Chapter 3 貨幣的時間價值

學習重點 認識利率與終值的關係。 了解折現值的意義與計算。 介紹年金的計算。 了解淨現值與投資決策的關係。

單利與複利 假設在今年初，小毅決定在甲銀行存入新台幣1,000元兩年，銀行每年提供10%的年利率 情況1：每年年底把利息領出 即為單利(Simple Interest)，那麼兩年後小毅存款的總價值＝本金×(1＋r)＝1,000×(1＋0.1)＝1,100元

單利與複利 情況2：把第一年的利息加入下年的本金 即為複利 (Compound Interest)，那麼兩年後小毅存款的總價值＝本金× 在單利的情況下，利息並沒有被再投資，但是在複利的情況下，利息是被再計算的

終值(Future Value) 複利的終值之一般式： FV表示終值，PV表示期初本金，r表利率，n表期數 稱為終值因子(Future Value Interest Factor)

終值應用 E.g.假設小毅決定將錢放在銀行10年，期間完全不將利息領出，則在10年後，小毅原本的1,000元將會變成多少錢呢？1,000×2.594＝2,594 元

現值(Present Value) 小毅想在甲銀行存入一筆錢，計畫利用銀行提供 的10%利率，預期兩年後獲得1,000元，那麼小毅 現在應該存入多少錢? 小毅所煩惱金額就是所謂的現值(Present Value) 而 計算現值的過程稱為折現(Discounting) 現值的一般式： r 稱為折現率(Discount rate) 稱為現值因子或折現因子

現值的應用 假設小毅想要買一台價值8,000元的iPod，有兩個方案。(1)只需付頭期款3,000，剩下的金額2年後零利率償還；(2)一次付清打9折。在銀行利率為10%的情況下，你的選擇是？ 方案(1)的現值為： PV＝3,000＋5,000× ＝7,130 元 方案(2)的現值為： PV＝8,000×0.9＝7,200 元 雖然方案(1)的應付總金額8,000元比方案(2)多，但是在考慮現值後是方案(1)比較划算的！

永續年金(Perpetuity)的現值 永續年金是指每期給付固定金額的現金流量且無終止給付的日期 永續年金的公式： C表示每期所收到的固定金額給付 0 1 2 3 4 5 6 7 …………… C C C C C C C ……………

永續年金的應用 小毅加入一個永續年金的計畫，此永續年金每年給付小毅1000元。已知利率為8%，請問此永續年金的價值是多少？ 假設利率下降為5%，價值會變成多少？ 利率為8%時： 利率為5%時：

年金(Annuity) 年金就是在一段有限期間內，每期固定給付等額的現金流量 年金比永續年金更為普遍 退休金、房東所收的房租、銀行收的貸款本息等都是年金 年金分為： 1.普通年金（Ordinary Annuity）：現金流量發生在期末 2.期初年金（Annuity Due）：現金流量發生在期初

年金(Annuity)公式 永續年金A從第1期末開始給付C現金流量，其現值為： 永續年金B則從第n+1期才開始給付C現金流量，現值為： 0 1 2 3 n n+1 n+2 永續年金A C C C ….C C C ……… 永續年金B C C ……… 年金Y C C C ….C

年金(Annuity)公式 永續年金 A=永續年金 B + 年金 Y 所以年金Y的現值可以寫成： 其中 稱為年金因子 0 1 2 3 n n+1 n+2 永續年金A C C C ….C C C ……… 永續年金B C C ……… 年金Y C C C ….C 永續年金 A=永續年金 B + 年金 Y 所以年金Y的現值可以寫成： 其中 稱為年金因子

年金的應用 小安日前中了一百萬元彩券頭獎，獎金支付方式為未來10年每年給付獎金10萬元。第一次獎金給付是一年後的今天。假設市場均衡利率為6%，請問小安實際拿到的獎金是多少？

