MATLAB 程式設計進階篇 曲線擬合與迴歸分析 張智星 (Roger Jang) jang@mirlab.org http://mirlab.org/jang 清大資工系 多媒體檢索實驗室

資料擬和簡介 資料擬合（Data Fitting） 迴歸分析（Regression Analysis） 給定一組資料（含輸入及輸出），建立一個數學模型，來逼近此資料的輸入輸出特性 如果此資料包含一維輸入及輸出，則此數學模型可以表示成一條曲線，在此情況下又稱為曲線擬合（Curve Fitting） 迴歸分析（Regression Analysis） 使用統計的方法來進行資料擬和，並分析每一個變數的統計特性，此過程稱為迴歸分析

曲線擬合簡介 曲線擬合（Curve Fitting） 迴歸分析之分類 欲建立的數學模型是「單輸入、單輸出」（Single-input Single-output，簡稱SISO），其特性可用一條曲線來表示 迴歸分析之分類 若模型是線性模型，則此類問題稱為線性迴歸（Linear Regression） 若模型是非線性模型，則稱為非線性迴歸（Nonlinear Regression）。

曲線擬合：美國人口範例 觀察資料是美國自 1790 至 1990 年（以 10 年為一單位）的總人口，此資料可由載入檔案 census.mat 得到： 範例10-1： censusPlot01.m load census.mat % 載入人口資料 plot(cdate, pop, 'o'); % cdate 代表年度，pop 代表人口總數 xlabel('年度'); ylabel('美國人口總數');

曲線擬合之模型選取 模型選取 目標 由上圖資料分佈，可猜測這適合的曲線可能是二次拋物線 其中y為輸出，x為輸入， 則為此模型的參數。由於參數相對於y呈線性關係，所以此模型為稱線性模型 目標 找出最好的參數值，使得模型輸出與實際資料越接近越好，此過程即稱為線性迴歸

曲線擬合之目標函數 曲線擬和的平方誤差 假設觀察資料可寫成 ,i= 1~21。當輸入為 時，實際輸出為 。 模型的預測值為 平方誤差： 總平方誤差 是參數 的函數，這也是我們要最小化的目標函數，可表示如下：

目標函數之求解 求得參數 、 、 的最佳值 求出 對 、 、 的導式，令其為零，即可解出 、 、 的最佳值。 總平方誤差 為 的二次式 求得參數 、 、 的最佳值 求出 對 、 、 的導式，令其為零，即可解出 、 、 的最佳值。 總平方誤差 為 的二次式 導式 、 及 為 的一次式 令上述導式為零之後，我們可以得到一組三元一次線性聯立方程式，就可以解出參數 、 、 的最佳值。

矩陣表示法 假設 21 個觀察點均通過此拋物線，將這 21 個點帶入拋物線方程式，得到下列21個等式： 亦可寫成 其中 、 為已知， 為未知向量。

MATLAB的最小平方解 觀察 MATLAB 提供一個簡單方便的「左除」（\）指令，來解出最佳的 ，使得總平方誤差為最小。 上述21個方程式，只有 3 個未知數 ，所以通常不存在一組解來滿足這 21 個方程式。 在一般情況下，只能找到一組 ，使得等號兩邊的差異為最小，此差異可寫成 此即為前述的總平方誤差 MATLAB 提供一個簡單方便的「左除」（\）指令，來解出最佳的 ，使得總平方誤差為最小。

曲線擬合運算範例 利用「左除」來算出最佳的參數值，並同時畫出具有最小平方誤差的二次曲線 範例10-2： census01.m load census.mat % 載入人口資料 plot(cdate, pop, 'o'); % cdate 代表年度，pop 代表人口總數 A = [ones(size(cdate)), cdate, cdate.^2]; y = pop; theta = A\y; % 利用「左除」，找出最佳的 theta 值 plot(cdate, pop, 'o', cdate, A*theta, '-'); legend('實際人口數', '預測人口數'); xlabel('年度'); ylabel('美國人口總數');

