课件制作 WangWenHao 第四章 随机变量的数字特征 §1 数学期望 特点： 分布函数 全面、详细、完整 §2 方差 §1 数学期望 特点： 全面、详细、完整 分布函数 §2 方差 随机变量的概率特性 密度函数 不足： 复杂、重点不突出 §3 协方差及相关系数 分 布 律 §4 矩、协方差矩阵 问题 怎样粗线条地描述r.v 的特性 ？ 简单明了、特征鲜明、直观实用 要求 随机变量的数字特征

实际背景 例 评估标准 分析 甲、乙两射手进行打靶训练，每人各打了100发子弹，成绩如下： 甲： 乙： 怎样评估两人的成绩？ 平均环数 次数 怎样评估两人的成绩？ 平均环数 评估标准 两人的总环数分别为 分析 甲： (环) 乙： (环) 每枪平均环数为 甲： (环) 乙： (环) 可见甲的射击水平比乙略好

平均值的概念广泛存在 例如 问题 ？ question 某班级某课程考试的平均成绩 电子产品的平均无故障时间 某地区的日平均气温和日平均降水量 某地区水稻的平均亩产量 某地区的家庭平均年收入 某国家国民的平均寿命 问题 question 怎样定义 r.v 的平均值概念 ？

例 进一步分析 甲、乙两射手进行打靶训练，每人各打了100发子弹，成绩如下： 甲： 乙： 怎样评估两人的成绩？ 环数 次数 怎样评估两人的成绩？ 记甲每枪击中的环数为 因为射击次数 进一步分析 较多,故可认为 的分布律为 则甲射手每枪平均环数为 即平均环数为

“数学期望”是历史上沿用下来的一个名词，可理解为在数学上对 r.v 进行计算期望得到的值,即平均值 (一) 离散型 的数学期望 r.v 设 的分布律为 定义 若级数 则称 为 的数学期望 (期望、均值) “数学期望”是历史上沿用下来的一个名词，可理解为在数学上对 r.v 进行计算期望得到的值,即平均值 “数学期望” (Expectation)的由来

例 解 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式.付款额根据使用寿命 来确定： 假设 试求该商店出售一台电器的平均收费额 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式.付款额根据使用寿命 来确定： 例 寿命(年) 付款(元) 试求该商店出售一台电器的平均收费额 假设 设出售一台电器的收费额为 ,分布律为 解 参数为10的指数分布密度函数为 即 即商店出售一台电器平均收费额为 元

求 设 例 的分布律为 解 的均值为 令

求 设 例 解 令 特别令 则有

问题 在数学期望的定义中，为什么要求 ？ 由高等数学知 分析 收敛 且 与 出现的先后位置无关！ 则称 不存在 若 注

(一) 离散型 的数学期望 r.v 设 的分布律为 定义 若级数 则称 为 的数学期望 (期望、均值) 则 设 则 设

(二) 连续型 的数学期望 r.v 定义 注 设 的概率密度函数为 若 则称 为 的数学期望 (期望、均值) 连续型 的数学期望 r.v 定义 设 的概率密度函数为 若 则称 为 的数学期望 (期望、均值) 注意离散型和连续型情形的形式一致性 则称 不存在 若 注

求 设 例 的密度函数为 解 从直观上看 ？ 其它

求 设 例 解 从直观上看 ？ ？ 奇函数

设某元器件的寿命 服从指数分布,其密度为 例 求 的数学期望 解 即该元器件的平均寿命为

工程背景 问题 (年) 如果某产品的平均寿命为 (小时) 则称该产品为“ 级”产品 越大(级别越高), 则称该产品为“ 级”产品 越大(级别越高), 失效率 越低,则产品的平均寿命越长, 可靠性越高. 在航空、航天、军事、医疗等领域，通常要求元器件达 9 级以上，这意味着该元器件的平均寿命至少为 (年) 问题 由一万个 9 级元器件组成的电子设备的平均寿命为多少年？ (年)

例 解 指数分布 其中 为单个环的最大 x 安全承受力，即当拉力 不超过 时环不会拉断 一条铁链由 个相同的铁环构成，铁链两端受到大小相等、方向相反的拉力 设单个铁环不被拉断所能承受的最大拉力为 其密度为 例 试求铁链能承受的平均最大拉力. 密度函数为 设每个铁环能承受的最大拉力分别为 解 其中 为单个环的最大 指数分布 安全承受力，即当拉力 不超过 时环不会拉断 x 独立同分布于 则 整条铁链能承受的最大拉力为 可见 服从参数为 的指数分布,故 其分布函数为 即铁链能承受的平均(最大)拉力为

