此幻灯片可在网址 http://www.appmath.cn 上下载 概率论与数理统计讲义 第14讲 此幻灯片可在网址 http://www.appmath.cn 上下载

例如，若X~N(1,3), Y~N(2,4), 且X,Y相互独立，则Z=2X-3Y也服从正态分布，又因为，E(Z)=21-32=-4, D(Z)=223+324=48，故有Z~N(-4,48).

例7 设活塞的直径(以cm计)X~N(22. 40,0. 032), 汽缸的直径Y~N(22. 50,0 例7 设活塞的直径(以cm计)X~N(22.40,0.032), 汽缸的直径Y~N(22.50,0.042), X与Y相互独立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活塞能装入汽缸的概率. 解 由于X-Y~N(-0.10, 0.0025) 故有

由于 而

所以

例8作为一个统计学的重要定理是应当牢记的, 它的意思是, 如果有n个相互独立的数学期望和方差都一样的随机变量X1,X2,…,Xn, 它们的数学期望都是m, 方差都是s2, 则它们的算术平均值X=(X1+X2+…+Xn)/n也是一个随机变量, 它的数学期望是m, 方差是s2/n, 而用每一个随机变量Xi减去X再平方求和, 即 则T也是一个随机变量, 且有E(T)=(n-1)s2.

某些常用分布的数学期望与方差见表4-1，希望大家熟记，以后直接引用表中结果

表4-1 几种常用的概率分布及数字特征

三、切比雪夫(Chebyshev)不等式

定理 设随机变量X具有数学期望E(X)=m, D(X)=s2, 则对于任意正数e, 不等式 成立 这一不等式称为切比雪夫(Chebyshev)不等式。

f(x) m-e m O m+e x

证 只就连续型随机变量的情况来证明. 设X的概率密度为f(x), 则有

切比雪夫不等式也可以写成如下的形式： 这个不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下事件{|X-m|<e}概率的下限的估计, 例如, 在(13)式中分别取e=3s,4s得到 P{|X-m|<3s}0.8889, P{|X-m|<4s}0.9375.

切比雪夫不等式的重要意义在于它建立了方差和概率之间的联系. 即随机变量X落在以它的期望值对称区间之外的概率受到方差大小的限制.

例9 设电站供电网有10000盏电灯, 夜晚每一盏灯开灯的概率都是0 例9 设电站供电网有10000盏电灯, 夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定开、关时间彼此独立，估计夜晚同时使用的灯的盏数在6800与7200之间的概率. 解 令X表示在夜晚同时使用的灯的盏数，它服从参数n=10000，p=0.7的二项分布, 若要准确计算, 应该用如下公式来计算： 显然这是比较困难的.

例9 设电站供电网有10000盏电灯, 夜晚每一盏灯开灯的概率都是0 例9 设电站供电网有10000盏电灯, 夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定开、关时间彼此独立，估计夜晚同时使用的灯的盏数在6800与7200之间的概率. 解 用切比雪夫不等式估计： E(X)=np=100000.7=7000, D(X)=np(1-p)=100000.70.3=2100, 只要有供应7200盏灯的电力就以相当大的概率保证够用

学习了中心极限定理之后，不难求出这个概率约为0.99999. 尽管切比雪夫不等式估计的精度不高，但它在理论上具有重大意义.

补充定理: 给定随机变量X, D(X)=0的充分必要条件是X以概率1取常数C, 即P{X=C}=1. 证: 充分性 补充定理: 给定随机变量X, D(X)=0的充分必要条件是X以概率1取常数C, 即P{X=C}=1. 证: 充分性. 设P{X=C}=1, 则{X2=C2}=1, E(X)=CP{X=C}=C, E(X2)=C2P{X2=C2}=C2, D(X)=E(X2)-[E(X)]2=C2-C2=0. 必要性, 令en=10-n, 定义一系列事件 An={|X-C|<en}, n=1,2,3,… A1A2An=An, 如果P(An)=1, 则 P(A1A2An)=1, 令B={X=C}=A1A2…, 则由P(An)=1可推出 P(B)=1, 必要性得到证明. 下面证明P(An)=1.

当D(X)=0, E(X)=C, 则根据切比雪夫不等式有 但任何事件的概率不可能大于1, 所以有P(An)=1.

推论 如果随机变量X满足E(X2)=0, 必有P{X=0}=1 推论 如果随机变量X满足E(X2)=0, 必有P{X=0}=1. 证 因E(X2)=0, 又知道D(X)=E(X2)-[E(X)]20, 则必有E(X)=0, 则D(X)=E(X2)=0, 则由补充定理可知P{X=0}=1.