曲線擬合結果 由上述範例，我們可以找出最佳的 因此具有最小平方誤差的拋物線可以寫成：

提示：左除及右除 左除的概念，可記憶如下：原先的方程式是 A*theta = y，我們可將 A移項至等號右邊，而得到 theta = A\y。必須小心的是：原先 A 在乘式的第一項，所以移到等號右邊後，A 仍然必須是除式的第一項。 若我們要解的方程式是 theta*A = y，則同樣的概念可得到最小平方解 theta = y/A。

以模型預測人口總數 根據上拋物線數學模型，我們可以預測美國在 2000 年的人口總數為： 範例10-3： census02.m load census.mat % 載入人口資料 A = [ones(size(cdate)), cdate, cdate.^2]; theta = A\pop; % 利用「左除」，找出最佳的 theta 值 t=2000; pop2000 = [1, t, t^2]*theta; % 在 2000 年美國人口線數預測值 t=2010; pop2010 = [1, t, t^2]*theta; % 在 2010 年美國人口線數預測值 fprintf('美國人口在2000年的預測值 = %g （百萬人）\n', pop2000); fprintf('美國人口在2010年的預測值 = %g （百萬人）\n', pop2010); >> 美國人口在2000年的預測值 = 274.622 （百萬人） >> 美國人口在2010年的預測值 = 301.824 （百萬人）

多項式擬和 上述例子推廣，得到一個 n 次多項式： 利用多項式的數學模型來進行曲線擬合，通稱為「多項式擬合（Polynomial Fitting）」 由於多項式擬和的應用面很廣，MATLAB 提供 polyfit 指令來找出多項式最佳參數 Polyval 指令來進行多項式的求值

使用polyfit & polyval的範例 範例10-4： census03.m polyfit(cdate, pop, 2)」中的 2 代表用到的模型是 2 次多項式 load census.mat % 載入人口資料 theta = polyfit(cdate, pop, 2); % 進行二次多項式擬合，找出 theta 值 fprintf('2000年的預測值 = %g （百萬人）\n', polyval(theta, 2000)); fprintf('2010年的預測值 = %g （百萬人）\n', polyval(theta, 2010)); >> 在2000年的預測值 = 274.622 （百萬人） >> 在2010年的預測值 = 301.824 （百萬人）

模型複雜度對預測的影響 MATLAB 下輸入「census」，可對 census 資料進行曲線擬合的結果，如下： 上述圖形可以看出，當多項式的次數越來越高時，「外插」常會出現不可信的結果。 這表示選用的模型參數太高，雖然誤差的平方和變小了，但是預測的可靠度也下降了。

線性迴歸的模型選取 線性迴歸的成功與否，與所選取的模型息息相關 如何選取模型，是線性迴歸的一個重大課題！ 模型所含的參數越多，平方誤差會越小 若參數個數等於資料點個數，平方誤差會等於零，但這並不表示預測會最準，因為資料點含有雜訊 完全吻合資料的模型亦代表此模型受雜訊的影響最大，預測之準確度也會較差 如何選取模型，是線性迴歸的一個重大課題！ Leave-one-out method

多輸入之線性迴歸 「多輸入、單輸出」的線性迴歸數學模型寫成 其中 為輸入，y 為輸出， 、 、…、 為此模型的參數， ，則是已知的函數，稱為基底函數（Basis Functions） 所給的資料點為 ，稱為取樣資料（Sample Data）或訓練資料（Training Data）。

矩陣表示法 將上述資料點帶入模型後可得： 或可表示成矩陣格式：

平方誤差和的最小化 由於 (即資料點個數遠大於可變參數個數)，欲使上式成立，須加上一誤差向量 e： 平方誤差則可寫成 求 的最佳值 求 的最佳值 直接取 對 的偏微分，並令其等於零，即可得到一組 n 元一次的線性聯立方程式 用矩陣運算來表示， 的最佳值可表示成 也可以使用 MATLAB 的「左除」來算出 的最佳值，即 。

提示 理論上，最佳的 值為 ，但是 容易造成電腦內部計算的誤差，MATLAB 實際在計算「左除」時，會依照矩陣 A 的特性而選用最佳的方法，因此可以得到較穩定且正確的數值解。 欲知如何推導最佳的 值，可參考筆者另一著作：Neuro–Fuzzy and Soft Computing，Prentice Hall，1997。

