南京师范大学数学科学院 涂荣豹 rbtu304 @hotmail.com 中 国 数 学 教 学 的 继 承 与 发 展 南京师范大学数学科学院 涂荣豹 rbtu304 @hotmail.com

引 言 中国数学教育的优势在哪里 从根本上看，中国教育做的是打基础的工作，特别是数学和科学. 引 言 中国数学教育的优势在哪里 美国前驻中国公使 威廉·麦克希尔在美国《时代》周刊2009第11期撰文， 建议奥巴马总统向中国学习五件事，第二件是学习中国的中小学教育。他说： 从根本上看，中国教育做的是打基础的工作，特别是数学和科学. 这方面，他们的孩子已经走在了美国的前头，我们也要这么做. 这是国际上重新识中国数学教育以来, 最为中肯和准确的评价。 中国数学教育的优势在于重视基础 中国数学教育是如何打基础的呢？ 中国数学教育的弱势在创造能力的培养 中国数学教育应该如何培养学生的创造力呢？ 探讨和建议 就中国数学教学中重视打好基础的特点和方法进行探讨， 就中国数学教学中如何培养学生的创造力提出建议。

重视打好基础—— 中国数学教学的传统

中国数学教学的 主导思想 一、加强 “双基教学” 的思想 二、培养数学思维能力的思想 三、坚持启发式教学的思想 四、贯彻数学活动教学的思想

中国数学教学中打基础的主要方法 一、目标具体，知识细化 二、复习旧知，引出新知 三、双基教学，熟能生巧 四、变式练习，深化理解 五、数学交流，师生互动 六、渗透思想，掌握方法 七、发展思维，培养能力 八、考试导向，良莠具存

重视发展创造力—— 改善中国数学教学

中国数学教育存在的问题 中国数学教育存在的问题也很多 数学教学中存在的 错误倾向 最大不足：忽视“人”培养，忽视创造力的培养 学生学业负担过重，学生普遍厌倦学习 高分低能现象严重，分高德下趋势蔓延 数学教学中存在的 错误倾向 重知识轻方法，重理论轻应用 重记忆轻思考，重显性轻隐性 重演绎轻归纳，重证明轻发现 重复习轻新授，重师承轻创造 这些错误倾向不同程度地侵蚀着中国的数学教育事业 最大不足：忽视“人”培养，忽视创造力的培养

教育的 科学发展观 是什么 教育的大目标是“培养人” 我们“国家的教育方针”是什么？ 数学教育的科学发展观 教育科学发展观的核心——培养什么样的人！ 我们“国家的教育方针”是什么？ 培养德、智、体全面发展的社会主义劳动者 ——过时了吗？ 素质教育？这不就是素质教育吗？ 数学教育的科学发展观 核心问题——应该使学生获得什么样的发展 数学最大价值——发展人的思维——使人变得聪明

1. 可持续发展——最基本目标 ▪使学生充满对学习的热情——爱学 ▪使学生学会学习——会学 ▪发展学生的认识力—— 好奇心, 求知欲, 学习兴趣, 探求世界的积极态度 ▪使学生学会学习——会学 掌握学习的方法，学会自己独立地获取知识； 掌握科学研究的方法，学会从不知开始 一步一步达到问题的核心，直至最终的构建和解决 ▪发展学生的认识力—— 对世界 (客观世界和主观世界) 各种事物的认识能力 科学的视角, 创造力, 想象力, 洞察力, 判断力, 预见力

发展认识力比掌握知识更重要 掌握知识不是最终目的 发展认识力才是教育的最大目标 知识是会忘记的，留下来的是教育。——爱因斯坦 这个留下来的教育是什么？就是人的认识力。 ★培根说：知识就是力量。 ★爱因斯坦说：想象力比知识更重要。 知识重不重要？重要！ 没有知识，认识力的发展就要落空， 知识是通向认识力的必经之路。 相比而言，认识力比知识更重要。 数学对发展认识力有特殊的力量，能扮演举足轻重的作用。

2. 教学——教 学生 “学” 教学生——通过学习数学 发展自己的认识力 ▪教学生“学什么”？ ▪教知识？教思考？ “学思考” ——学 提出 问题(课题) ， ——学 寻找 解决问题的方法， ——学 建构 新概念、新方法， ——学 数学研究的 一般方法； “学思考” ▪教——“怎么学” “怎么学”——用 数学研究的一般方法 去学。 (好比在游泳中学游泳，在解题中学解题)

