第 17 章 電位
17.1 電位能 就如同重力位能一樣，電位能的變化即為電場作功的負值。因為電荷間的力量可為吸引或排斥，所以電位能可以是正的或負的；若是電荷符號包括在內，則電位能的公式則會有正確的符號 (與庫侖力的公式不同！)。 (17-1)
圖17.1 (a) 一個物體在重力場中運動；重力位能改變. (b) 一個帶電粒子在電場中運動；電位能改變。 較高的重力位能區 較高的電位能區 正電荷 運動方向 運動方向 較低的電位能區 較低的重力位能區
圖 17.2 (a)重力吸引 (b)電的吸引 (c)電的排斥
17.1 在雷雨雲中的電位能 在大雷雨中，電荷經由太陽所最後主導的複雜機制而分離。正電荷堆積在上方而負電荷堆積在下方所形成的點電荷，對此為雷雨雲中電荷的一個簡單化模型 ( 圖17.3)。(a) 假設兩電荷分隔無限遠時，則此點電荷對的電位能如何表示？(b) 基於在雷雨雲中外力需施予正功得以分離電荷的事實，解釋電位能的符號。
解答與討論： (a) 兩個點電荷的電位能之一般表示式為 庫倫常數是 我們將已知值代入此電位能的方程式中。 圖17.3 在雷雨雲中電荷的分離
(b) 記得我們選擇在分隔無限遠時 U = 0。因此，負的電位能意謂著如果這兩個點電荷開始時是分隔無限遠，當它們放在一起時，它們的電位能將會減少。在沒有其他的力出現時，它們將自動地朝對方“降落”。然而在雷雨雲中，相異電荷開始時是緊靠一起，藉由外力而移動開來；此外來起因必須做正功來增加電位能並將電荷分開。起先，電荷開始時是緊靠一起，電位能是少於 -1 × 109 J；當電荷移動開來時，電位能的變化是正的。
幾個點電荷的位能 多個電荷的總電位能是每一對電荷電位能的和。 (17-2)
17.2 三個點電荷的電位能 求出圖17.4所示電荷陣列的電位能。電荷 q1 = +4.0 mC 位於 (0 , 0) m處；電荷 q2 = +2.0 mC 位於 (3.0 , 4.0) m處；電荷 q3 = -3.0 mC 位於 (3.0 , 0) m處
解答： 由圖17.4中，r13 = 3.0 m， r23 = 4.0 m 。畢達哥拉斯定理幫助我們求出 r12： 電位能中每一對有一項： 將數值代入
17.2 電 位 電位能與兩個電荷有關；而定義一個僅與單一電荷有關的量是很有用的。這個量即為電位，是單位電荷所具有的電位能 (此對應於電力與電場間的關係) 。電位的單位是伏特 (V) 。電位就如同電位能一樣是純量。只有電位的變化 (不是電位本身的值) 才有物理意義。
空間中某點的性質 純量 向量
向量 每單位電量 為其梯度 為其梯度 純量 每單位電量 圖17.5 力、場、位能以及位勢之間的關係 點電荷 q 在空間中某點的性質 圖17.5 力、場、位能以及位勢之間的關係 點電荷 q 在空間中某點的性質 空間中某點的性質 向量 每單位電量 為其梯度 為其梯度 純量 每單位電量
(17-3) (17-4) (17-5)
電位差 兩點間的電位差是指兩者電位的不同。作用在一個電荷的電力的方向是指向較低電位能的方向。當電位能較低時，正電荷即有較低的電位；但是當電位能較高時，負電荷則有較低的電位。 ，
(17-6) (17-7)
17.3 一個電池供電的提燈 將一個電池供電的提燈打開 5.0 分鐘。在這段時間內，有總電荷 -8.0 × 102 C 的電子流過燈絲，9600 J 的電位能轉化成光與熱。請問電子通過的位差是多少？
解答： 通過燈絲的總電荷為 q = -800 C。電位能的變化是負的，因為它被轉化為其他形式的能量。因此， 討論： 位差的符號是正的：當負電荷通過一個正位差，它們減少了電位能。