曲面擬合範例（1/6） 在 MATLAB 下輸入 peaks，可以畫出一個凹凸有致的曲面，如下： 此函數的方程式如下：

曲面擬合範例（2/6） 在下列說明中，假設： 上述函數可寫成： 數學模型的基底函數已知 訓練資料包含正規分佈的雜訊 其中我們假設 、 和 是未知參數，n 則是平均為零、變異為 1 的正規分佈雜訊。

曲面擬合範例（3/6） 若要取得 100 筆訓練資料 範例10-5： peaks01.m randn 指令的使用即在加入正規分佈雜訊。上圖為我們收集到的訓練資料，由於雜訊很大，所以和原先未帶雜訊的圖形差異很大。 pointNum = 10; [xx, yy, zz] = peaks(pointNum); zz = zz + randn(size(zz)); % 加入雜訊 surf(xx, yy, zz); axis tight

曲面擬合範例（4/6） 現在我們要用已知的基底函數，來找出最佳的 、 和 範例10-6： peaks02.m 現在我們要用已知的基底函數，來找出最佳的 、 和 範例10-6： peaks02.m 由此找出的 值和最佳值 相當接近。 pointNum = 10; [xx, yy, zz] = peaks(pointNum); zz = zz + randn(size(zz))/10; % 加入雜訊 x = xx(:); % 轉為行向量 y = yy(:); % 轉為行向量 z = zz(:); % 轉為行向量 A = [(1-x).^2.*exp(-(x.^2)-(y+1).^2), (x/5-x.^3-y.^5).*exp(-x.^2-y.^2), exp(-(x+1).^2-y.^2)]; theta = A\z % 最佳的 theta 值 theta = 3.0088 -10.0148 -0.2924

曲面擬合範例（5/6） 根據上求得之參數，可以輸入較密的點，得到迴歸後的曲面 範例10-7： peaks03.m pointNum = 10; [xx, yy, zz] = peaks(pointNum); zz = zz + randn(size(zz))/10; % 加入雜訊 x = xx(:); y = yy(:); z = zz(:); % 轉為行向量 A = [(1-x).^2.*exp(-(x.^2)-(y+1).^2), (x/5-x.^3-y.^5).*exp(-x.^2-y.^2), exp(-(x+1).^2-y.^2)]; theta = A\z; % 最佳的 theta 值 % 畫出預測的曲面 pointNum = 31; [xx, yy] = meshgrid(linspace(-3, 3, pointNum), linspace(-3, 3, pointNum));

曲面擬合範例（6/6） 只要基底函數正確，而且雜訊是正規分佈，那麼當資料點越來越多，上述的最小平方法就可以逼近參數的真正數值。 x = xx(:); y = yy(:); % 轉為行向量 A = [(1-x).^2.*exp(-(x.^2)-(y+1).^2), (x/5-x.^3-y.^5).*exp(-x.^2-y.^2), exp(-(x+1).^2-y.^2)]; zz = reshape(A*theta, pointNum, pointNum); surf(xx, yy, zz); axis tight 在上圖中，我們猜對了基底函數，因此得到非常好的曲面擬合。 只要基底函數正確，而且雜訊是正規分佈，那麼當資料點越來越多，上述的最小平方法就可以逼近參數的真正數值。

非線性迴歸 非線性迴歸（Nonlinear Regression）是一個比較困難的問題，原因如下： 須引用各種非線性最佳化的方法。 無法一次找到最佳解。 無法保證能夠找到最佳解。 須引用各種非線性最佳化的方法。 各種相關數學性質並不明顯。 以數學來描述，假設所用的數學模型是 其中 是輸入向量， 是可變非線性函數，y 是輸出變數。 總平方誤差為

非線性迴歸：誤差值的最小化 用一般最佳化（Optimization）的方法，來找出 的最小值，例如 假設所用的數學模型為 梯度下降法（Gradient Descent） Simplex下坡式搜尋（Simplex Downhill search）：此方法即為fminsearch指令所採用的方法 假設所用的數學模型為 其中 、 為線性參數，但λ1、λ2 為非線性參數 總平方誤差可表示： 欲找出使 為最小的 、 、λ1及λ2，需將 E 寫成一函式，並由其它最佳化的方法來求出此函式的最小值。

