。 图4.2

第二种方法用数字处理方法（即近似计算方法）。 如图4.2把[0，T]等分为N个长为 的小区间，再在时刻 ， 取样，得N个函数值 。于是再把积分表过式表示为基本区间上的和，就有数字估计式（4.8）。类似可以写出在 时的协方差函数估计式（4.9）式，由这个估计式可算出协方差函数的一系列近似值，从而可作出协方差函数的近似图形，见图4.3。

最后指出，工程上遇到的很多平稳过程，我们一般都把它看成各态历经过程，然后用各态历经的方法来确定过程X(t)的统计特性，看处理出来的结果是否与实际相符合，如果不相符合，再对过程的假设作修改。

§4.3 协方差函数和功率谱密度 1. 平稳过程协方差函数的性质 对于一个随机过程，它的基本数字特征是数学期望和相关函数，但是当随机过程为平稳过程时，它的数学期望是一个常数，经中心化后可以变为零，所以当过程X(t)平稳后其基本数字特征实际上就是相关函数。此外，相关函数不仅可向我们提供随机过程各状态间的关联特性的信息，而且也是求取随机过程的功率谱密度以及从噪声中提取有用信息工具。为此下面我们专门研究一下平稳过程相关函数的性质。

性质 4.6 证 ∵ 当 ， 即平稳过程的均方值可自由相关函数 得到。 性质 4.7 ，即平稳过程的协方差函数为偶函数。 同理

证 ∵ 任何非负函数的数学期望恒为非负值， 的平方均值，即 性质4.8 平稳过程X(t)协方差函数的最大点在 处 ，即 证 ∵ 任何非负函数的数学期望恒为非负值， 的平方均值，即 ∴ 又 ∵ X(t)平稳，∴

对于 ∵ 平稳随机过程的一维率密度函数不随时间的平缓而变化，即 ∴ 同理

性质4.9 周期平稳过程X(t)的协方差函数是周期函数，且与周期平稳地程的周期相同，即 证 设 ∵ 性质4.10 非周期平稳过程X(t)的协方差函数满足

求 。 解 ∵ ∴ 例4.6 非周期平稳过程X(t)的协方差函数。 求 。 解 ∵ ∴ 为了方便表征随机过程在两个不同时刻状态之间的线性关联程度，我们给出协方差系定义： 定义协方差系数：

特别取 ， 一般有 显然，协方差系数越接近1，状态之间的关联程度越高。也可以说，当状态与状态之间的时间间隔越小，状态之间的关系越高。因此相关系数可直观地说明随机过程不同两个状态的协方差程度的强弱或随机过程起伏的快慢。

相关时间 是另一个表示随机过程相关程度的量，它是利用相关系数来定义的。 一般相关时间的定义有两种，一种是把满足时的 作为相关时间 。其物理意义为：若随机过程X(t)的相关时间为 ，则认为随机过程的时间间隔大于 的两个时刻的取值不相关。另一种定义相关时间间隔大于的两相时刻的取值不相关。

之间的面积等效成 的矩形，如图4.3所示。因此有 另一种定义相关时间方法是将 曲线在 之间的面积等效成 的矩形，如图4.3所示。因此有 图4.3 协方差系数

2. 随机过程协方差函数性质 设 为两个平稳过程。 性质4.11 一般情况下，互相关函数 是非奇非偶函数，同理，互协方差函数 设 为两个平稳过程。 性质4.11 一般情况下，互相关函数 是非奇非偶函数，同理，互协方差函数 也是非奇非偶函数。 性质4.12 互相关函数的幅度平方满足 同理，互协方差函数满足

性质4.13 互相关函数和互协方差函数的幅度满足 同理 性质4.14 互相关系数 为了研究两个平稳过程的相互关联程度，我们引入互相关系定义 定义互相关系数： 可以证明 ，且当 时 互不相关。

习题四 1. 考虑一个具有随机相位的余弦波，它由如下定义的随机过程描述： ，其中 是常数， 服从 上的均匀分布，证明X(t)是宽平稳过程。 2. 考虑一个具有随机振幅的正弦波，它由如下定义的随机过程描述 其中，A、B为两个随机变量，且满足 ， ，度X(t)为宽平稳过程。

3. 设随机过程 是方差不为零的随机变量，试讨论其各态历经性。 4. 设X(t)是雷达的发射信号，遇到目标后返回接收机的微弱信号是 是信号返回时间，由于接收到的信号总是伴有噪声，记噪声为 ，于是接收机收到的全信号 。 ①若X(t)和Y(t)是联合平稳，求互相关函数 。 ②在①的条件下，假如N(t)的均值为零，且X(t)是相互独立，求 （这是利用互相关函数从全信号中检测小信号的接收法）。

5. 设有随机过程 ，其中A是具有瑞利分布的随机变量，其概率密度为 是在（0, 2 ）上具有均匀分布且与A相互独立的随机变量， 是一个常数，问X(t)是否是宽平稳过程。

3.功率谱密度 当我们在时间域内研究某一函数的特性时，如果确定起来不方便，在数学上我们可以考虑将此函数通过某种变换将它变换到另一区域，比如说频率域内进行研究，最终目的是使问题简化。傅里叶变换提供了一种方法，就是如何将时间域的问题转换到频率域，进而使问题简化。在频率域内，频率意味着信息变化的速度。即，如果一个信号有“高”频成分，我们在频率域内就可以看到“快”的变化。这方面的应用在数字信号分析和电路理论等方面应用极广。

