第五章 二次型
本章主要内容 一、二次型与对称矩阵 二、二次型的标准形和规范形 三、二次型和对称矩阵的有定性
第一节 二次型与对称矩阵
一、二次型及其矩阵 定义5.1 含有n个变量 的二次齐次多项式 称为一个n元二次型，简称二次型。 利用求和符号，n元二次型可记为 (5.1) 其中
当 为实数时，称 为实二次型； 当 为复数时，称 为复二次型； 如果记 其中 则二次型(5.1)可写成 (5.2)
这里A称为二次型 的矩阵，矩阵A的秩(A) 称为该二次型的秩。 由此可知，二次型矩阵A是n阶实对称矩阵。反之，对任意 一个实对称矩阵A，可由 唯一确定一个n元二次型。 即n元二次型与n阶实对称矩阵之间具有一一对应关系。 例1 设二次型 求二次型的矩阵A和二次型的秩。
解 二次型的矩阵A是一个对称矩阵，其对角线上元素 应是二次型中完全平方项 的系数； 非主对角线元素 恰为二次型中 系数的一半。 因此，二次型的矩阵为 二次型的秩就是其矩阵A的秩，对A施以初等行变化，有 故r (A)=3.二次型 的秩等于3.
例2 求二次型 的矩阵A和二次型的秩，其中 不全为零。 解法1 二次型 所以二次型的矩阵 矩阵A的各行对应元素成比例，可知r (A)=1，故二次型的秩是1。
解法2 所以二次型f 的矩阵
由于 可知 记矩阵 则 利用3.4中的例12，有 所以 即二次型的秩等于1。 例3 设对称矩阵 求A所对应的二次型
解 设 则
二、线性变换 定义5.2 设两组变量 和 间具有下述关系： 则(5.3)称为由 到 的一个线性变换。
记 则(5.3)所表示的线性变换可以写成矩阵形式： 矩阵C称为线性变换(5.3)的矩阵。 如果线性变换(5.3)的矩阵C可逆，则(5.3)称为可逆线性 变换，而 称为(5.3)的逆变换； 如果线性变换(5.3)的矩阵C为正交矩阵，则此变换称为 正交变换。
例4 平面解析几何中的坐标旋转变换 是一个线性变换，其矩阵形式为 此线性变换的矩阵
因为 所以这是一个可逆线性变换。 又 可知C是正交矩阵， 所以坐标旋转变换是一个正交变换。
三、矩阵合同 如果对二次型 (其中 )进行可逆 线性变换 ，则 其中 定理5.1 二次型 (其中 )经过可逆线 如果对二次型 (其中 )进行可逆 线性变换 ，则 其中 定理5.1 二次型 (其中 )经过可逆线 性变换 ，就得到以B为矩阵的n元二次型 ，并且 两个二次型的秩相等。
例5 设二次二元型 二次型f 的矩阵 作可逆线性变换 其中
则 记矩阵 则 二次型 和 的矩阵A和B满足 ， 这种关系称两个矩阵合同。
定义5.3 设A，B为两个n阶矩阵，如果存在可逆矩阵C，使得 则称A和B合同，或A合同于B，记为 定理5.1’ 二次型 (其中 )经过可逆线 性变换 ，就得到以B为矩阵的n元二次型 ，其中 ，且
矩阵的合同关系具有下述关系： 性质1 (反身性) 对任意n阶矩阵A，有 性质2 (对称性) 如果 ，则 性质3 (传递性) 如果 则