使用fminsearch的範例（1/3） 我們使用errorMeasure1.m來計算誤差值 其中 theta 是參數向量，包含了 、 、λ1 及 λ2，data 則是觀察到的資料點，傳回的值 則是總平方誤差。 function squaredError = errorMeasure1(theta, data) x = data(:,1); y = data(:,2); y2 = theta(1)*exp(theta(3)*x)+theta(2)*exp(theta(4)*x); squaredError = sum((y-y2).^2);

使用fminsearch的範例（2/3） 欲求出 的最小值，我們可使用 fminsearch 指令 範例10-9： nonlinearFit01.m load data.txt theta0 = [0 0 0 0]; tic theta = fminsearch(@errorMeasure1, theta0, [], data); fprintf('計算時間 = %g\n', toc); x = data(:, 1); y = data(:, 2); y2 = theta(1)*exp(theta(3)*x)+theta(2)*exp(theta(4)*x); plot(x, y, 'ro', x, y2, 'b-'); legend('Sample data', 'Regression curve'); fprintf('誤差平方和 = %d\n', sum((y-y2).^2));

使用fminsearch的範例（3/3） 上圖的曲線為 fminsearch 指令產生的迴歸曲線。 計算時間 = 0.03 誤差平方和 = 5.337871e-001 上圖的曲線為 fminsearch 指令產生的迴歸曲線。 fminsearch 指令是一個使用 Simplex 下坡式搜尋法（Downhill Simplex Search）的最佳化方法，用來找出 errorMeasure1 的極小值，並傳回 theta 的最佳值。

上述範例的改良 改良方向 上例數學模型為 混成法的優點 上述方法把所有參數全部視為非線性參數。混成法將線性與非線性參數分開，各用不同的方法來處理。 上例數學模型為 、 線性參數：最小平方法，即「左除」或「\」 λ1、λ2 非線性參數： Simplex 下坡式搜尋（即 fminsearch） 混成法的優點 最小平方法能夠在非線性參數固定的情況下，一次找到最好的線性參數的值，因為搜尋空間的維度由4降為2，最佳化會更有效率

混成法範例（1/3） 使用上述混成（Hybrid）的方法，函式 errorMeasure1 須改寫成 errorMeasure2 範例10-10： errorMeasure2.m lambda 是非線性參數向量， data 仍是觀察到的資料點，a 是利用最小平方法算出的最佳線性參數向量，傳回的 squareError 仍是總平方誤差 function squaredError = errorMeasure2(lambda, data) x = data(:,1); y = data(:,2); A = [exp(lambda(1)*x) exp(lambda(2)*x)]; a = A\y; y2 = a(1)*exp(lambda(1)*x)+a(2)*exp(lambda(2)*x); squaredError = sum((y-y2).^2);

混成法範例（2/3） 欲用此混成法求出誤差平方和的最小值 範例10-11： nonlinearFit02.m load data.txt lambda0 = [0 0]; tic lambda = fminsearch(@errorMeasure2, lambda0, [], data); fprintf('計算時間 = %g\n', toc); x = data(:, 1); y = data(:, 2); A = [exp(lambda(1)*x) exp(lambda(2)*x)]; a = A\y; y2 = A*a; plot(x, y, 'ro', x, y2, 'b-'); legend('Sample data', 'Regression curve'); fprintf('誤差平方和 = %d\n', sum((y-y2).^2));

混成法範例（3/3） 此種混成法可以產生較低的誤差平方和，同時所需的計算時間也比較短。 計算時間 = 0.02 誤差平方和 = 1.477226e-001 此種混成法可以產生較低的誤差平方和，同時所需的計算時間也比較短。

變形法 我們亦可利用變形法（Transformation），將一數學模型轉換成只包含線性參數的模型。 假設一模型為： 取自然對數，可得： ln(a) 及 b 成為線性參數，我們即可用「最小平方法」找出其最佳值 範例10-12： transformFit01.m load data2.txt x = data2(:, 1); % 已知資料點的 x 座標 y = data2(:, 2); % 已知資料點的 y 座標 A = [ones(size(x)) x];