一個點電荷的電位 一個點電荷的電位可以由其電位能來求得。 (17-8) (17-9)
多個點電荷的電位 dQ r x dV
17.4 三個點電荷的電位 電荷Q1 = +4.0 mC 位於 (0.0 , 3.0) cm處；電荷Q2 = +2.0 mC位於 (1.0 , 0.0) cm處；電荷Q3 = -3.0 mC 位於 (2.0 , 2.0) cm處 ( 圖17.6)；(a) 求出由這三個電荷在 A 點 (x = 0.0，y = 1.0 cm) 所造成的電位；(b) 一個點電荷 q = -5.0 nC 從很遠的距離移動到 A 點。請問電位能的變化是多少？ 圖17.6
解答： (a) 由格子可知 r1 = 2.0 cm。從 Q2 到 A 點的距離是一個邊長1.0 cm 正方形的斜邊長。因此， 。第三個電荷所在位置的距離，等於一個邊長 2.0 cm 與 1.0 cm 的直角三角形的斜邊長。由畢達哥拉斯定理， 在 A 點的電位，是每一點電荷所造成的電位的總和：
將數值代入 取兩位有效數字，在 A 點的電位為 +1.9×106 V 。 (b) 電位能的變化為 此處 ΔV 為電荷 q 通過的位差。如果我們假設 q 從很遠的地方開始運動，則 Vi = 0。因此，
17.5 在一個正方形中心處的電場與電位 四個相等、正的點電荷固定在一個邊長 s 正方形的角落處 ( 圖17.7(a))。(a) 在此正方形中心處的電場為零嗎？(b) 在此正方形中心處的電位為零嗎？ 圖17.7
對策： (a) 在中心處的電場，是每一個點電荷所產生的電場的向量和。圖17.8(b) 顯示由每一個電荷在此正方形中心處所產生的電場向量。這些向量都有相同的大小，因為中心處到每一角落是等距離的，而且四個電荷是相同的。由對稱性可知，電場的向量和為零。 (b) 因為電位是一純量而非向量，在此正方形中心處的電位，是每一個點電荷所產生的電位的純量和。這些電位都是相等的，因為距離與電荷都相同。因為 q > 0，每個電位都是正的。在此正方形中心處的總電位為 其中 是此正方形中心到每一角落的距離。
球形導體的電位 由於在球形對稱導體外部的電場就有如電荷置於球心處一般，所以球形導體的電位與點電荷的電位相類似。由於導體內部沒有電場，所以內部的電位相同，均等於表面電位。
圖17.8 由一個半徑R、電荷Q的中空導電球所產生的電場以及電位，與離中心的距離r的函數關係
醫學中的電位差 肌肉細胞也利用此電位差來造成收縮。在肌肉細胞及別處的電位差，可以被測量到並且用來作為病症診療之用。主要的有心肌 (心電圖 ) ，腦波 (腦波圖 ) ，以及視網膜活動 (視網膜電流圖 ) 。
17.3 電場與電位之間的關係 等位面 一個均勻電場中的電位 導體內部的電位
17.3 電場與電位之間的關係
圖15-3 靜電場為保守力場，靜電場中電力所作的功與路徑無關。
17.3 電場與電位之間的關係 在均勻電場中
等位面 就如同用電力線來觀察電場，我們可以用等位面來觀察電位。這是各處電位均相同的面，沿著等位面移動電荷並沒有作功。等位面必定垂直電力線。此方向也是做功最大的方向。
圖 17.11 (a) 一天氣圖。在一等壓線上任何點的大氣壓力是相同的；(b) 一地形圖，顯示出固定高度的等高線
圖17.12 接近一個正的點電荷的等位面。圓形代表等位面與此頁平面的交點。當我們遠離一個正電荷時，電位會下降。電場線是垂直於球形表面且指向較低的電位。等位面之間的間距隨著距離的增加而增加，因為電場變得較弱。 .A .B
一個均勻電場中的電位 均勻電場中的電力線是相互平行且等間距的；因此等位面是垂直於電力線的平面。