数学研究的一般方法 形成问题 构建概念 寻找方法 提出假设 验证猜想 语言表述 (1)提出或形成 问题 (2)构建 概念或关系 方法 研究对象 (2)构建 概念或关系 研究 (3)设计或创造 方法 解决问题 假设和思想 (4)提出 假设和猜想 (5)验证 新概念或关系 (6)数学表述 解决问题的 建立 理论和方法

3. 导入新课首先提出一个问题 美国数学家 哈尔莫斯：“问题是数学的心脏。” 数学一切概念、公式、定理、方法， 问题成为数学的生命，数学因问题而获得生命力。 让学生学数学，能不让他们了解数学的生命吗? 数学一切概念、公式、定理、方法， 是因为 解决问题的需要 而产生的。 对一个新问题，往往原有的概念 或 方法不够用了, 那就不得不去创新——构建新的概念，创造新的方法。 每节课首先要提出一个问题，并且去解决它。 问题可以由教师提出，最好是引导学生提出。

首先提出一个问题——意义重大 ▪让学生明白——学数学是为了解决问题。 ▪把新授课转变成一个解决新问题的过程， 学数学不是为学概念而学概念，不是为学方法而学方法 学习新概念、新方法，是为解决问题的需要，是必须！ ▪把新授课转变成一个解决新问题的过程， 把新概念、新方法的学习变成发现和建构的过程 把 学习活动 转变成一种开创性的工作。 ▪为培养学生的 创新意识 和 创造能力 作出了贡献。 创造始于问题，要培养学生创新意识，创造能力吗？ 那就让他们在解决新问题中，学习创造新概念，新方法吧！ (实际是再创造)

卢梭: 问题不在于告诉他一个真理，而在于教他怎样去发现真理。 4. 教 学生 学——怎么 教？ 教 学生“学什么”,“怎么学” —— 怎么教？ 卢梭: 问题不在于告诉他一个真理，而在于教他怎样去发现真理。 ▪教师要真正带领学生 进行 “再发现” 和 “再创造” 要以 进行发明创造 的方式，教 “学什么”和“怎么学” ▪学生必须成为主动的学习者(智力参与)。 把学生放在探究的位置上，引导他们 ▪教师作为课堂“教学向导”去教“学什么”和“怎么学” 教师的作用就是“教学向导”——启发引导。 ▪主导——教师是教学向导的主角。 自己去探究 自己去发现 体育老师怎么上课的?我已经不知讲了多少遍了，他们还是不会.

5. 用“从无到有”的探究法教学  什么是探究？——“从无到有” 才是探究 一目了然，不假思索就能知道的东西——无需探究 “从无到有”——从不懂到懂，不会到会， 不明白到明白 的过程。  数学探究教学 主要有两种方式  发现式 探究 以学生自主活动为主的探究 —— 寻找 线索 的探究  引导式 探究　　　　　　　　　 教师引导下的学生主动探究 —— 线索 引导 的探究

6. 教师要用启发性提示语引导探究 怎么启发引导？——从未知的目标和方法两个方面 提示和暗示的方式是 运用“启发性提示语”发问 ▪ 引导式探究——数学探究教学主要的方式 数学是抽象的形式化的思想材料，学生能够自己探究吗？ 全靠学生自己独立探究，基本不可能。 学生要从无到有的探究，就离不开教师的启发引导。 怎么启发引导？——从未知的目标和方法两个方面 教师 通过适当的引导语 给学生以必要的 提示和暗示 学生 通过自己的思维活动 获得 提示和暗示。 提示和暗示的方式是 运用“启发性提示语”发问 元认知提示语 认知性提示语 方法论提示语 启发式教学是最好的教学方法 启发式的核心是“问题”，什么样的问题？——启发性提示语

7. 面 向 全 体 学 生 探 究 ▪多元智力理论—— 每个人都有自己的智力强项和智力弱项 ▪有意义学习理论 —— 每个人在“逻辑-数理”智力上存在不同水平 每个人的数学悟性不同，数学天赋不同 ▪有意义学习理论 —— 每个学生已有的知识基础和数学经验不同 ▪最近发展区理论—— 每个学生的知识和思维都有一个最近发展区 要让每个学生在自己的最近发展区内得到最大发展 ▪对不同的学生——应该有不同层次的探究 用分级发问提示语——使全体学生都获得相应的发展