變形法範例（1/2） theta = A\log(y); subplot(2,1,1) plot(x, log(y), 'o', x, A*theta); xlabel('x'); ylabel('ln(y)'); title('ln(y) vs. x'); legend('Actual value', 'Predicted value'); a = exp(theta(1)) % 辨識得到之參數 b = theta(2) % 辨識得到之參數 y2 = a*exp(b*x); subplot(2,1,2); plot(x, y, 'o', x, y2); xlabel('x'); ylabel('y'); title('y vs. x'); fprintf('誤差平方和 = %d\n', sum((y-y2).^2)); a = 4.3282 b =-1.8235 誤差平方和 = 8.744185e-001

變形法範例（2/2） 第一個小圖是ln(y)對x的作圖， 第二個小則是 y對 x的作圖。 經由變形法之後，此最小平方法所得到的最小總平方誤差是 而不是原模型的總平方誤差： 通常E’為最小值時，E不一定是最小值，但亦離最小值不遠矣！

變形法之改進範例（1/2） 若要求取原始E的最小值，可再用 fminsearch ，並以變形法得到的 a 及 b 為搜尋的起點 範例10-13： transformFit02.m load data2.txt x = data2(:, 1); % 已知資料點的 x 座標 y = data2(:, 2); % 已知資料點的 y 座標 A = [ones(size(x)) x]; theta = A\log(y); a = exp(theta(1)) % 辨識得到之參數 b = theta(2) % 辨識得到之參數 theta0 = [a, b]; % fminsearch 的啟始參數 theta = fminsearch(@errorMeasure3, theta0, [], data2); x = data2(:, 1); y = data2(:, 2); y2 = theta(1)*exp(theta(2)*x);

變形法之改進範例（2/2） plot(x, y, 'o', x, y2); xlabel('x'); ylabel('y'); legend('Actual value', 'Predicted value'); title('y vs. x'); fprintf('誤差平方和 = %d\n', sum((y-y2).^2)); 誤差平方和 = 1.680455e-001 由上述範例可以看出，我們可以先使用變形法，先找出大略的參數值，再用 fminsearch 來對誤差平方和進行最小化，因此得到的誤差平方和，比只用變形法還要小。

可使用變形法的數學模型（1/3） 以下是一些變形法可用的非線性模型，以及相關的轉換方法： 編號 非線性模型 轉換後的線性模型 參數轉換公式 2 3

可使用變形法的數學模型（2/3） 4 5 6 7

可使用變形法的數學模型（3/3） 8 9 10

「曲線擬合工具箱」的使用（1/4） 曲線擬合包含下列幾個步驟： 觀察資料，並剔除明顯不合理的資料（這些資料在統計學上稱為 Outliers）。 根據資料，選定數學模型及相關參數。 根據線性或非線性迴歸的各種方法，以及一組給定的訓練資料（Training Data），算出參數的最佳值。 觀察模型的誤差，以及模型對於其它測試資料（Test Data）的效能，以決定此模型的適用性。若適用，則停止此演算法。反之，若不適用，則根據模型的對於訓練及測試資料的誤差程度，重新修正模型，並回到步驟 3。

「曲線擬合工具箱」的使用（2/4） 以上步驟，需要經驗，且必須反覆進行，可能耗費大量時間，有鑑於此，MathWorks 公司在 MATLAB 6.x 後，推出了「曲線擬合工具箱」（Curve Fitting Toolbox），讓使用者能以 GUI （圖形使用者介面）的方式，來進行曲線擬合，並能快速地檢視擬合的結果和成效。

「曲線擬合工具箱」的使用（3/4） 說明「曲線擬合工具箱」的使用 首先，先載入 enso.mat，裡面包含兩個變數： month：每個資料點發生的相對月份 pressure：在復活島（Easter Island）和澳洲的達爾文（Darwin）兩地的大氣壓力差值，取其整個月的平均值。此差值會導引整個南半球的貿易風（Trade Winds）流向 根據這兩個變數，就可以呼叫「曲線擬合工具箱」來進行曲線的分析與擬合 範例10-14： cftool01.m load enso.mat % 載入 month 和 pressure 變數 cftool(month, pressure); % 呼叫「曲線擬合工具箱」

「曲線擬合工具箱」的使用（4/4） 此時此工具箱會將資料點畫出來，並將相關的操作介面顯示如上圖。