是不是任何一个时间函数都可以将其通过傅氏变换变到频率域去研究呢？我们说当时间函数 满足绝对可积条件时可以。 然而，随机过程的样本函数，即 一般不满足绝对条件，因此随机过程不能直接进行付氏变换。此外，很多随要过程的样本函数极不规则，无法用方程描述。这样，若想直接对随要过程进行谱分解，显然也不行。但是，对随机过程进行某种处理后，同样可对随机过程施行傅里叶变换。

3.1 功率谱密度 为了研究随机信号的傅氏变换，我们首先简单复习一下确定信号 的频谱、能谱密度及能量概念，然后再引入随机过程的功率谱密度概念。 定理3.1 设S(t)是一个确定信号，且在 上，则S(t)的傅氏变换存在，或者说具有频谱 记为

∴ 一般频谱 是一个复数，且有 ，*表示共轭。我们知道，对于复数有 对于定理的物理解释是，或 代表电流或电压，则定理条件要求 ，即是要求 一般频谱 是一个复数，且有 ，*表示共轭。我们知道，对于复数有 ∴ 对于定理的物理解释是，或 代表电流或电压，则定理条件要求 ，即是要求 的总能量必须有限。 由积分变换的巴塞伐能量公式有

下面我们来解释一下公式的物理含义 等式左边表示 在 上的总能量，而右边积分中被积函数 相应地称为能谱密度。巴塞伐公式理解为时间域上的总能量可用频率域上的频谱能量表示。 然而，工程技术上有许多重要的时间函数总能量是无限的，不能满足傅氏变换绝对可积条件，如正弦 就是。我们要研究的随机过程，由于持续时间是无限的，所以其总能量也是无限的，即 所以随机过程的频谱不存在。

那么该如何应用傅氏变换工具来对随机过程进行化简研究呢？我们是这样考虑的，一个随机过程 ，尽管它的样本函数总能量是无限的，但它的平均功率是有限的，即 这是随机过程的样本函数在时间域上的平均功率表示。 这样，对随机过程的样本函数而方，虽然研究它的频谱没有意义，但研究它的平均功率确有意义。

图3.1 .1 及其截取函数 怎样具体表示随机过程一个样本函数的平均功率呢，我们是这样操作的：首先定义 的一个样本函数，不妨设为 ，再次地样本函数 任意截取一段，长度为2T，并记为 。称 为原样本函数 的截取函数，如图5.1所示。

用公式表示即为 于是 满足绝对可积条件。 ∴ 存在付氏变换，即 这里 称 为的频谱函数。

又由于随机过程 在随机试验中取哪一个样本函数具有不确定性。因此，不同的试验结果，就意味着随机过程可能取不同的样本函数，亦即样本函数与试验结果有关，为此，可将样本函数进一步表示为 ，当然该样本函数的截取函数也可相应表示为 ，显然它的傅氏变换也可表示为 。 又 ∵

由于引入随机过程样本函数的截取函数定义，所以又可给出上式随机过程的样本函数平均功率在频率域的表示形式。 在上式中，令 则称（3.1）式为随机过程X(t)的样本函数的功率谱密度函数。 定义样本函数的功率谱密度 式中， 为截取函数 的频谱。

又∵ 随机过程是由一族样本函数组成，即 显然对每一个样本函数，按照上面类似的方法都呆以求出它的一个样本函数的功率谱密度，于是对所有的样本函数取统计平均就可给出随机过程的功率谱密度定义。 定义随机过程的功率谱密度：

随机过程的一个样本函数的平均功率的表示形式，有两种 类似的，可求出X(t)的所有样本函数的平均功率表示形式，然后取统计平均，则可以给出随机过程的平均功率定义，定义随机过程的平均功率：

由随机过程平均功率定义可知，要求随机过程的平均功率可用两种方法，一种方法是求出 ，即过程的功率谱密度，然后再积分，另一种方法是先求出过程的增方值 ，再积分。 特别地，当我们研究的随机过程是平稳过程时，此时的平稳过程平均功率可表示为： ∵ X(t)平稳 ∴

∴ 该式说明：平稳过程的平均功率等于该过程的均方值，也可由随机过程的功率谱密度在全频域上积分得到。若随机过程再各态历经，则各态历经过程的功率谱密度可用一个样本函数的功率谱密度来表示：

式中， 是常数， 上均匀分布随机变量，求 的平均功率。 解 ∵ ∴ 例3.1 随机过程 式中， 是常数， 上均匀分布随机变量，求 的平均功率。 解 ∵ ∴ 显然该过程不平稳。

∴ 3.2 功率谱密度与协方差函数的关系 通过对随机过程的分析，我们知道随机过程的相关函数是从时间有度描述了过程的重要统计特性，而随机过程的功率谱密度是从频率角度描述了过程的统计特性，二者是异曲同工，研究的都是一个对象，于是人们自然提出一个问题，随机过程的相关函数和它的功率谱密度之间是否存在一定关系，我们说当随机过程平稳且满足一定条件时，它们之间存在一定关系。

定理3.2 如果平稳过程X(t)的相关函数 绝对可积，即 则过程X(t)的相关函数和功率谱密度之间存在付氏变换，即

例3.2 设X(t)是平稳过程，共相关函数 ，其中 、 是正数，X(t)的谱密度 。 解 最后需要指出，在实际问题中常常碰到一些平稳过程，它的协方差函数或功率谱密度在通常意义可能付氏变换不存在。如果我们允许协方差函数或功率谱密度函数含有函数定义下协方差函数与功率谱密度存在付氏变换。

定义函数：如果函数 满足 则称函数 为 函数。 性质3.1 若 为无穷次可微函数，则 或 例3.3 求 的付氏变换。

例3.4 求 的付氏逆变换。 解 ∵ 又 ∵ ∴

例3.5 若随机过程X(t)的协方差函数为 解

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