第四章 随机变量的数字特征 数学期望 方差 * 协方差与相关系数 大数定律与中心极限定理
Mathematical Expectation 数学期望的引例 Mathematical Expectation 例如：某7人的高数成绩为90，85，85，80，80， 75，60，则他们的平均成绩为 以频率为权重的加权平均
Mathematical Expectation 离散型随机变量 定义 设离散型随机变量的概率分布为 随机变量X的数学期望，记作E（X），即
数学期望的计算 已知随机变量X的分布律： 例 X P 4 1/4 5 1/2 6 求数学期望E（X） 解
连续型随机变量的数学期望E(X) 连续型随机变量 定义 设连续型随机变量X的概率密度为 f (x), 则 即
数学期望的计算 例 已知随机变量X的密度函数为 求数学期望。 解
数学期望的意义 E(X)反映了随机变量X取值的“概率平均”,是X的 可能值以其相应概率的加权平均。 试验次数较大时，X的观测值的算术平均值 数学期望又可以称为期望值(Expected Value)， 均值(Mean)
二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望 (X,Y)为二维离散型随机变量 (X,Y)为二维连续型随机变量
设(X,Y)的联合密度为 例 (1) 求k (2) 求X和Y的边缘密度 (3) 求E(X), E(Y).
解 (1)由 得 1 3 所以 时 (2) 所以
时 1 3 （３）
（３）另解 1 3 无需求 边缘分布密度函数
随机变量的函数的数学期望 定理 1：一维情形 设 是随机变量 X的函数, 离散型 概率密度为 连续型
服从 已知 上的均匀分布，求 的数学期望。 例 解 因为 所以
随机变量的函数的数学期望 定理 2：二维情形 设 是随机变量 X， Y的函数, 离散型 连续型 联合概率密度为
例 设相互独立的随机变量X，Y的密度函数分别为 求E（XY） 1 5 解
数学期望的性质 . C 为常数 . . 相互独立时 当随机变量
练一练 设（X,Y）在由4个点（0，0）（3，0），（3，2), (0,2)决定的矩形域内服从均匀分布，求E(X+Y),E(X2) E(Y2),E(XY). 3 2 答案：
若X 服从参数为 p 的0-1分布， 则E(X) = p 0-1分布的数学期望 分布律 X服从0-1分布，其概率分布为 X P 0 1 1-p p P(X=1)=p P(X=0)=1- p 数学期望 若X 服从参数为 p 的0-1分布， 则E(X) = p
If X~B( n, p ), then E(X)= np 二项分布的数学期望 分布律 X服从二项分布，其概率分布为 数学期望 二项分布可表示为 个０－１分布的和 其中 则 If X~B( n, p ), then E(X)= np
泊松分布的数学期望 分布律 数学期望 If , then
均匀分布的期望 分布密度 数学期望
正态分布的期望 分布密度 X~ N (μ，σ2） 数学期望
指数分布的期望 分布密度 数学期望
数学期望在医学上的一个应用 分析： 设随机抽取的10人组所需的化验次数为X 我们需要计算X的数学期望，然后与10比较 An application of Expected Value in Medicine 考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每10个人一组，把这10个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对10个人在逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？ 分析： 设随机抽取的10人组所需的化验次数为X 我们需要计算X的数学期望，然后与10比较
注意求 X期望值的步骤！ 先求出化验次数X的分布律。 化验次数X的可能取值为1，11 (X=1)=“10人都是阴性” （X=11)=“至少1人阳性” 结论： 分组化验法的次数少于逐一化验法的次数
问题的进一步讨论 1、概率p对是否分组的影响 若p=0.2，则 当p>0.2057时，E(X)>10 2、概率p对每组人数n的影响 当p=0.1时，为使 当p=0.2时，可得出n<10.32，才能保证 EX<10.
例 独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别为p1和p2.证明：产生故障的仪器数目的数学期望为 p1 + p2 解 设产生故障的仪器数目为X 则X的所有可能取值为0，1 所以