均勻電場中的電位 (17-10) (17-11)
不均勻電場中的電位 (電位梯度) 電位梯度的方向是在朝電位變化量為最大的方向，而電場的方向是在其相反方向。
導體內部的電位 在靜電平衡下的導體內部沒有電場，所以各處的電位必定相同。 →導體又稱為等位體
等位體 證明:在一個彎曲的導電表面上，淨電荷是更密集地集中在最大曲率的區域。
證明:
尖端放電
17.4 移動電荷的能量守恆 當探討電荷移動時的能量守恆，電位能必須包含在內。
17.6 電子槍 圖17.14顯示位於電腦螢幕、電視、示波器以及x射線管中的陰極射線管的第一階段 ── 電子槍 ── 的一個簡化模型。電子先從一加熱的燈絲 ── 陰極 ── 激發出來，然後加速朝向 8 kV 到 20 kV 電位 ( 高於陰極 ) 的陽極。電子以高速通過陽極中心的一個小孔，並朝向螢幕。如果陽極與陰極之間的電位差為 12 kV，當電子通過陽極中的小孔時是以多少的速率移動？假設電子剛離開陰極時的初始動能是可忽略的。
圖 17.14 控制柵 陽極 陰極 熱燈絲 電子束
對策： 利用能量守恆，我們將初始動能與位能的總和設定等於最終動能與位能的總和。將初始動能看成是為零。一旦我們求出最終動能，我們就能解出速率， 已知：Ki = 0；ΔV = +12 kV 求：v 解答： 電位能的變化為 由能量守恆 解出最終動能
要求出速率，我們設 解出速率 對於一個電子而言， 將數值帶入，
17.5 電容器 電容器是儲存電位能的裝置，是由兩個等量且帶異性電的導體所組成。對於平行板電容器，它的板是平坦且相互平行的。 若是兩板間距對於板的大小而言是很小的，則兩板間的電場可視為均勻的。兩者間的電位與所帶的電量、間距、以及板的面積有關。電量與電壓是線性的關係；比例常數與電容器的形狀有關，稱作電容。電容的單位是法拉 (F). 若是板的間距發生變化，則電容亦會變化；這可以用來設計一些裝置，例如調諧器。
17.5 電容器 電容的定義: (17-14)
圖17.16 兩個帶有相等大小且相反符號電荷的平行金屬板之側面圖。這兩個電板之間有一電位差；正的電板是在較高的電位 圖17.16 兩個帶有相等大小且相反符號電荷的平行金屬板之側面圖。這兩個電板之間有一電位差；正的電板是在較高的電位
平行板電容之表面電荷密度 (17-12) 平行板電容之電場 (17-13) 平行板電容之電位差的大小 (17-14)
平行板電容器的電容: +Q d -Q + ¯ A + ¯ + ¯
獨立導體球電容: R
圖17.18 一個電荷從帶負電電板被移動到帶正電電板。由於電場反抗電荷的運動，必須藉由外力，例如電池，來做功。 圖17.18 一個電荷從帶負電電板被移動到帶正電電板。由於電場反抗電荷的運動，必須藉由外力，例如電池，來做功。
17.7 電腦鍵盤 在一種電腦鍵盤中，每個按鍵是連接到一個平行板電容器的一個電板上；另一個電板是固定位置的 ( 圖17.20(a))。電容器藉由外部的電路而維持在 5.0 V 的固定電位差。當按下按鍵時，上方的電板移動靠近下方的電板，改變電容並使電荷流過電路。如果每個電板是一個邊長 6.0 mm 的正方形，且當按下按鍵時電板分隔距離從 4.0 mm 變為 1.2 mm。請問多少電荷流過電路？電容器上的電荷是增加還是減少？假設電板之間有空氣，而非柔韌的絕緣體。
圖17.20 (a) 基本上，這種電腦鍵盤只是一個帶有可變的電板間距的電容器。當電荷流過電板之間時，電路偵測電板間距的改變；(b) 這個麥克風利用一個帶有一個移動電板的電容器，來產生一個電的訊號
