第 5 章 財務數學

5.1 複利 單利 Tan/管理數學 第5章 第240頁

單利 單利公式 利息： I = Prt (1a) 本利和：A = P(1 + rt) (1b) Tan/管理數學 第5章 第240頁

例題 1 一銀行的存款以單利計算，年利率8%。某顧客存入1,000元，且3年期間未曾提領，試問3年結束時的本利和若干？又這段期間共賺了多少利息？ 解： 將P = 1,000, r = 0.08, t = 3代入公式(1b)得本利和 即1,240元。 Tan/管理數學 第5章 第241頁

例題 1（續） 解（續）： 而3 年的利息所得可利用公式(1a)求得 即240 元。 Tan/管理數學 第5章 第241頁

例題 2 信託基金 投資2,000元於10年期的信託基金，已知該基金以單利計算，且年利率6%。試問10 年結束時的本利和若干？ 解： 因 例題 2 信託基金 投資2,000元於10年期的信託基金，已知該基金以單利計算，且年利率6%。試問10 年結束時的本利和若干？ 解： 因 故本利和為3,200 元。 Tan/管理數學 第5章 第241頁

複利 複利公式(複利的本利和) A = P(1 + i)n (3) 這裡的 ，且 A =本利和 P =本金 這裡的 ，且 A =本利和 P =本金 r =年利率 m =一年複利的次數 t =年 n=總期數 Tan/管理數學 第5章 第244頁

例題 4 依下面的情況，試問1,000元的本金存放3年後的本利和若干？已知年利率8%，且 (a)一年複利一次(compounded annually)； (b)半年複利一次(compounded semiannually)； (c)一季複利一次(compounded quarterly)； (d)一個月複利一次(compounded monthly)；及 (e)一天複利一次(compounded daily)。 Tan/管理數學 第5章 第244頁

例題 4（續） 解： a. P = 1,000, r = 0.08, m = 1，故i = r = 0.08, n = 3，代 入公式(3)得 即1,259.71 元。 Tan/管理數學 第5章 第244頁

例題 4（續） 解（續）： b. P = 1,000, r = 0.08, m = 2，故 , n = (3)(2) = 6，代入公式(3)得 即1,265.32 元。 Tan/管理數學 第5章 第244頁

例題 4（續） 解（續）： c. P = 1,000, r = 0.08, m = 4，故 , n = (3)(4) = 12，代入公式(3)得 即1,268.24 元。 Tan/管理數學 第5章 第244-245頁

例題 4（續） 解（續）： d. P = 1,000, r = 0.08, m = 12，故 , n = (3)(12) = 36，代入公式(3)得 即1,270.24 元。 Tan/管理數學 第5章 第245頁

例題 4（續） 解（續）： e. P = 1,000, r = 0.08, m = 365，故 , n = (3)(365) = 1,095，代入公式(3)得 即1,271.22 元。我們將結果彙總於表1。 Tan/管理數學 第5章 第245頁

例題 4（續） 解（續）： Tan/管理數學 第5章 第245頁

連續型複利 連續型複利公式 A = Pert (5) 其中 P = 本金 r = 年利率 t = 年 A = 本利和 Tan/管理數學 第5章 第246頁

例題 5 依下面的情況，試問1,000元的本金存放3年後的本利和若干？已知年利率8%，且(a)一天複利一次(假設一年是365 天) 與(b)連續複利。 Tan/管理數學 第5章 第247頁

例題 5（續） 解： a. P = 1,000, r = 0.08, m = 365, t = 3，故 , n = (365)(3) = 1,095，代入公式(3)得 即1,271.22 元。 Tan/管理數學 第5章 第247頁

例題 5（續） 解（續）： b. 將P = 1,000, r = 0.08, t = 3代入公式(5)得 即1,271.25 元。 Tan/管理數學 第5章 第247頁

有效年利率 有效年利率公式 (6) 其中 reff =有效年利率 r =年利率 m =一年複利的次數 Tan/管理數學 第5章 第248頁

例題 6 依下面的情況，求出有效年利率。已知年利率8%，且(a)一年複利一次； (b)半年複利一次；(c) 一季複利一次； (d)一個月複利一次；及(e)一天複利一次。 解： a. 將r = 0.08, m = 1代入公式(6)： reff = (1 + 0.08) 1 = 0.08 即有效年利率8%，其結果與年利率是一樣的。 Tan/管理數學 第5章 第248頁