设 服从 分布,其概率密度为 例 计算 因为 解 奇函数 ,对称区间 ？ 不存在. 故

习题：2、3、4、5

(三) 的函数的数学期望 r.v 实际背景 分析 ① ② 一般地 一般的思路 有意思的结果 飞机机翼受到的压力为 设 单调增,其反函数为 则 设 单调增,其反函数为 则 分析 ① 其中 是风速 是常数,问机翼受到的平均压力多大？ 设已知 ② 一般地 (概率函数) (普通函数) 则要求 令 该结果对一般的 分布和函数也成立 一般的思路 有意思的结果

设 为普通函数,则 定理 设 为离散型r.v,其分布律为 ① 则 若 注意二者的形式一致性 设 为连续型r.v,其概率密度为 ② 则 若

设风速 设飞机机翼受到的正压力 例 与风速的关系是 常数 求 的密度函数为 解 其它 即飞机机翼受到的平均正压力为

例 解 ？ ？ ？ 过平面上点 任作一条直线 求由坐标原点 到直线 的距离 的平均值. 设 与 轴的夹角为 ,则 于是 过平面上点 任作一条直线 求由坐标原点 例 到直线 的距离 的平均值. 设 与 轴的夹角为 ,则 解 于是 ？ 故原点到直线 的平均距离为 ？ ？

一公司经营某种原料，根据调查了解到该原料的市场需求量 (单位:吨),每出售一吨原料,公司可获利1千元,若积压一吨,则公司要损失0 一公司经营某种原料，根据调查了解到该原料的市场需求量 (单位:吨),每出售一吨原料,公司可获利1千元,若积压一吨,则公司要损失0.5千元。问公司应该组织多少货源,可以使收益最大? 例 设公司应组织货源 吨,则应有 解 又设公司获利 千元,则 是市场需求量 的函数,且 于是公司的平均获利为 令 ，解得 故公司应该组织433.3吨货源,可使平均收益最大.

设 为二元函数,则 推广的定理 设 的联合分布律为 ① 则 若 若 设 的联合密度为 ② 则 注：公式可推广到一般的高维随机变量

设 服从圆域 上的均匀分布, 例 求 由推广的定理有 解 从直观上看该结果的合理性 问

(四) 数学期望的基本性质 ① ② ③ 只证 ③ ④ 证 ④ 几个推论 设 ,则 设 为常数,则 设 为r.v，则有 设 为常数,则 ② 设 为r.v，则有 ③ 对连续型 r.v 进行证明. 设 设 相互独立,则有 只证 ③ ④ 对连续型 r.v 进行证明. 设 证 ④ 几个推论 则 若 ,则 独立 设 为常数 为r.v,则 相互独立,则 设

设 的密度函数为 例 试求 解 一般的思路 三角形区域 另一种方法

例 解 一民航客车载有20位旅客自机场开出，沿途有十个停靠站,如达到一个车站时没有乘客下车就不停车.以 表示停车的次数,求 (假定每位旅客在任一车站下车是等可能的,且各旅客是否下车相互独立). 例 引入r.v 解 第 站有人下车 第 站没人下车 位乘客在第 i 站都不下车 易知 ,从而

旅游团的 个游客出酒店时都将自己房间的钥匙交给了导游.回到酒店后,每人从导游处任取一把钥匙去开自己房间的门.试问平均有多少人能开打房门。 例 令 解 第 人能打开房门 第 人不能打开房门 则能打开房门的人数为 且 故能开打房门的平均人数为

构造适当的概率模型求复杂公式的值是常用的数学技巧 设 件产品中有 件次品,在该批产品中任意取 件,记 表示取出的次品个数,求 例 的分布律为 令 解 解二 注：无放回取样，且产品件数不一定很大 第 件取出次品 第 件取出正品 则 称 服从超几何分布 .故 因为 ,故 构造适当的概率模型求复杂公式的值是常用的数学技巧 直接求和很难 从而求得公式

有3只球，4只盒子，盒子编号为1,2,3,4.将球逐个独立随机地放入4只盒子中去. 以 表示其中至少有一只球的盒子的最小号码，试求 例 的分布律为 令 第 号球所进盒子的号码 解 解二 独立,且 显然 依次对 计数 怎样利用r.v的分解方法求解？ 问

掷一颗骰子直到所有点数全部出现为止，求所需投掷次数 Y 的数学期望. 题 究 的 研 问 猜想 从直观上看 6 ？

7、8、9、13 习题 END