成長型年金(Growing Annuity) 可以利用類似於推導年金現值的方式來推導出成長型年金的現值公式 成長型年金的現值公式：

期初年金(Annuity Due) 前面提到的年金都是在期末才支付現金流量 期初就先給付現金流量稱為期初年金

期初年金應用 小毅加入一個期初年金的計畫，每年給付小毅 1,000元，且小毅在一加入的時候，就能先獲得1,000元。已知利率為8%，3年後到期，現值為多少？

貸款攤銷(Loan Amortization) 分期付款的問題，例如：房貸、車貸、助學貸款等。我們可以利用現值的公式來計算我們每期該還銀行多少錢

貸款攤銷應用 小毅決定要買一間公寓，售價為新台幣800萬元，小毅手上沒有這麼多的存款，於是他打算跟銀行申請房屋貸款。小毅目前能先付頭期款100萬元，剩下的700萬元，他打算向銀行申請為期20年，每年攤還一次的貸款，貸款利率為8%。請問小毅每年該還銀行多少錢？ 每期攤還金額為712,976元

複利計息頻率 前面的討論都假設一年計息一次。若一年內複利 計息次數超過一次，對未來值會帶來什麼影響? E.g.假設甲銀行存款一年的年利率為10%，小毅於本期期 初存入1,000元，若(1)每年計息一次；(2)每半年複利計息一次；(3)每季複利計息一次，一年後各有什麼差別？ (1) (2) (3) 同一期間內複利計息次數 愈多，一年後獲得的利息 就越多

複利計息頻率的公式 多期的情形下，每期複利計息m次，假設年利率為r，本期期初存入 元 ，T期後的未來值變為： 其中r又稱為名目利率(Stated Annual Interest Rate) E.g.小安打算期初投資10萬元，年利率16%，以複利計息，每季計息一次。請問3年後，小安的投資收益為何?

有效年利率 (Effective Annual Interest Rate) 為了方便比較不同複利計息頻率情形下同一期間的平均投資報酬率，我們常以有效年利率(EAIR)來衡量不同複利計息頻率(m)的年平均投資報酬率

有效年利率應用 假設小毅投資1元，名目利率為12%，每個月計息一次，請問1年後小毅的1元報酬率為多少？ 報酬率為12.7% > 名目利率12% 12.7%就是所謂的有效年利率(EAIR)

有效年利率的公式 星星銀行的信用卡，現在借錢，年利率為21%，即每個月利息只要1.75%！請問小毅向星星銀行借錢，實質上面臨的有效年利率是多少呢？

有效年利率與名目利率之比較 計息頻率 名目利率 有效年利率 每年(m=1) 12% 每半年(m=2) 12.36% 每季(m=4) 12.550% 每月(m=12) 12.682% 每週(m=52) 12.689% 每天(m=365) 12.747%

連續複利 (Continuous Compounding)與折現 隨著計息頻率的增加，有效年利率也不斷的上升，如果計息頻率再繼續細分下去，每小時、每分鐘、每秒鐘等等 細分的極限是每一瞬間，當每一瞬間都不斷計息的時候，我們稱之為連續複利 連續複利的公式：

淨現值(Net Present Value) 應用在日常生活的預算決策上 根據該方案的需要報酬率，將現金流入折算成現值並加總後，再減去期初的投資金額 NPV寫成一般式為： r是投資方案的需要報酬率， 是期初的投資金額， 是第t期的現金流入

淨現值法則 NPV＝0  沒有產生任何增加的價值 NPV > 0  該方案有收益，值得執行

淨現值法的應用 有一間小套房，目前售價120萬元，從第1年末就可以開始回收房租，每年末都可以收到20萬元的房租，假設此套房房租共可回收10年，折現率為12%，請問該購買這間小套房嗎？ 不值得投資

1. 若預期三年後要獲得$1,000，在年利率4%的情況下，現在應該存入? 終值因子(4%,3)=1.125 現值因子(4%,3)=0.889 2. 假設有一個年金計畫，每年給付$10,000，已知利率為7%，5年後到期，則此年金的現值為? 年金因子(7%,5)=4.100 3. 有一間套房，售價為新台幣800萬元，若先付頭期款200萬元，剩下的分20年分期攤還，每年攤還一次的貸款，貸款利率為6% ，則每年該還銀行? 年金因子(6%,20)=11.47

4. 若年利率為16% ，每季付息一次，名目利率與有效利率的差為?