例題 6（續） 解（續）： b. 將r = 0.08, m = 2代入公式(6)： 即有效年利率8.16%。 Tan/管理數學 第5章 第248頁

例題 6（續） 解（續）： c. 將r = 0.08, m = 4代入公式(6)： 即有效年利率8.243%。 Tan/管理數學 第5章 第248-249頁

例題 6（續） 解（續）： d. 將r = 0.08, m = 12代入公式(6)： 即有效年利率8.3%。 Tan/管理數學 第5章 第249頁

例題 6（續） 解（續）： e. 將r = 0.08, m = 365代入公式(6)： 即有效年利率8.328%。 Tan/管理數學 第5章 第249頁

現值 複利計算的現值公式 P = A(1 + i)n (7) Tan/管理數學 第5章 第250頁

例題 7 一銀行的年利率6%，每月複利一次，試問現在應存入多少錢，才能在3 年後獲得2萬元的本利和？ 解： A = 20,000, r = 0.06, m = 12，故 , n = (3)(12) = 36，代入公式(7)得 即16,713元。 Tan/管理數學 第5章 第250頁

例題 8 一銀行的年利率10%，每季複利一次，試問現在應存入多少錢，才能在5 年後獲得49,158.6 元的本利和？ 解： A = 49,158.6, r = 0.1, m = 4，故 , n = (4)(5) = 20，代入公式(7)得 大約為30,000元。 Tan/管理數學 第5章 第250-251頁

現值 對於連續型的複利，我們由公式(5)，A = Pert，求解其現值P，故 P = Aert (8) Tan/管理數學 第5章 第251頁

例題 9 投資選擇 婉珍將投資的範圍縮小到以下二個選項： 購買一個12年期的定存，年利率10%，每天複利(假設一年為365 天)。 例題 9 投資選擇 婉珍將投資的範圍縮小到以下二個選項： 購買一個12年期的定存，年利率10%，每天複利(假設一年為365 天)。 購買一個12年期的定存，到期日之本利和為原投資金額的三倍。 試問婉珍應如何選擇對投資最有利？ Tan/管理數學 第5章 第251頁

例題 9 投資選擇（續） 解： 我們先瞭解選項1的結果。因 r = 0.10 m = 365 t = 12 例題 9 投資選擇（續） 解： 我們先瞭解選項1的結果。因 r = 0.10　　 m = 365　　 t = 12 故　　　 , n = (365)(12) = 4,380，代入公式(3)得 大約是3.32P元，即本金的3倍多。由於選項2的結果只得到3倍的本金，因此婉珍應投資選項1比較有利。 Tan/管理數學 第5章 第251頁

例題 10 個人退休帳戶(IRA) 月娥在一家公司開了個人退休帳戶(IRA) 且帳戶的錢投資於貨幣市場共同基金，每天計息。有兩年期間，月娥完全沒有動她的帳戶，且知其存款從4,500 元增加到5,268.24元。假設一年是365 天，試問這兩年來月娥的IRA有效年利率若干？ Tan/管理數學 第5章 第251頁

例題 10 個人退休帳戶(IRA)（續） 解： 令reff 為所求的有效年利率，則 Tan/管理數學 第5章 第252頁

5.2 年金 年金的終值 Tan/管理數學 第5章 第257頁

年金的終值 年金的終值 一n期的年金，每期在週期最後一天付款R元，每期利率 為i，則年金到期總額S為 Tan/管理數學 第5章 第258頁

例題 1 一12 月期的普通年金，每期於月底付款100 元，年利率12%，每月複利一次，試問年金的終值？ 解： 每一期的利率i為 ，又R = 100, n = 12，代入公式(9) 得 Tan/管理數學 第5章 第258-259頁

例題 1（續） 解（續）： 若有複利因子表可以查詢(例如以下的表4)，亦可求得如下結果： 即1,268.25 元。 Tan/管理數學 第5章 第259頁

例題 1（續） Tan/管理數學 第5章 第259頁

年金的現值 年金的現值 一n期的年金，每期在週期最後一天付款R元，每期利率 為i，則現值P為 (11) Tan/管理數學 第5章 第260頁

例題 2 一普通年金共24期，每月付款100 元，年利率9%，每月複利一次，試問其現值？ 解： 以R = 100, , n = 24 代入公式(11)求得 故其現值約為2,188.91元。 Tan/管理數學 第5章 第260頁

例題 3 大學學費儲蓄計畫 定國的父母為了幫他存日後的大學學費，每月月底於銀行固定存入100 元，年利率6%，每月複利一次。若此儲蓄計畫從定國6 歲的時候開始，試問當他滿18 歲時，帳戶內會有多少存款？ Tan/管理數學 第5章 第260頁