2012年考研题数学3：设随机变量X与Y相互独立, 且服从参数为1的指数分布 2012年考研题数学3：设随机变量X与Y相互独立, 且服从参数为1的指数分布. 记U=max(X,Y), V=min(X,Y) (1) 求V的概率密度fV(v) (2) 求E(U+V) (本题满分11分)

2012年考研题数学3：设随机变量X与Y相互独立, 且服从参数为1的指数分布 2012年考研题数学3：设随机变量X与Y相互独立, 且服从参数为1的指数分布. 记U=max(X,Y), V=min(X,Y) 解: 必须背诵指数分布的概率密度公式为 参数为1的指数分布的概率密度为

2012年考研题数学3：设随机变量X与Y相互独立, 且服从参数为1的指数分布 2012年考研题数学3：设随机变量X与Y相互独立, 且服从参数为1的指数分布. 记U=max(X,Y), V=min(X,Y) 解: 指数分布的概率密度公式为 适应背诵指数分布的分布函数公式为

2012年考研题数学3：设随机变量X与Y相互独立, 且服从参数为1的指数分布 2012年考研题数学3：设随机变量X与Y相互独立, 且服从参数为1的指数分布. 记U=max(X,Y), V=min(X,Y) 因此X,Y的分布函数FX(x),FY(y)都是一样的,

2012年考研题数学3：设随机变量X与Y相互独立, 且服从参数为1的指数分布 2012年考研题数学3：设随机变量X与Y相互独立, 且服从参数为1的指数分布. 记U=max(X,Y), V=min(X,Y) (1) 求V的概率密度fV(v) 背诵V的分布函数与X,Y的分布函数的关系为 FV(v)=1-[1-FX(v)][1-FY(v)] =1-[1-FX(v)]2 因此得到 对之求导得

2012年考研题数学3：设随机变量X与Y相互独立, 且服从参数为1的指数分布 2012年考研题数学3：设随机变量X与Y相互独立, 且服从参数为1的指数分布. 记U=max(X,Y), V=min(X,Y) (2) 求E(U+V) 由题意可知U+V=X+Y, E(X)=E(Y)=1, E(U+V)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=1+1=2.

2012年考研数学三, 设二维离散型随机变量X,Y的概率分布为 (1) 求P{X=2Y} (2) 求Cov(X-Y,Y) (满分11分) 1 2 1/4 1/3 1/12

2012年考研数学三, 设二维离散型随机变量X,Y的概率分布为 (1) 求P{X=2Y} 解: P{X=2Y}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=2} =1/4+0=1/4 1 2 1/4 1/3 1/12

2012年考研数学三, 设二维离散型随机变量X,Y的概率分布为 (2) 求Cov(X-Y,Y) 解: 背诵公式Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 因此 Cov(X-Y,Y)=E[(X-Y)Y]-E(X-Y)E(Y) 要计算三个期望值E[(X-Y)Y],E(X-Y),E(Y) Y X 1 2 1/4 1/3 1/12

计算E(Y): 将表格中的9个概率值都乘上对应的Y的取值得 将这9个数都加起来得E(Y)=1 X 1 2 1/4 1/3 1/12 计算E(Y): 将表格中的9个概率值都乘上对应的Y的取值得 将这9个数都加起来得E(Y)=1 2/4 1/3 2/12

计算E(X-Y): 将表格中的9个概率值都乘上对应的X-Y的取值得 将这9个数都加起来得E(X-Y)=-4/12=-1/3. 1 2 1/4 1/3 1/12 计算E(X-Y): 将表格中的9个概率值都乘上对应的X-Y的取值得 将这9个数都加起来得E(X-Y)=-4/12=-1/3. -2/4 2/12

计算E[(X-Y)Y]: 将表格中的9个概率值都乘上对应的(X-Y)Y的取值得 将这9个数都加起来得E[(X-Y)Y]=-1. 1 2 1/4 1/3 1/12 计算E[(X-Y)Y]: 将表格中的9个概率值都乘上对应的(X-Y)Y的取值得 将这9个数都加起来得E[(X-Y)Y]=-1. -1

Cov(X-Y,Y)=E[(X-Y)Y]-E(X-Y)E(Y) 要计算三个期望值E[(X-Y)Y],E(X-Y),E(Y) E(Y)=1, E(X-Y)=-1/3, E[(X-Y)Y]=-1, Cov(X-Y,Y)=-1-1(-1/3)=-2/3

2012年考研数学三, 设A, B, C是随机事件, A与C互不相容, P(AB)=1/2, P(C)=1/3, 则 (4分)

2012年考研数学三, 设A, B, C是随机事件, A与C互不相容, P(AB)=1/2, P(C)=1/3, 则 解: 用图解法, 绘制边长为1的正方形, 左边的三分之一是事件C, 右边的二分之一是事件AB. AB C

2012年考研数学三, 设A, B, C是随机事件, A与C互不相容, P(AB)=1/2, P(C)=1/3, 则 解: 用AB的面积1/2除以C 的面积2/3就是答案, 即3/4, 应填3/4.

2012年考研数学三, 设随机变量X,Y相互独立, 且都服从区间(0,1)上的均匀分布, 则 P{X2+Y21}=( ). (4分)

2012年考研数学三, 设随机变量X,Y相互独立, 且都服从区间(0,1)上的均匀分布, 则 P{X2+Y21}=( ) 2012年考研数学三, 设随机变量X,Y相互独立, 且都服从区间(0,1)上的均匀分布, 则 P{X2+Y21}=( ). 解: 如图所示, 单位圆在正方形里面积与正方形面积之比, 就是所求概率, 应填D.

作业: 第109页开始 习题4-2, 第2,6,14题 2题提示: 参数为l的泊松分布X, 有E(X)=l, E(X2)=l+l2 作业: 第109页开始 习题4-2, 第2,6,14题 2题提示: 参数为l的泊松分布X, 有E(X)=l, E(X2)=l+l2. 6题提示: 设Xi为: 当第i个部件需要调整时为1, 不需要调整为0, i=1,2,3. X=X1+X2+X3