“由远及近，分级提问”——对不同层次学生进行引导 如何面向全体启发？ “由远及近，分级提问”——对不同层次学生进行引导 ▪ 启发性提示语——通过“暗示”，引导发现线索 提示语“指向性”不能太明确，太明确了 学生自己无须思考 离目标越远，指向性越隐蔽——思维挑战性越强 离目标越近，指向性越明了——思维挑战性越弱 ▪启发—— 由远及近，分级提示，给每个学生自己出力的机会。 只问不答，若需回答，先弱后强，避免知道者告诉不知道者。 独立思考，不同层次学生获得不同的启发，每个人获得发展。 最终发展到学生学会用启发性提问来引导自己， 这就可以达到“教他怎么学”了。 过 渡 离目标远的暗示 离目标近的暗示

衡量启发性提示语的准则 1。思想应当从学生的脑子里产生出来， 2。“令人讨厌的艺术是把什么说出来了。”(伏尔泰) 教师只是起一个产婆的作用。 启发性提示语的标准——波利亚 2。“令人讨厌的艺术是把什么说出来了。”(伏尔泰) 令人着迷的艺术是充满悬念，启发的艺术亦是如此。 3。教师的问题是否需要学生思考？ 提示语的作用是启发思考方向，结果最终靠学生自己找到； 学生不知道结果，需要继续思考——是启发； 学生不需要思考，就知道结果——是告诉。 引导学生去探索，去发现；而不是代替学生去探索，去发现。 引导思考，而非代替思考。(牵着学生鼻子走是代替学生探究)

“线性回归方程”教学设计 创设情境 → 建构数学 → 数学运用 → 回顾反思 (1) 创设情境 问题1：某天-5°C，预测卖出热茶多少杯？

问题2：你打算怎样研究这个问题？ 目的——引导学生寻找研究方法。 启发 如何寻找—— 教师是教学向导 怎样凭借这6组数据 作出预测呢？ 肯定要在这6组数据上想办法，你会想什么办法？ 6组数就是6个有序数对，你想到什么？　　 数形结合思想告诉我们什么？ 画出它们的对应点。 ▪这些提示语由远及近，只暗示思考方向，没有答案。 ▪始终只提出问题，并不要求回答，等待最后一个人。 ▪如需回答，按能力由弱到强。使每个人都得到相应发展。

(2) 建构数学 活动①：画出对应点，通过观察作出猜想。 画出散点图以后，你接着想什么？ 启发猜想 它们的分布情况怎么样？ 讨论交流 能不能找到一种近似的函数表示？ 提出猜想：在这6个散点附近找一条直线。

问题2：直线有很多，选择哪一条？ 活动②：讨论选择直线的标准。 启发：选择的标准是什么？ 标准：直线要与散点最接近。 “附近”是什么意思？ 你对“近”的要求是什么？ 标准：直线要与散点最接近。 启发：怎样求 “最接近”的直线？ 对纵坐标做方差全由学生想到不容易 由“最接近”你自然想到什么？(距离) “求总平均数”和“求方差”的思想能给你什么启发？ “双曲线渐进线的证明”能给你什么启发？ 对“散点与直线的纵坐标”做方差怎么样？

活动④：用图形计算器，求出线性回归方程。 活动③：求散点与直线纵坐标的方差。 设直线方程为 y = a x + b ( yi = a xi + b ) Q(a, b)= (26a+b-20)2+(18a+b-24)2 +(13a+b-34)2 + +(10a+b-38)2+(4a+b-50)2+(a-b-64)2 问题3：怎样求这条直线？ 求出使Q(a, b)最小的a, b；就可求得这条直线。 介绍求线性回归方程的方法。 告诉学生即可 活动④：用图形计算器，求出线性回归方程。

运用计算器统计计算，求出线性回归方程和对应直线 (3) 数学运用 如果某天是 -5C° ， 预测这天卖出的热茶 是 66 杯。

(4) 回顾反思 从知识和研究方法两个方面。 提出的问题是什么？ (如何刻画两个变量间的相关关系？) 解决的方法是什么？(用线性函数近似表示) 解决的过程中遇到什么新的问题？ (如何判定误差最小？) 解决这个新问题的是什么？(最小二乘法) 对一组数据进行线性回归分析有哪些步骤？

数学教学——教会思考，发展能力 波利亚说： “‘教会思考’ 意味着 数学教师不仅仅应该传授知识， 还应当去发展学生运用所学知识的能力。” 提示语的设计 涉及到元认知，涉及到方法论。 波利亚最看重方法论， 他说，“你如果是有方法论修养的教师， 你才是一个好教师。”

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