回 顾 1、定解问题的边界条件 2、定解问题的分类与适定性 3、二阶线性偏微分方程的有关概念 4、常系数线性偏微分方程的通解 数学物理方成的分类 2017/3/9 回 顾 1、定解问题的边界条件 2、定解问题的分类与适定性 3、二阶线性偏微分方程的有关概念 4、常系数线性偏微分方程的通解
方程的通解和特解 一般地，一个 n 阶常微分方程的通解含有 n 常数。一 个 n 阶偏微分方程的通解含有 n 个任意函数。
数学物理方成的分类 2017/3/9 数学物理方程的分类 考察二元二次方程： 二次型的主轴定理
类似地，二阶线性偏微分方程 一定可以改写为如下“形式”：
由二次型的性质可知，上述分类方法在区域上任一点 总是可行的；但方程在不同的点可能属于不同的类型。
两个自变量的情形 显然，弦的横振动方程和杆的纵振动方程是双曲型方程； 一维扩散和传导方程是抛物型方程；二维静电场方程是椭圆型 方程。 （三维波动方程、扩散和传导方程以及三维Poisson方程和Schrödinger方程 是什么类型的方程？）
常系数线性偏微分方程
行波法是以自变量的线性组合作变量代换，对方程进行求解的一种方法，它对波动方程类型的问题求解十分有效. 行波法 d’Alembert公式 行波法是以自变量的线性组合作变量代换，对方程进行求解的一种方法，它对波动方程类型的问题求解十分有效. 一维无界弦自由振动（即无外力）定解问题为：
d’Alembert公式
d’Alembert公式的应用 齐次偏微分方程的求解 （P172） 2.非齐次偏微分方程的求解 该体系在外力作用下开始振动，可以看作外界持续给体系 施加以冲量，体系的振动即为持续冲量效果的叠加。从这一思 路出发求解问题被称为冲量原理法。
根据以上分析，易得上述纯受迫振动的解为：
例 7.5 求解如下定解问题：
例 7.6 求解如下定解问题：
求出问题的通解，然后再结合定解条件确定满足 相应初始条件和边界条件的特解，仅对非常有限的问 题适用，很多定解问题很难直接求出通解。更为普遍 的处理办法是把泛定方程和定解条件作为整体处理， 直接求出定解问题的解。
数学物理方程的求解 1.行波法； 2.分离变量法； 3.幂级数解法； 4.格林函数法； 5.积分变换法； 6.保角变换法； 7.变分法； 8.计算机仿真解法； 9.数值计算法 数学物理方程的求解
第七章 作 业 P161 1. P179 1. 8.