例題 3 大學學費儲蓄計畫（續） 解： 當定國滿18歲時，他的父母已存入144筆，因此，n = 144。此外，R = 100, r = 0.06, m = 12，故 。利用公式(9)，我們求得 即21,015元。 Tan/管理數學 第5章 第260-261頁

例題 4 購車付款 莫林付了6,000元的頭期款買車，爾後每月付600元以償還未付的車款，共付36期，所付利息以6%／年計算，每月複利一次。試問莫林當初購買的車款為若干？莫林總共付了多少利息？ Tan/管理數學 第5章 第261頁

例題 4 購車付款（續） 解： 我們先求36 期付款所相當的現值 例題 4 購車付款（續） 解： 我們先求36 期付款所相當的現值 共19,723元，此即買車的尾款。將19,723元加上頭期款6,000元，便是當初購買的車款25,723 元。又莫林為了償還尾款，共付了(36)(600) = 21,600 元，因此，他總共支付了21,600  19,723 = 1,877元的利息。 Tan/管理數學 第5章 第261頁

例題 5 IRAs 卡洛琳固定於每年1月31日將2000元存入傳統IRA，其有效年利率為5%。 a. 卡洛琳於65歲退休後次年的1月31日剛好繳完25期，試問屆時其IRA共有多少錢？ b. 假設卡洛琳65 歲退休後繳完25期款的同時，將傳統IRA 全數提領出來。如果那 時她的稅率級次是28%，試問繳完稅後，卡洛琳實際領到的金額為若干？ Tan/管理數學 第5章 第262頁

例題 5 IRAs（續） 解： a. R = 2,000, r = 0.05, m = 1, t = 25，故 ， n = 25 代入公式(9) 得 即95,454.20元。 Tan/管理數學 第5章 第262頁

例題 5 IRAs（續） 解（續）： b. 扣除繳稅的部分，卡洛琳實際領到的金額為 (1  0.28)(95,454.20)  68,727.02 故卡洛琳納完稅後，大約領到68,727.02 元。 Tan/管理數學 第5章 第262頁

例題 6 投資分析 投資分析寇克與馬龍都是45歲，薪水階級，兩人均開始為20年後的退休生活規劃存錢，且假設這20 年期間他們二人的稅率級次均保持在28%。每年12 月31 日，寇克固定將1,000元存入一個儲蓄帳戶，有效年利率為8%，而馬龍則存1,000元到保險公司的一個遞延納稅年金，有效年利率亦為8%。試問 a. 20 年後寇克與馬龍兩人的投資帳戶總額各為多少？ b.他們的帳戶各賺取多少利息？ c.說明即使馬龍在20年後的稅率級次仍為28%，其淨所得依舊 優於寇克。 Tan/管理數學 第5章 第263頁

例題 6 投資分析（續） 解： a. 對寇克而言，扣除掉28%的稅金後，每年淨收益 例題 6 投資分析（續） 解： a. 對寇克而言，扣除掉28%的稅金後，每年淨收益 相當於(0.72)(8%) = 5.76%的利率。將R = 1,000, r = 0.0576, m = 1, i = 0.0576, t = 20 代入公式(9) 得 約為35,850.49元。 Tan/管理數學 第5章 第263頁

例題 6 投資分析（續） 解 a（續）： 對馬龍而言，由於是遞延納稅年金，暫不考慮課稅的問題，因此，將R = 1,000, r = 0.08, m = 1, i = 0.08, t = 20 代入公式(9) 得 約為45,761.96元。 Tan/管理數學 第5章 第263頁

例題 6 投資分析（續） 解 （續）： b. 寇克與馬龍二人都存了20(1000) = 20,000 元入帳 例題 6 投資分析（續） 解 （續）： b. 寇克與馬龍二人都存了20(1000) = 20,000 元入帳 戶，因此，寇克利息所得(已扣稅) 為 35,850.49  20,000 = 15,850.49 元 而馬龍的利息所得(未扣稅前) 為 45,761.96  20,000 = 25,761.96 元 Tan/管理數學 第5章 第263頁

例題 6 投資分析（續） 解 （續）： c. 將馬龍的利息所得25,761.96元，扣掉28%的應納稅 例題 6 投資分析（續） 解 （續）： c. 將馬龍的利息所得25,761.96元，扣掉28%的應納稅 額後，剩餘25,761.96×72% = 18,548.61，比寇克的 15,850.49元還要多，因此，馬龍的淨所得仍舊優 於寇克。 Tan/管理數學 第5章 第263頁