解答： 一個平行板電容器的電容可以由式 (17-15) 得到： 面積是 A = (6.00 mm)2。由於電位差ΔV是保持固定的，電板上電荷大小的變化為
將數值代入 由於 ΔQ 是正的，電板上電荷的量增加。 討論： 如果電板更為靠近，電容增加。較大的電容意謂著對於一已知的電位差可以儲存更多的電荷。因此，電荷的量增加。
將電容器放電 利用導體連接兩板，可以使電容器放電。 圖17.21 (a) 一個充電的電容器；(b) 當一個導線連接這兩個電板時，下方電板上的過量電子 ( 總電荷-Q) 流向上方電板，使兩個電板變成未帶電的
17.6 電介質 藉由縮小兩板間距，能使電容器的電容增大，但是會導致崩潰 。這可以在兩板間填充絕緣體 (亦稱作電介質) 來加以穩固，如此亦可藉由材質的極化來增加電容。藉由此材料的介電常數可以測得電容增加若干；而電介質強度可以得知此材料在崩潰前能經受住 多強的電場 (所以那些電介質強度較空氣為大者才是有用的材料) 。
物質在20°C時的介電常數以及電介質強度 ( 以介電常數增加來排序 ) 表 17.1 物質在20°C時的介電常數以及電介質強度 ( 以介電常數增加來排序 ) 電介質強度 真空 空氣 ( 乾燥的，1大氣壓 ) 石臘紙 鐵弗龍 橡膠 ( 硬化的 ) 紙 ( 銅版 ) 雲母 電木 玻璃 鑽石 瓷 橡膠 ( 尼奧普林 ) 二氧化鈦陶瓷 水 鈦酸鍶 尼龍11 鈦酸鋇
介電常數
真空中之平行板電容器的電容 介電常數的定義
真空中之平行板電容器的電容 帶有電介質之平行板電容器的電容
帶有電介質之平行板電容器的電容 所以介電常數的定義可以寫成
帶有電介質之平行板電容器的電容 電介質之電容率常數
物質在20°C時的介電常數以及電介質強度 ( 以介電常數增加來排序 ) 表 17.1 物質在20°C時的介電常數以及電介質強度 ( 以介電常數增加來排序 ) 電介質強度 真空 空氣 ( 乾燥的，1大氣壓 ) 石臘紙 鐵弗龍 橡膠 ( 硬化的 ) 紙 ( 銅版 ) 雲母 電木 玻璃 鑽石 瓷 橡膠 ( 尼奧普林 ) 二氧化鈦陶瓷 水 鈦酸鍶 尼龍11 鈦酸鋇
電介質中的極化 當電場作用時，電介質內的分子發生極化 – 電子分布的中心與質子分布的中心產生些微的位移。此導致電介質的表面產生感應電荷，而能吸引更多的電荷於電容器的平板上；亦能降低電介質內部的電場。
圖17.22 一個帶正電棒在一個鄰近的原子中感應出極化。 圖17.22 一個帶正電棒在一個鄰近的原子中感應出極化。 未極化的 原子 帶電棒 極化的原子
圖17.23 (a) 介電物質中分子的極化；(b) =2的電介質位於平行板電容器的平行板之間。 +Q -Q 電介質 極化電荷
17.8 帶有電介質的平行板電容器 一個平行板電容器具有面積 1.00 m2 與間距 0.500 nm 的平板。絕緣體具有介電常數 4.9 與電介質強度 18 kV/mm。(a) 請問電容為何？(b) 請問在此電容器上能儲存的最大電荷為何？
解答： (a) 電容為 (b) 最大的電位差為 利用電容的定義，最大的電荷為
17.7 電容器中儲存的能量 電容器將能量以電位能的形式儲存於電場內。可以藉由計算電荷分離至兩板所作的功，即可找出此能量。
圖17.24 一個平行板電容器藉由電池充電。總電荷-Q的電子從上面平板移動到下面平板，使得兩個平板帶有相同大小且相反符號的電荷
電容器中儲存的能量
電容器中儲存的能量 (17-18a) (17-18b) (17-18c)
電場中儲存的能量 儲存於電容器內的總能量與其大小有關，但是每單位體積的能量則僅與電場大小有關。能量密度的公式是一體適用的 –– 無論來源為何，只要是電場均適用。 能量密度 (17-19)