5.3 分期償還及償還基金 分期償還 定期定額分期償還公式 貸款P元，每期繳付R元，預計n期付清，且每期的利率為i，則 (13) Tan/管理數學 第5章 第267頁

例題 1 分期償還表 一筆5萬元的貸款於每年年底採定額償還的方式，預計5年還清。若支付利息以年利率8%計算，且固定於年底計息。試問此分期償還每期應付多少錢？列出此分期償還的報表。 Tan/管理數學 第5章 第267頁

例題 1（續） 解 ： 將P = 50,000, m = 1, i = r = 0.08, n = 5代入公式(13)，得 因此，每年應付款12,522.82 元。分期償還的報表詳見表5，從表中可看出，隨著期數的增加，每年的付款中，支付利息的部分逐漸減少，償還本金的部分逐漸增多。 Tan/管理數學 第5章 第268頁

例題 1（續） Tan/管理數學 第5章 第268頁

例題 2 房貸付款 李先生向銀行貸款12萬元購買房子。銀行收取的利息以年利率5.4%計算，於每月月底計息，且李先生同意以30 年期的分期付款還清銀行貸款。試問李先生每月月底應償還多少錢？ Tan/管理數學 第5章 第268頁

例題 2 房貸付款（續） 將P = 120,000, , n = (30)(12) = 360代入公式(13)，得 約673.84元。 例題 2 房貸付款（續） 將P = 120,000,　 　 　 , n = (30)(12) = 360代入公式(13)，得 約673.84元。 Tan/管理數學 第5章 第268頁

例題 3 房屋抵押 保定10年前以20萬元購買一間房子，他先付了20%的頭期款，剩餘款項以房屋抵押貸款，分30 年以月付方式償還，年利率6%計算。房屋現在價值38 萬元。試問保定至今付了120 個月的款項後，房屋抵押貸款所餘的淨值若干？ Tan/管理數學 第5章 第269頁

例題 3 房屋抵押（續） 解 ： 由於保定已付了20%的頭期款，因此貸款金額為(200,000)(80%) = 160,000元。將P = 160,000, 　　　　　　　　　 , n = (30)(12) = 360 代入公式(13)，得 約959.28元。 Tan/管理數學 第5章 第269頁

例題 3 解（續） ： 保定至今付了120個月的款項，剩下240期待繳，其未償付款項相當於240期的分期付款現值。因此，將R = 959.28, i = 0.005, n = 240代入公式(11)，得 約133,897 元。所以，保定房屋抵押貸款所餘的淨值為380,000  133,897，即246,103 元。 Tan/管理數學 第5章 第269頁

例題 4 可負擔房貸 英傑自認付了頭期款後，估計每月最多可負擔2,000元的房貸。已知銀行收取年利率6%的利息，每月月底計息。若貸款以30 年定額月繳的方式分期償還，試問英傑最高可向銀行貸款若干元？ Tan/管理數學 第5章 第269頁

例題 4 可負擔房貸（續） 解 ： 將R = 2,000, , n = (30)(12) = 360 代入公式(12)，得 例題 4 可負擔房貸（續） 解 ： 將R = 2,000,　　 　 , n = (30)(12) = 360 代入公式(12)，得 約333,583元。 Tan/管理數學 第5章 第269頁

例題 7 償債基金 正興五金行的經營者設立了一個償債基金，預計2年後添購一部卡車，卡車預定的購買價為3 萬元。已知投資的基金帳戶可有10%的年利率，每季複利一次。若以定額的方式存款，試問正興五金行的經營者每季應存入多少元？列出償債基金的報表。 Tan/管理數學 第5章 第272

例題 7 償債基金（續） 解 ： 我們打算利用年金終值的公式解R： 因此 (14) Tan/管理數學 第5章 第272頁

例題 7 償債基金（續） 解（續） ： 將S = 30,000, , n = (2)(4) = 8 代入公式(14)，求得 例題 7 償債基金（續） 解（續） ： 將S = 30,000, 　　　　　　　　 , n = (2)(4) = 8 代入公式(14)，求得 約3,434.02 元，其報表見表6。 Tan/管理數學 第5章 第272頁

例題 7 償債基金（續） Tan/管理數學 第5章 第272頁

償債基金 償債基金付款 假設每期的利率為i，預計n期後的總存款為S元，則每期應存入的金額R為 (15) Tan/管理數學 第5章 第273頁